क्या एक त्रिकोण तरंग में परिमित या अनंत साइनसोइडल घटक होंगे?

Question

एक असंतुलन के कारण अनंत साइनसॉइडल घटकों को संकेत मिलता है, लेकिन एक त्रिकोण तरंग निरंतर है, मैं एक वर्ग ले रहा था जिसमें एक प्रशिक्षक ने कहा कि चूंकि त्रिकोण तरंग निरंतर है, यह साइन घटकों के एक परिमित संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है और यह भी दिखाया गया है साइनसोइड की कई आवृत्तियों के परिमित इसके अतिरिक्त जो एक शुद्ध त्रिकोण लहर का आकार देते थे।

मेरे मन में एकमात्र समस्या यह है कि एक त्रिकोण तरंग का व्युत्पन्न निरंतर नहीं होता है क्योंकि यह एक वर्ग तरंग है और इसलिए साइनसोइड्स के अनंत योग की आवश्यकता होगी ताकि यदि कोई त्रिकोण त्रिकोण के फूरियर श्रृंखला के सूत्र के दोनों किनारों को प्राप्त करता है। , हम साइनसोइड्स की परिमित संख्या के योग के रूप में एक वर्गाकार तरंग प्राप्त करेंगे। क्या यह गलत नहीं होगा?

Comments

त्रिभुज तरंग में एक अशुभ फूरियर श्रृंखला है। याद रखें कि ट्यूटर गिरने योग्य हैं।

— ऑटिस्टिक

जब आपने उनसे पूछा तो आपके प्रशिक्षक ने क्या कहा?

— सौर माइक

@ सैयद मोहम्मद असजद: व्युत्पत्ति के साथ आपका तर्क सही है। हो सकता है कि आपको अपने प्रशिक्षक की तुलना में मामले की बेहतर समझ हो।

— दही

वास्तव में, एक सीमित फूरियर श्रृंखला होने के लिए, फ़ंक्शन और इसके सभी डेरिवेटिव निरंतर होना चाहिए। एक साइनसॉइड के सभी व्युत्पन्न निरंतर होते हैं, और यह साइनसोइड्स के किसी भी परिमित योग का भी सच है।

— डेव ट्वीड

एक उत्तर नहीं है, लेकिन: परिमित गुणांक वाले फूरियर श्रृंखला बहुत प्रतिबंधक हैं। अधिकांश आवधिक कार्यों में अनंत फूरियर श्रृंखला है। हालांकि, समारोह में चिकना, अनंत में गुणांक के क्षय को अधिक तेजी से। यदि कोई फ़ंक्शन बंधे हुए व्युत्पन्न के साथ k गुणा भिन्न है, तो इसके फूरियर गुणांक (c_n) क्षय 1 / n ^ (k + 1) के रूप में उपवास करते हैं, जैसा कि प्रेरण द्वारा देखा जा सकता है। विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए (अभिसरण टेलर श्रृंखला के साथ कार्य, यानी। यहां तक ​​कि असीम रूप से भिन्न की तुलना में चिकनी), क्षय घातीय है। त्रिकोण में फूरियर श्रृंखला है जो ठीक 1 / n ^ 2 है।

— एलेक्जेंड्रे सी।

Answer 1

एक त्रिकोण तरंग निरंतर है

यहाँ से उद्धरण : -

त्रिभुज तरंग में कोई असंतोषी कूद नहीं होता है, लेकिन ढलान प्रति चक्र में दो बार बदलता है

ढलान में बदलाव होने का मतलब है कि साइनसोइडल घटकों की एक अनंत सीमा भी है।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक वर्गाकार लहर को एकीकृत करते हैं, तो आप एक त्रिभुज तरंग उत्पन्न करते हैं लेकिन, मूल वर्ग तरंग के सभी समरूपता समय एकीकरण के बाद भी मौजूद हैं: -

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उसी के बारे में सोच रहा था, गंभीर प्रतिनिधित्व ने मदद की, थैंक्यू :)

— सैयद मोहम्मद असजद

Answer 2

प्रशिक्षक ने कहा कि चूंकि त्रिभुज तरंग निरंतर है इसलिए इसे परिमित संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है

आपको या तो यह अधिकार नहीं मिला है या प्रशिक्षक को मिसकैप मिला है। यह केवल संकेत के लिए पर्याप्त नहीं है निरंतर होने के लिए, लेकिन सभी व्युत्पन्न भी निरंतर होना चाहिए। यदि किसी व्युत्पन्न में कोई असंतोष है, तो दोहराए जाने वाले संकेत में हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला होगी।

एक त्रिकोण निरंतर है, लेकिन इसकी पहली व्युत्पत्ति एक चौकोर तरंग है, जो निरंतर नहीं है। एक त्रिकोण तरंग में हारमोंस की अनंत श्रृंखला होती है।

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नोप ने गलत नहीं सुना, न ही उसने गलत किया, क्योंकि उसने दो बार कहा और बाद में कक्षा से भी पूछा कि उसने क्या कहा था, और वास्तव में मैंने क्या सोचा था :)

— सैयद मोहम्मद असजाद

@SyedMohammadAsjad आप दोनों सही हैं। Google से; गलत वर्तनी: "अपने आप को एक स्पष्ट रूप से स्पष्ट या सटीक तरीके से व्यक्त करें।" मुझे लगता है कि आप में से एक "अपर्याप्त रूप से स्पष्ट" का उपयोग कर रहा है और दूसरा "अपर्याप्त रूप से सटीक" का उपयोग कर रहा है।

— ऊह

यद्यपि इस उत्तर के शब्दों में कुछ हद तक यह सुझाव दिया गया है, यह तथ्य कि सभी व्युत्पन्न मौजूद हैं (और इसलिए अगले व्युत्पन्न के अस्तित्व से निरंतर हैं), अभी भी एक परिमित फूरियर श्रृंखला होने के लिए पर्याप्त से दूर है। समय-समय पर संकेतों के लिए अधिकांश फूरियर श्रृंखला, हालांकि चिकनी (कक्षा $ \ mathcal C ^ \ infty $, या यहां तक ​​कि विश्लेषणात्मक) असीम रूप से कई नॉनज़ेरो घटक होते हैं; यह उन लोगों के विवरण के साथ आना मुश्किल है जो "साइन और कोस के परिमित रकम" के अलावा अन्य नहीं हैं। वह सब चिकनाई का अर्थ है, जिसके साथ गुणांक 0. होते हैं

— मार्क वैन लीउवेन

एक ईंट फिल्टर हार्मोनिक्स परिमित की संख्या बना सकता है और यह अभी भी / \ / \ / \ / \ / / / त्रिकोणीय कम से कम 20 के साथ दिखता है, infinte से दूर

— टोनी स्टीवर्ट Sunnyskyguy EE75

Answer 3

गणित प्रमाण:

साइन / कोसाइन घटकों के परिमित श्रृंखला के भारित योग से बना एक फ़ंक्शन लें।

इसके व्युत्पन्न भी साइन / कोसिन घटकों की एक परिमित श्रृंखला की एक भारित राशि है। यदि आप किसी भी समय की संख्या से व्युत्पन्न हैं।

चूँकि साइन और कोसाइन निरंतर होते हैं, फंक्शन और इसके सभी डेरिवेटिव निरंतर होते हैं।

इस प्रकार, इसके किसी भी व्युत्पत्ति में किसी भी प्रकार की गड़बड़ी होने का कार्य साइन / कोसिन घटकों की परिमित श्रृंखला के साथ नहीं किया जा सकता है।

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वास्तव में मैंने जो सोचा था, थैंक्यू :)

— सैयद मोहम्मद असजद

होना चाहिए "साइन और कोज़ीन चिकनी हैं" न केवल निरंतर - लेकिन जिस्ट सही है, साइन और कोज़ाइन का एक सुगम योग है, इसलिए इसके किसी भी डेरिवेटिव में असंतोष नहीं हो सकता है

— निमिश

@ निमिश वह साबित करता है कि सभी व्युत्पन्न (सह) साइन की परिमित रकम हैं, इसलिए उसे केवल (सह) साइन की निरंतरता की आवश्यकता है, सुगमता नहीं :-)

— यो '

हां, चूक गए। यद्यपि $ \ एक्सप (z) $ की राशि के लिए $ z \ _ \ _ mathbb {C} $ की विश्लेषणात्मकता से, यह वैसे भी तुच्छ रूप से अनुसरण करता है।

— निमिश

गणित के उत्तर के लिए यश जो गणित को केवल चिपकाने के बजाय समझाता है!

— उहोह

Answer 4

यहाँ अच्छे उत्तर लाजिमी हैं, लेकिन यह वास्तव में " आपके द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है" की आपकी व्याख्या पर निर्भर करता है ।

एक को समझना होगा कि एक त्रिकोण तरंग एक सैद्धांतिक गणितीय निर्माण है जो वास्तव में वास्तव में मौजूद नहीं हो सकता है।

गणितीय रूप से बोलते हुए, एक शुद्ध त्रिभुज तरंग प्राप्त करने के लिए आपको अनंत साइन-वेव्स की अनंत संख्या की आवश्यकता होगी, लेकिन एक त्रिभुज तरंग का प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए उन घटकों में से अधिकांश पदार्थ के लिए बहुत छोटे होते हैं, प्राप्त करने की पृष्ठभूमि के शोर में खो जाते हैं सिस्टम, या ऐसी उच्च आवृत्ति के हैं जो अब संप्रेषित नहीं हो सकते हैं।

जैसे, व्यवहार में, आपको एक उपयोगी प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए केवल एक परिमित संख्या की आवश्यकता होती है। आप कितना अच्छा चाहते हैं कि प्रतिनिधित्व निर्धारित करता है कि आपको कितने हार्मोनिक्स का उपयोग करने की आवश्यकता है।

Comments

यह वास्तव में देखने वाली चीजों में से एक है, मैं निश्चित रूप से अपने शिक्षक से पूछूंगा कि क्या उनका मतलब है कि क्योंकि आप सही हैं, वास्तव में हम अनंत आवृत्तियों पर नहीं जाते हैं, वर्ग तरंग में भी नहीं (जो isn) t एक शुद्ध वर्ग) :)

— सैयद मोहम्मद असजद

जब आप सही हैं कि त्रिकोणीय लहर एक गणित निर्माण है, तो आपका तर्क गलत है। तथ्य यह है कि आप इसे बारीक से नहीं बना सकते हैं कई हार्मोनिक्स एक प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं कि आप इसे बिल्कुल नहीं बना सकते हैं।

— यो '

@yo 'वास्तव में उन चीजों में से एक है जो मुझे लगता है कि हम में से बहुत से लोगों के पास कठिन समय है। यदि एक त्रिकोण तरंग = किसी बिंदु पर साइन तरंगों की अनंत संख्या आप हारमोंस को जोड़ या पास नहीं कर सकते। अगर यह सिर्फ एक त्रिभुज तरंग है .... कुछ अन्य माध्यमों से उत्पन्न ... तो क्या ... आप इसे कैसे प्रसारित करते हैं .. और कैसे जो चीज़ इसे प्रसारित कर रही है वह अंतर को जानती है ... मुझे एक सिरदर्द सोच देती है इसके बारे में .. मूल रूप से, भले ही यह तार या पीसीबी ट्रेस का सिर्फ एक छोटा टुकड़ा है ... यह इसे विकृत किए बिना नहीं कर सकता।

— ट्रेवर_जी

गणितीय आदर्श और वास्तविक दुनिया के बीच अंतर, संक्षेप में।

— 14

Answer 5

एक और दृष्टिकोण।

आइए x (t) को त्रिभुज तरंग और y (t) कहते हैं जो व्युत्पन्न है, जो एक वर्ग तरंग है, इसलिए बंद है।

यदि x (t) sinusoidal संकेतों की एक परिमित राशि थी, तो इसके व्युत्पन्न, उस ऑपरेशन की रैखिकता द्वारा, sinusoidal संकेतों के व्युत्पन्न का एक परिमित योग होगा, अर्थात फिर से sinusoidal संकेतों का एक परिमित योग।

लेकिन यह बाद वाला संकेत वर्ग तरंग y (t) नहीं हो सकता है, क्योंकि साइनसोइडल संकेतों का एक निश्चित योग निरंतर है। इसलिए हमारे पास एक विरोधाभास है।

इसलिए x (t) में अनंत फूरियर घटक होने चाहिए ।

Answer 6

मैं अभ्यास में उपयोग किए जाने वाले बहुत सरल परीक्षण का प्रस्ताव करता हूं। यदि लहर में कोई तीक्ष्ण कोना है तो इसके निर्माण के लिए अनंत साइनुएसिडल घटकों की आवश्यकता होती है।

क्यूं कर? क्योंकि sinusiods की एक परिमित श्रृंखला एक तेज कोने नहीं बना सकती है। यह समास के अपघटन नियम (यानी, a (a + b) = Σ a + Σ b के लिए सभी परिमित योगों और सभी बिना शर्त अभिसरण अनंत योगों पर प्रेरण से सिद्ध होता है।

Answer 7

परिमित फूरियर श्रृंखला द्वारा अभिव्यक्त किए जाने वाले कार्यों का समूह हैं:

$$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$$

For all finite sets of indices N. Term-by-term differentiation shows that the derivative is (1) continuous and (2) also in F. Since the derivative of the triangle wave is not continuous, the function of the triangle wave is not in F.

This proof is based off of discontinuity, but most continuous functions also do not belong to F. Since no polynomial or exponential function can be expressed as a finite sum of sines and cosines, the only members of F are those written out explicitly in the form above.