क्यों समय 63.2% स्थिर है और 50% या 70% नहीं है?

Question

मैं आरसी और आरएल सर्किट के बारे में अध्ययन कर रहा हूं। आउटपुट वोल्टेज के 63.2% के बराबर समय स्थिर क्यों है? क्यों इसे 63% के रूप में परिभाषित किया गया है और कोई अन्य मूल्य नहीं है?

क्या 63% आउटपुट वोल्टेज पर एक सर्किट काम करना शुरू करता है? 50% पर क्यों नहीं?

Comments

1-ई ^ -1 = 0.6321 ...

— एंड्रयू मॉर्टन

यह 1 / बैंडविड्थ के साथ मेल खाता है और यह पहले ऑर्डर लैग 1 में समय मूल्य है या$\frac{1}{1+j\omega\tau}$ । रेडियोधर्मी क्षय में वे 50% ('आधा जीवन') का उपयोग करते हैं। $\frac{1}{1+\tau s}$

— चू १

@AndrewMorton: मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है कि यह मेरे बारे में क्या कहता है कि मैंने अनुमान लगाया था कि शीर्षक से ही इसका जवाब होगा।

— इल्मरी करोनें

@code_monk: के रूप में दिलचस्प के रूप में ? $e^\pi - \pi \approx 19.999$

— नाममात्र पशु

बस एक नाइटपिक: समय स्थिर 63% निर्धारित नहीं है । यह एक घातीय फ़ंक्शन के घातांक में गुणांक के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है (इस थ्रेड में उत्कृष्ट उत्तर देखें)। यह सिर्फ एक परिणाम के रूप में निकलता है कि समय स्थिर के बराबर समय अवधि के बाद मात्रा का मान लगभग (2-अंकीय सटीकता के साथ) प्रारंभिक मूल्य का 63% है।

— लोरेंजो डोनाटी मोनिका का समर्थन करता है

Answer 1

अन्य उत्तर अभी तक क्या बनाता है सूझा नहीं किया है ई विशेष: समय कुछ के लिए आवश्यक का एक पहलू से ड्रॉप करने के रूप में समय लगातार परिभाषित करने ई का मतलब है कि समय की किसी भी क्षण में, इस तरह के परिवर्तन की दर that-- हो जाएगा कि अगर दर को जारी रखा गया था - कुछ भी नहीं करने के लिए क्षय करने के लिए आवश्यक समय एक समय स्थिर होगा।

उदाहरण के लिए, यदि किसी के पास 1uF कैप और 1M रेसिस्टर है, तो समय स्थिर एक सेकंड होगा। यदि संधारित्र को 10 वोल्ट तक चार्ज किया जाता है, तो वोल्टेज 10 वोल्ट / सेकंड की दर से गिर जाएगा। यदि इसे 5 वोल्ट पर चार्ज किया जाता है, तो वोल्टेज 5 वोल्ट / सेकंड की दर से गिर जाएगा। तथ्य यह है कि परिवर्तन की दर कम हो जाती है क्योंकि वोल्टेज का मतलब है कि वोल्टेज वास्तव में एक सेकंड में कुछ भी नहीं क्षय होगा, लेकिन समय में किसी भी क्षण घटने की दर वर्तमान वोल्टेज को समय स्थिर से विभाजित किया जाएगा।

यदि समय स्थिर को किसी अन्य इकाई (जैसे अर्ध-जीवन) के रूप में परिभाषित किया गया था, तो क्षय की दर अब समय के साथ अच्छी तरह से मेल नहीं खाती।

Comments

यह अच्छी तरह से सबसे अच्छा उत्तर हो सकता है, क्योंकि यह " क्यों? " के प्रश्न का उत्तर मूर्त तरीके से देता है, इसके बजाय "गणना" करने के लिए " कैसे " दिखाने के बजाय ।

— बोर्ट

बहुत बढ़िया, मुझे विश्वास नहीं हो रहा है कि मैंने यह कभी नहीं सीखा है! (BTW, एक ग्राफ इस जवाब को और भी भयानक बना देगा)।

— मोनिका

यह एक उत्कृष्ट सहज ज्ञान युक्त अंतर्दृष्टि है। +1

— स्पेरो पेफ़ानी

"किसी भी समय घटने की दर वर्तमान वोल्टेज होगी" मुझे लगता है कि इस संदर्भ में "वर्तमान" अस्पष्ट है, दोनों अर्थ काम करते हैं।

— संचय

@supercat - मैंने आपके उदाहरण का एक ग्राफ़ जोड़ा है। इसके लिए किसी भी बदलाव का सुझाव देने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— मोनिका

Answer 2

$e^{-1} = 0.36788$

"समय की इकाई" को सिस्टम के "समय स्थिर" के रूप में संदर्भित किया जाता है, और आमतौर पर इसे "(ताऊ) दर्शाया जाता है। समय (t) पर सिस्टम प्रतिक्रिया के लिए पूर्ण अभिव्यक्ति है

$$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$$

तो समय निरंतर जानने के लिए एक उपयोगी मात्रा है। यदि आप समय को सीधे मापना चाहते हैं, तो आप इसके अंतिम मूल्य के 63.2% तक पहुंचने में लगने वाले समय को मापते हैं।

इलेक्ट्रॉनिक्स में, यह काम करता है कि समय स्थिर (सेकंड में) आरसी सर्किट में आर × सी के बराबर होता है या एलएल / आर में एक आरएल सर्किट, जब आप घटक मूल्यों के लिए यूनिट के रूप में ओम, फेराड और हेनरीज़ का उपयोग करते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि आप समय को जानते हैं, तो यदि आप दूसरे को जानते हैं, तो आप एक घटक मान प्राप्त कर सकते हैं।

Comments

एक घातीय क्षय या वृद्धि के लिए हमें जटिलता को कम करने के लिए चरण प्रतिक्रिया का उपयोग करना चाहिए। ताकि ई So 1 को ध्यान में रखा जाए। क्या मैं सही हूं?

— बाला सुब्रमण्यन

@ बालासुब्रमण्यम: हाँ, सही है।

— डेव ट्वीड

लेकिन मुझे एक संदेह है, उदाहरण के लिए टाइमर या काउंटर के लिए आरसी सर्किट डिजाइन करने में। यह विशेष समय अवधि में छुट्टी और शुल्क लेता है। क्या समयावधि समय के समान है। क्या आवश्यक आईसी या डिवाइस 63% वोल्टेज पर काम करना बंद कर देता है?

— बाला सुब्रमण्यन

$-\ln(1/3) = 1.0986$$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

Answer 3

आरसी समानांतर सर्किट के क्षय को Vo के लिए संधारित्र के साथ चार्ज किया जाता है

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ , कहा पे $\tau$ समय निरंतर आर है$\cdot$सी।

तो वी ($\tau$) / Vo लगभग 0.63212055882855767840447622983854 है

दूसरे शब्दों में, आरसी उत्पाद (या एल / आर अनुपात) द्वारा निरंतर समय को परिभाषित किया गया है, और प्रतीत होता है कि मनमाना वोल्टेज उस परिभाषा और परिणाम के क्षय या चार्ज होने का एक परिणाम है।

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Exponential decay is common to various physical processes such as radioactive decay, some kinds of cooling etc. and can be described by a first-order Ordinary Differential Equation (ODE).

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Suppose you want to know the time when the voltage is 0.5 of the initial voltage (or final voltage if charging from 0). It is (from the above)

t = -$\ln(0.5)\tau$ or about 0.693RC

Either way you do it, some irrational numbers pop up and dealing with RC=$\tau$ is the "natural" way.

Comments

That is a very rough approximation.

— Arsenal

@Arsenal I could use MATLAB and get it to a few thousand decimal places if you'd like.

— Spehro Pefhany

@Arsenal, I suppose 22/7 isn't good enough for you either? :D

— Wossname

22/7 is a terrible approximation to e. 19/7 is much better.

— alephzero

@SpehroPefhany (wrt to that approximation you linked to) I'm always amazed at how math people like to spend their time (well, I guess crosswords puzzles are too easy for them! :-)

— Lorenzo Donati supports Monica

Answer 4

Just as a complement to the other excellent answers by Dave Tweed, supercat and Spehro Phefany, I'll add my 2 cents.

First a bit of nitpicking, as I wrote in a comment, the time constant is not defined as 63%. Formally it is defined as the inverse of the coefficient of the exponent of an exponential function. That is, if Q is the relevant quantity (voltage, current, power, whatever), and Q decays with time as:

$$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$$

Then the time constant of the decaying process is defined as $\tau = 1 / k$.

As others have pointed out, this means that for $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

$$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$$

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$, then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$, depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ($3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

Answer 5

This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$.