एस = VI * / 2 व्युत्पत्ति

Question

मैं सोच रहा था कि मुझे जटिल शक्ति सूत्र, S = VI * / 2 के लिए व्युत्पत्ति कहां मिल सकती है, जहां S, V और I जटिल चरण हैं।

मैंने सत्यापन का एक पूरा गुच्छा देखा है जहाँ लोग समीकरण में उप सामान दिखाते हैं कि यह काम करने के लिए होता है।

यहाँ मैं अब तक क्या पता है, तो है $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ और और , तो और और S = Vmiø_v * Im∠ø_i / 2$I=I_{M} ∠ \phi _{I}$$S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$$I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

Comments

आपको S, V, I, और जो भी "* /" का अर्थ है परिभाषित करना होगा।

— ओलिन लेथ्रोप

@ ओलिनथ्रोप, I (वर्तमान) के जटिल संयुग्म के लिए I * है और दो से विभाजित है, क्योंकि वे दोनों पाप तरंगें (V और I *) हैं, इसलिए इन दोनों में उनका RMS रूपांतरण है।

— कोर्तुक

Answer 1

चलो V और मैं एक लोड पर तात्कालिक वोल्टेज और वर्तमान हो। बिजली, वोल्टेज और करंट की परिभाषा से, तात्कालिक शक्ति के लिए हमारा संबंध है:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

जिसका अर्थ है कि किसी दिए गए इंस्टेंट पर बिजली , वोल्टेज के उत्पाद के बराबर और उस इंस्टैंट पर करंट के बराबर होती है।$t$

मुझे लगता है कि आप चरणबद्ध प्रतिनिधित्व का वास्तव में क्या मतलब है से परिचित हैं। बस यह बताने के लिए कि शीघ्र ही: एक फ़ेसर एक अज्ञात अज्ञात आवृत्ति पर एक साइनसॉइड का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक गणितीय शॉर्टहैंड है।

तो, के लिए एक आशुलिपि है वी ( टी ) = वी एम ⋅ सी ओ एस ( ω टी + φ वी ) । इसी तरह: मैं = मैं एम ∠ φ मैं मतलब है मैं ( टी ) = मैं एम ⋅ सी ओ एस ( ω टी + φ मैं ) ।$V=V_{M} ∠ \phi _{V}$$v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$$I=I_{M} ∠ \phi _{I}$$i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

सभी t के लिए गुणा करना , हमें हर t के लिए तात्कालिक शक्ति का तरंग प्रदान करता है । उस गुणन पर काम करना:$v(t) \cdot i(t)$$t$$t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

के रूप में , के साथयू=ωटी+φवीऔरवी=ωटी+φमैं, हम करने के लिए उपरोक्त समीकरण को आसान बनाने में कर सकते हैं:$cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$$u = \omega t+ \phi _{V}$$v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

यह तरंग अपने आप में काफी दिलचस्प है: यह एक निरंतर मूल्य है एक sinusoid द्वारा अभिव्यक्त किया$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$।$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि तात्कालिक शक्ति समय के साथ स्थिर नहीं है।

उस परिणाम के आधार पर, हम देख सकते हैं कि माध्य शक्ति के गैर-भिन्न घटक के बराबर है (यह साबित करने के लिए बहुत सरल है कि गणितीय रूप से, एक को अभिन्न को हल करना होगा$s(t)$)$\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

इस परिणाम से प्रेरित है, और की सुंदर मिठाई ज्यामितीय व्याख्या से , कि मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है वास्तविक शक्ति , यह है कि, शक्ति है कि वास्तव में लोड करने के लिए दिया जाता है। अब आप जानते हैं कि यह तथाकथित वास्तविक शक्ति भार की औसत शक्ति से अधिक कुछ नहीं है।$VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

इस अवधारणा में थोड़ा सा डुबाना (यह एक किटी है जिसे मैं यहाँ नहीं खींच सकता, लेकिन मैं कोशिश करूँगा):

चलो वी परिमाण || वी के साथ एक वेक्टर हो || और चरण , और मैं परिमाण के साथ एक वेक्टर हो सकता हूं || i || और चरण φ मैं आप तो गुणा || मैं || द्वारा ग ओ एस ( φ वी - φ मैं ) आप वी से अधिक मैं का प्रक्षेपण । दूसरी ओर, | | मैं | | एस मैं n ( φ वी - φ मैं ) कहा जाता है के घटक के रूप में मैं में क्षेत्रकलन साथ v$\phi_v$$\phi_i$$cos(\phi_v-\phi_i)$$||i||sin(\phi_v-\phi_i)$।

अब आप समझ सकते हैं कि माध्य शक्ति की एक शांत ज्यामितीय व्याख्या क्यों है: माध्य शक्ति, वोल्टेज के ऊपर वोल्टेज के करंट के प्रक्षेपण से कई गुना अधिक वोल्टेज है।

इसने जटिल शक्ति S के निर्माण को प्रेरित किया:

S = P + jQ

इस परिभाषा के साथ, वेक्टर का वास्तविक हिस्सा वास्तव में लोड करने के लिए दिया जाने वाला औसत शक्ति है, और जटिल हिस्सा है जिसे कहा जाता है कि यह चतुर्भुज में है , जिसे प्रतिक्रियाशील शक्ति कहा जाता है (इस परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या को देखने के लिए पावर ट्रायंगल के लिए Google) ।

ठीक है, अब वापस परिभाषा पर जा रहे हैं, हम देखते हैं कि P $s(t)$औरक्यू, परिभाषा के द्वारा, और एस की परिभाषा के साथ पालन करने के लिए, के बराबर है$P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$$Q$$\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

इसलिए, जैसा कि हम भीख माँगना चाहते हैं:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

So, there you go, what you wanted to see ;)

edit: What's the physical interpretation of Q?

I've shown above what's the physical interpretation of the real part of the complex power, P, that is, the mean power delivered to the load. But what's exactly Q, how can one visualize it? It's based on the fact that cos and sin are orthogonal, and the principle of superposition can be applied to power if the two waveforms involved in the calculation are orthogonal. Let's go into the math, because that's really what matters.

Using the result obtained above: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

First case: purely resistive load, so that $\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a sinusoid centered on $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ with that same amplitude (its minimum value is 0 and its maximum value is $V_{M}I_{M}$ ). Let's call it P

Second case: purely inductive load, so that $\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a purely oscillatory waveform with mean value equal to 0. Let's call this result Q.

Third case: the generic case $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In this case, s(t) is exactly the general equation we found on the discussion above. But we can rewrite that to make use of the result of the two previous cases, like this:

First, we rewrite the equation in terms of $\theta$ (notice that $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$): $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ Knowing that: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$, letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$, that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

Comments

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to $-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$. I thought this term would be the reactive power, Q; however, $Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$. 2. I don't understand how you went from $S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$. It's as though $\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Yep. you're right, that's NOT Q. The reactive power is defined only in terms of the phase difference between voltage and tension, and it's a value that's directly related to the definition of S as a phasor. It's the power that would be delivered by the current in quadrature with the voltage. The time varying component is not taken into account, because in this sense what really matters is the mean power at the load. The varying part EXISTS, is really there (watch a incandescent light bulb, for example), but, over time, the power is related only to the static part of s(t). ;)

— Castilho

Okay, so does this varying part have a special name? Anyway, so if I understand it correctly, the amount of I in the direction of V is the real power, and the amount of I, perpendicular to V is the complex power.

— user968243

almost that, the amount of I in the direction of V multiplied by V is the real power P, the amount of I perpendicular to V multiplied by V is the REACTIVE power Q, P+jQ is the complex power, or apparent power ;)

— Castilho

Okay, that makes sense! Actually in my previous comment, I was asking what the name for this is: −VMIM2cos(2ωt+ϕV+ϕI) I really thought that it was the reactive power... Thanks for your reples by the way, I'm grateful!

— user968243