औसत पावर की गणना करते समय रूट माध्य वर्ग का उपयोग क्यों किया जाता है, और केवल वोल्टेज / करंट का औसत नहीं?

Question

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ जहां$I_{\text{eff}}$ वह प्रभावी करंट है। औसत होने के लिए शक्ति$I$ औसत वर्तमान होना चाहिए, इसलिए मैं यह मान रहा हूं कि प्रभावी वर्तमान औसत प्रवाह है।

उस स्थिति में, is $I_{\text{eff}}$not eff सिर्फ

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

इसके बजाय इसे इस तरह परिभाषित किया गया है:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

इस प्रकार, अलग-अलग उत्तरों में $P$ परिणामों की गणना करने के लिए इन दो अभिव्यक्तियों का उपयोग करना ।

ऐसा क्यों है? मेरे लिए इसका कोई अर्थ नहीं है। मैं केवल अनुमान लगा सकता हूं कि मैं गलत कर रहा हूं प्रभावी वर्तमान औसत है। यदि यह मामला नहीं है, हालांकि, मैं यह नहीं देखता कि कैसे औसत शक्ति हो सकती है जब मैं सिक्का औसत प्रवाह नहीं होता।$P$$I_{\text{eff}}$

Comments

एसी के लिए, औसत वोल्टेज / करंट शून्य है।

— रोजर रोलैंड

शक्ति वर्तमान वर्ग के समानुपाती होती है, वर्तमान परिमाण नहीं।

— चू ०

क्योंकि अगर आप चाहते हैं औसत शक्ति है, तो आप की गणना करने के लिए है शक्ति और यह औसत, कुछ नहीं है कि बिजली नहीं है ।

— नील_यूके Ne

"शक्ति के लिए औसत $ I $ $ औसत चालू होना चाहिए" - यही वह जगह है जहाँ आप गलत हैं।

— user253751

@drobertson "मूल माध्य वर्ग" = वर्ग के माध्य का मूल, जो वर्गमूल के अर्थ के समान नहीं है, और इसलिए निरपेक्ष मान के समान नहीं है।

— user253751

Answer 1

एक सरल उदाहरण लें जहां रकम तुच्छ है। मेरे पास एक वोल्टेज है जो 50% समय पर है और 50% समय बंद है। यह 10V है जब यह चालू है। औसत वोल्टेज इस प्रकार 5 वी है। यदि मैं इसके पार 1 ओम का एक अवरोधक जोड़ता हूं, तो यह चालू होने पर और जब यह बंद होता है, तो यह 100 डब्ल्यू को विघटित कर देगा। इस प्रकार औसत शक्ति 50W है।

अब वोल्टेज को हर समय छोड़ें लेकिन इसे 5V करें। औसत वोल्टेज अभी भी 5V है, लेकिन औसत शक्ति केवल 25W है। उफ़।

या मान लें कि मेरे पास केवल 10% समय पर वोल्टेज है, लेकिन यह 50 वी है। औसत वोल्टेज फिर से 5V है, लेकिन पावर 2500W है जब चालू है, और 0W जब बंद है, तो 250W औसत है।

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वास्तविकता में बिजली की गणना करने के लिए आपको औसतन (या 0 से कुछ समय टी के रूप में आपके उदाहरण में कुछ अंतराल पर बिजली खोजने के लिए) तरंग की अवधि में (तात्कालिक वोल्टेज) * (तात्कालिक वर्तमान) को एकीकृत करना होगा। ।

अगर (और यह एक बड़ा है तो) लोड एक निश्चित अवरोधक है R आप कह सकते हैं कि v = i * R, तो तात्कालिक शक्ति i ^ 2 * R है और इसलिए आप "^" प्राप्त करने के लिए इस अवधि में i ^ 2 को एकीकृत कर सकते हैं। RMS करंट ", और R से बाद में गुणा करें (क्योंकि यह तय हो गया है कि यह इंटीग्रल में दर्ज नहीं है)।

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RMS करेंट विशेष रूप से उपयोगी नहीं है यदि लोड डायोड की तरह कुछ नॉनलाइनियर है। यह किसी दिए गए ESR के साथ संधारित्र की तरह कुछ में नुकसान का विश्लेषण करने में उपयोगी हो सकता है। नुकसान (और परिणामस्वरूप हीटिंग प्रभाव जो संधारित्र जीवन को छोटा करता है) आरएमएस वर्तमान के लिए आनुपातिक होगा, औसत नहीं।

Answer 2

शक्ति के लिए औसत होने के लिए मुझे औसत वर्तमान होना चाहिए, इसलिए मैं यह मान रहा हूं कि प्रभावी वर्तमान औसत प्रवाह है।

संक्षेप में, औसत वोल्टेज x औसत धारा केवल औसत शक्ति के बराबर होती है जब वोल्टेज और करंट डीसी मात्रा में होते हैं। निम्नलिखित उदाहरण के बारे में सोचें: -

यदि आपने 230 V AC को अपने यूटिलिटी पावर आउटलेट से हीटिंग तत्व पर लागू किया है, तो यह गर्म या गर्म हो जाएगा। यह शक्ति ले रही है कि आप के लिए बिल किया जा सकता है। 230 V AC एक साइन वेव है और सभी साइन तरंगों का औसत मान शून्य होता है। हीटिंग तत्व के माध्यम से प्रवाहित होने वाली वर्तमान प्रवाह भी शून्य की औसत मूल्य के साथ एक साइन लहर है।

इसलिए, औसत वोल्टेज x औसत करंट का उपयोग करने से शून्य औसत बिजली पैदा होती है और स्पष्ट रूप से यह गलत है। यह आरएमएस वोल्टेज एक्स आरएमएस वर्तमान है जो एक सार्थक उत्तर देने वाला है (चाहे वह डीसी या एसी हो)।

आपको मूल बातों पर वापस जाना होगा और अपने आप से पूछना होगा कि बिजली क्या है - यह वोल्टेज x करंट है और ये तात्कालिक मान एक साथ कई गुना हैं। इस तरह एक शक्ति तरंग में यह परिणाम है: -

गुणन के कार्य के कारण, बिजली तरंग का अब औसत मूल्य है जो गैर-शून्य है । इसे एक कदम आगे बढ़ाते हुए, यदि लोड रोकनेवाला 1 ओम था, तो धारा का आयाम लागू वोल्टेज के आयाम के बराबर होगा, इसलिए शक्ति का औसत बन जाता है ।$v^2$

यह हमें यह कहने के लिए प्रेरित करता है कि शक्ति the mean of the square of voltage(या वर्तमान) है और, यह देखते हुए कि हमने इस उदाहरण में 1 ओम चुना है, हम यह भी कह सकते हैं कि इस शक्ति का उत्पादन करने वाला प्रभावी वोल्टेज हैsquare root of the mean of the voltage squared "आरएमएस" मान है।

तो, शिखर आयाम की एक साइन लहर के लिए , शक्ति तरंग का शीर्ष v 2 p k है और, क्योंकि साइन लहर द्वारा उत्पादित पावर वेव भी एक साइन वेव (आवृत्ति से दोगुना) पर एक साइन वेव है। (माध्य) मान है: -$v_{pk}$$v^2_{pk}$

। फिर पाने के लिए वर्गमूल ले जाप्रभावीवोल्टेज पर हम पाते हैं$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ यावीपी$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

प्रभाव में एसी वोल्टेज (या करंट) का RMS मान DC वोल्टेज (या करंट) के बराबर मूल्य होता है जो प्रतिरोधक भार में समान ताप प्रभाव पैदा करता है।

तो नहीं, औसत वोल्टेज या औसत धारा अप्रासंगिक है लेकिन औसत शक्ति राजा है।

Comments

अच्छी व्याख्या

— मुकुट

ध्यान दें कि औसत बिजली आरएमएस वोल्टेज बार आरएमएस के बराबर होती है यदि और केवल अगर वोल्टेज और करंट आनुपातिक हैं।

— पीटर ग्रीन

क्या इस गुणन का अर्थ है कि गैर-प्रतिरोधक भार में एक पावर वक्र है जो कभी-कभी ऋणात्मक होता है? क्या इसका मतलब यह है कि शक्ति का भोला औसत वीआरएमएस * आईआरएमएस से अलग है? क्या पॉवर फैक्टर से संबंधित अंतर है?

— रैंडम 832

@ Random832 - ऐसा लगता है कि आपकी टिप्पणी मेरे बाद आनी चाहिए थी लेकिन हां, मैं शब्दों के साथ सावधान था कि जवाब में अनावश्यक जटिलता से बचने के लिए किसी भी शक्ति कारक को लागू न करें। पावर केवल Vrms x के बराबर होती है I भार के लिए एसी सर्किट में 1. पीएफ होता है

— एंडी उर्फ

@ नन्हा हाँ, सामान्य मामला हमेशा तात्कालिक v और i का गुणनफल होता है। वास्तव में पावर फैक्टर कभी नहीं (उपयोग करने के लिए एक बहादुर शब्द) समझदारी से गणना की गई शक्ति का उपयोग किया जाता है। मैंने इस विषय पर बहुत से अन्य उत्तर छोड़े हैं जिन्हें आपने देखा होगा।

— एंडी उर्फ

Answer 3

जब आप गणित से बाहर निकलते हैं तो शैतान विवरण में होता है।

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

The effective DC current is that which dissipates the same average power

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ then it follows: $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

If you look at average voltage/current and RMS voltage/current, they are different because of the properties of integrals. In other words,

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$ If this property were true, then the squared could be pulled out of the integral and cancel with the square root.

Additionally, there is the issue of the $\frac{1}{T}$ underneath the square root which would also cause issues.

In summary, it is because the math does not work out that way.

Comments

This is the more precise and correct answer, IMO.

— hcabral

Answer 4

Average power is just the integral of work, over some finite time period, divided by that time period. For your case, each instant of work is:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

So, you integrate that to get total work for some finite period and then, to convert that into an average power value, you just divide it by the finite period. Or:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

If $R_t$ is a constant over time, then:

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

But if you want to now construct some kind of fictional effective current that fits the $R\cdot I_{eff}^2$ model, then by simple inspection of the above equation it must be the case that:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

It's just an equivalent substitution, right?

And then obviously:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

If you start things so that $t_0=0$ and set $t_1=t$ then you get your own equation. It's that easy, really.

Comments

Nice clean answer. I am sure you would appreciate some digression into 2-norm of Hilbert's spaces too...

— carloc

Answer 5

Imagine two currents flow simultaneously through your load:

• DC current of 1A
• AC current with 1A amplitude

The total current will look something like this:

Now, if we apply your formula for $I_{eff}$, we will get 1A, as if the AC component produced zero power. I hope you agree that this makes even less sense than the original formula.

Answer 6

Consider $R=1\Omega$ and and a current of 1A for one second and 10A for another second. What's the average power?

Obviously, it is

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Let's rewrite this:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

On the other hand, the average current is 5.5A, which gives an "average power" of 30.25W.

The point is, the power formula contains the square of the current, so the effective current is higher than just the average of the (absolute value of) the current.

Answer 7

Let me put this in more general terms: Instant power P(t) dissipated over a load is a product (in mathematical sense as multiplication) of V(t) and I(t). Or I(t)*I(t)/R for that matter. Average power is therefore an average[I(t)*I(t)]/R. The paradox is in the well-known mathematical theorem that an average of a product of variable functions is not equal to product of their averages,

[(V(t)I(t)] != [V(t)]*[I(t)];

equivalently,

[I(t)^2] != [I(t)]*[I(t)]

To illustrate this basic calculus problem to some extreme, assume that you have a resistor load of 1 Ohm, and the voltage is pulsed as 10V for 10% duty cycle, 10% up, 90% no voltage. The real dissipated power is 10V*10A = 100W for 10% of the duty cycle, and zero for the rest of duty cycle. So the average power dissipated by this resistor is 10W.

Now, if you take (or even measure!) the averages separately using separate meters, the average [V] of this pulsed waveform will come up as 1V, and the average of I will come as 1A. Multiplying the measured results one might come to a conclusion that the power consumed by this "device" is only 1W, which will be totally wrong by a factor of 10!!!.

This is a typical mistake in many disciplines and applications. For example this mistake is in the basis of many bogus claims of some magical water heaters that produce more output than the "consumed electricity" usually explained by "cold fusion", or some other BS. There are even patents granted on these "pulsed heaters".