वास्तव में हाइब्रिड एनालॉग / डिजिटल सैंपल-डेटा सिस्टम में शून्य-ऑर्डर होल्ड की भूमिका क्या है?

मैं मानता हूँ, मैं यह सवाल बयानबाजी से पूछ रहा हूँ। मैं उत्सुक हूं कि इससे क्या जवाब वापस आएगा।

यदि आप इसका उत्तर देना चाहते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप शैनन-नेक्विस्ट नमूना प्रमेय को अच्छी तरह से समझते हैं। विशेष रूप से पुनर्निर्माण। पाठ्यपुस्तकों में "गोच" से भी सावधान रहें। डीरेका डेल्टा आवेग समारोह की इंजीनियरिंग धारणा पर्याप्त है। आपको सभी "वितरण" सामानों के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है, नवजात डेल्टा फ़ंक्शन के रूप में डायक्रिक आवेग काफी अच्छा है:

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

कहाँ पे

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

सटीकता, नमूना शब्दों की थोड़ी चौड़ाई, और रूपांतरण में किए गए परिमाणीकरण जैसे मुद्दे इस प्रश्न के लिए प्रासंगिक नहीं हैं। लेकिन स्केलिंग इनपुट से उत्पादन के लिए है प्रासंगिक।

जब तक कोई और सटीक और शैक्षणिक रूप से उपयोगी उत्तर प्रस्तुत नहीं करता, तब तक मैं अपना उत्तर स्वयं लिखूंगा। मैं भी इस पर एक इनाम डाल सकता है (साथ ही मेरे पास जो भी छोटा सा प्रतिनिधि है वह खर्च कर सकता है)।

कोशिश करो।

sampling sample-and-hold zoh

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन
स्रोत

क्या आप मुख्य रूप से अलियासिंग के बारे में सुनने में रुचि रखते हैं?

— अंतिम तिथि

नहीं। मैं मान रहा हूँ कि नमूने के सभी नियमों का पालन किया जा रहा है। अर्थात्, निरंतर-समय इनपुट में कोई भी सामग्री या ऊर्जा नमूना नहीं हो रही है जो कि ऊपर या उसके ऊपर है । अब, याद रखें कि "उपनाम" और "चित्र" में अंतर है।

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

जहाँ तक मुझे याद है, शून्य-क्रम की पकड़ डिजिटल प्रणाली में नमूनों के बीच की देरी है, और जाहिर तौर पर एक नमूने और अगले के बीच चीजों के एनालॉग पक्ष को प्रभावित कर सकता है

— KyranF

@KyranF, यह उससे थोड़ा अधिक है।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

@ रोबर्टब्रिस्टो-जॉनसन टिमो द्वारा दिए गए जवाबों से वास्तव में यह जितना मैंने सोचा था उससे कहीं अधिक शामिल है। उसके साथ अच्छा भाग्य!

— KyranF

जवाबों:

सेट अप

हम एक इनपुट सिग्नल साथ एक प्रणाली पर विचार करते हैं , और स्पष्टता के लिए हम के मूल्यों को वोल्टेज के रूप में संदर्भित करते हैं , जहां आवश्यक हो। हमारी नमूना अवधि , और इसी नमूना दर । $x(t)$ $x(t)$ $T$ $f_s \triangleq 1/T$

फूरियर रूपांतरण के लिए, हम कन्वेंशन उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन ध्यान दें कि इन सम्मेलनों के साथ, लाप्लास चर का एक कार्य है ।

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$

X

$X$

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$

आदर्श नमूना और पुनर्निर्माण

आइए हम आदर्श नमूने से शुरू करें: न्यक्विस्ट-शैनन नमूना प्रमेय के अनुसार , एक संकेत जो कि , यानी लिए bandlimited है। तो मूल संकेत पूरी तरह से नमूने से फिर से बनाया जा सकता है , जहां । दूसरे शब्दों में, संकेत की बैंडविड्थ पर स्थिति ( न्युकिस्ट मानदंड कहा जाता है ) को देखते हुए, यह समय में समसामयिक असतत बिंदुओं पर इसके तात्कालिक मूल्यों को जानने के लिए पर्याप्त है। $x(t)$ $f < \frac{1}{2} f_s$

X (i 2 π f) = 0, w h e n | f | \geq \frac{1}{2} f_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

नमूना प्रमेय भी पुनर्निर्माण के लिए एक स्पष्ट तरीका देता है। आइए हम इसे इस तरह से सही ठहराते हैं जो निम्न प्रकार से सहायक होगा: आइए हम एक सिग्नल के फूरियर ट्रांसफॉर्म को चरण : साथ इसके रीमैन योग द्वारा अनुमानित करें। जहां । आइए हम इसे एक अभिन्न के रूप में फिर से लिखते हैं, हम जो त्रुटि कर रहे हैं, उसे निर्धारित करने के लिए: $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$

एक्स (मैं 2 π च) ~ Σ_{n = - \infty}^{\infty} एक्स (n Δ टी) इ^{- मैं 2 π च n Δ टी} Δ टी,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

\begin{aligned} Σ_{n = - \infty}^{\infty} एक्स (n टी) इ^{- मैं 2 π च n टी} टी & = \int_{- \infty}^{\infty} Σ_{n = - \infty}^{\infty} एक्स (टी) इ^{- मैं 2 π च टी} टी δ (टी - n टी) घ टी \\ = एक्स (मैं 2 π च) * एफ (टी Σ_{n = - \infty}^{\infty} δ (टी - n टी)) \\ (1) & = Σ_{क = - \infty}^{\infty} एक्स (च - क / टी), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$ जहां हमने और नमूना फ़ंक्शन के उत्पाद पर कन्वेक्शन प्रमेय का उपयोग किया है। , तथ्य यह है कि नमूना फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण , और डेल्टा कार्यों पर अभिन्न रूप से किया जाता है।

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

ध्यान दें कि बाएं हाथ की ओर वास्तव में , जहां है असतत समय फूरियर को बदलने इसी नमूना संकेत के , के साथ आयाम रहित असतत समय आवृत्ति। $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

यहाँ हम Nyquist मानदंड के पीछे आवश्यक कारण देखते हैं: यह वही है जो गारंटी देने के लिए आवश्यक है कि योग की शर्तें ओवरलैप नहीं हैं। Nyquist मानदंड के साथ, उपरोक्त राशि अंतराल के स्पेक्ट्रम के आवधिक विस्तार से कम हो जाती है पूरी वास्तविक रेखा तक। $[-f_s/2, f_s/2]$

चूँकि DTFT in में एक ही फूरियर रूपांतरण है अंतराल में अपने मूल संकेत के रूप में, हम इसे केवल आयताकार फ़ंक्शन गुणा कर सकते हैं और मूल संकेत वापस मिलता है। कनवल्शन प्रमेय के माध्यम से , यह आयताकार कार्य के फूरियर रूपांतरण के साथ डीराक कंघी को समझाने के लिए है, जो हमारे सम्मेलनों में जहां सामान्यीकृत sinc समारोह है $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$

F (r e c t (f / f_{s})) = 1 / T s i n c (t / T),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

s i n c (x) ≜ \frac{\sin (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$ इसके बाद दीक्षांत समारोह में प्रत्येक डायराक डेल्टा की जगह डायनेक कंघी में एक सिन-फंक्शन होता है जिसे डेल्टा की स्थिति में स्थानांतरित कर दिया जाता है, यह -शैनन प्रक्षेप सूत्र है ।

\begin{matrix} (2) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] s i n c (t / T - n) । \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

गैर-आदर्श नमूना है

उपरोक्त सिद्धांत को वास्तविक दुनिया में अनुवाद करने के लिए, सबसे कठिन हिस्सा बैंडलिमिटिंग की गारंटी है, जो नमूना लेने से पहले किया जाना चाहिए। इस उत्तर के प्रयोजनों के लिए, हम मानते हैं कि यह किया जा चुका है। फिर शेष कार्य सिग्नल के तात्कालिक मूल्यों के नमूने लेना है। चूँकि एक वास्तविक ADC को नमूना के लिए सन्निकटन बनाने के लिए एक निश्चित समय की आवश्यकता होगी, इसलिए सामान्य कार्यान्वयन सिग्नल के मूल्य को एक नमूना-और-होल्ड-सर्किट पर संग्रहीत करेगा, जहाँ से डिजिटल सन्निकटन बनता है।

भले ही यह शून्य-ऑर्डर-होल्ड से बहुत मिलता जुलता हो, यह एक अलग प्रक्रिया है: नमूना-और-होल्ड से प्राप्त मूल्य वास्तव में सिग्नल का तात्कालिक मान है, यह अनुमान लगाने के लिए कि सिग्नल स्थिर रहता है। नमूना मान रखने वाले संधारित्र को चार्ज करने में लगने वाली अवधि। यह आमतौर पर वास्तविक विश्व प्रणालियों द्वारा अच्छी तरह से हासिल किया जाता है।

इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक वास्तविक दुनिया एडीसी, बैंड-क्लिटिंग की समस्या की अनदेखी, आदर्श नमूने के मामले में एक बहुत अच्छा सन्निकटन है, और विशेष रूप से नमूना और पकड़ से आने वाली "सीढ़ी" किसी भी त्रुटि का कारण नहीं बनती है। स्वयं द्वारा नमूना लेना ।

गैर-आदर्श पुनर्निर्माण

पुनर्निर्माण के लिए, लक्ष्य एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट कि में प्रदर्शित होने-के-योग sincs सिद्ध मिल रहा है । चूँकि sinc में समय की एक अनंत सीमा होती है, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह बिल्कुल महसूस नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, एक उचित सन्निकटन के लिए भी इस तरह के संकेतों के गठन के लिए कई उप-सर्किट की आवश्यकता होती है, और जल्दी से बहुत जटिल हो जाते हैं। इसलिए, आमतौर पर एक बहुत सरल सन्निकटन का उपयोग किया जाता है: प्रत्येक नमूने पर तत्काल, नमूना मूल्य के अनुरूप एक वोल्टेज आउटपुट होता है, और अगले नमूना इंस्टेंट तक स्थिर रखा जाता है (हालांकि वैकल्पिक विधि के उदाहरण के लिए डेल्टा-सिग्मा मॉडुलन देखें )। यह ज़ीरो-ऑर्डर होल्ड है , और आयत फ़ंक्शन के साथ ऊपर उपयोग किए गए सिनको को बदलने के लिए संबंधित है $\eqref{sumofsinc}$ $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ । सजा का मूल्यांकन डेल्टा फ़ंक्शन की परिभाषित संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि इससे वास्तव में क्लासिक निरंतर-समय की तरंग तरंग का परिणाम होता है। का कारक में प्रस्तुत को रद्द करने के लिए प्रवेश करता है । इस तरह के कारक की आवश्यकता इस तथ्य से भी स्पष्ट है कि आवेग प्रतिक्रिया की इकाइयां 1 / समय हैं।

(1 / T r e c t (t / T - 1 / 2)) * (\sum_{n = - \infty}^{\infty} T x [n] δ (t - n T)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

द्वारा पारी गारंटी करने के लिए है करणीय । यह केवल (जिसका वास्तविक समय सिस्टम में परिणाम हो सकता है या जब बाहरी घटनाओं के लिए बहुत सटीक सिंक्रनाइज़ेशन की आवश्यकता हो सकती है) ), जिसे हम इस प्रकार अनदेखा करेंगे। $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

वापस करने के लिए की तुलना , हम आवृत्ति डोमेन है, जो बेसबैंड छोड़ पूरी तरह अछूता और स्पेक्ट्रम, कहा जाता है की उच्च आवृत्ति प्रतियां के सभी हटाया में आयताकार समारोह जगह ले ली है छवियों , फूरियर के साथ समारोह के बदलने । यह निश्चित रूप से $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

s i n c (f / f_{s}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

ध्यान दें कि आदर्श मामले में तर्क कुछ उल्टा है: वहाँ हमने अपने लक्ष्य को परिभाषित किया, जो कि छवियों को हटाने के लिए था, आवृत्ति डोमेन में, और समय डोमेन में परिणाम निकाले। यहाँ हमने परिभाषित किया कि टाइम डोमेन में पुनर्निर्माण कैसे किया जाए (क्योंकि जो हमें पता है कि कैसे करना है), और आवृत्ति डोमेन में परिणाम निकाले।

तो शून्य-ऑर्डर होल्ड का परिणाम यह है कि आवृत्ति डोमेन में आयताकार विंडोिंग के बजाय, हम सिंस के साथ एक विंडोिंग फ़ंक्शन के रूप में समाप्त होते हैं। इसलिए:

फ़्रीक्वेंसी रिस्पांस अब बंदगली नहीं है। बल्कि यह रूप में तय करता है , ऊपरी आवृत्तियों पर मूल सिग्नल की छवियां होती हैं $1/f$
बेसबैंड में, प्रतिक्रिया पहले से ही काफी कम हो जाती है, पर लगभग -4 डीबी तक पहुंच $1/2 f_s$

कुल मिलाकर, शून्य-ऑर्डर होल्ड का उपयोग व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूले में दिखाई देने वाले टाइम-डोमेन sinc फ़ंक्शन को अनुमानित करने के लिए किया जाता है । नमूना करते समय, समान दिखने वाला नमूना और पकड़ संकेत के तात्कालिक मूल्य का अनुमान लगाने की समस्या का एक तकनीकी समाधान है, और अपने आप में कोई त्रुटि उत्पन्न नहीं करता है।

ध्यान दें कि पुनर्निर्माण में कोई भी जानकारी नहीं खोई गई है, क्योंकि हम प्रारंभिक शून्य-ऑर्डर होल्ड के बाद उच्च आवृत्ति छवियों को हमेशा फ़िल्टर कर सकते हैं। डीएसी से पहले या बाद में लाभ हानि को एक व्युत्क्रम सिन फ़िल्टर द्वारा भी मुआवजा दिया जा सकता है। इसलिए अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण से, जीरो-ऑर्डर होल्ड का उपयोग आदर्श पुनर्निर्माण के लिए एक प्रारंभिक कार्यान्वयन योग्य सन्निकटन के निर्माण के लिए किया जाता है , जिसे बाद में और बेहतर बनाया जा सकता है, यदि आवश्यक हो।

— टीमो
स्रोत

यह दिलचस्प है तिमो। आप विकिपीडिया की राजनीति के परिणाम में चल रहे हैं। बाहर की जाँच नमूना प्रमेय पर विकिपीडिया लेख के इस पुराने संस्करण । पोइसन समन सूत्र के पीछे छिपने के बजाय, यह सिर्फ दिखाता है कि नमूना कैसे छवियों को उत्पन्न करता है और मूल निरंतर-समय संकेत को पुनर्प्राप्त करने के लिए स्पष्ट रूप से आवश्यक है। और आप देख सकते हैं कि नमूने के कार्य में कारक क्यों है ।

T

$T$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

यह दिलचस्प है कि विकिपीडिया लेख का पुराना संस्करण वास्तव में स्पष्ट है, मेरी राय में भी। गणना लगभग वही है जो मैं ऊपर लिखता हूं, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक विवरण देता है।

— टिम्मो

वैसे भी, मुझे पूरा यकीन नहीं है कि यह समझने की आवश्यकता है कि के कारक की आवश्यकता क्यों है: मुझे लगता है कि मैं उत्तर में जो लिखता हूं वह लिए आवश्यक होने के लिए एक पर्याप्त शर्त है (तकनीकी रूप से, एक स्थिरता की स्थिति, लेकिन हम पहले से ही मान लें कि पुनर्निर्माण संभव है)। अब, ज़ाहिर है, समझ हमेशा एक व्यक्तिपरक चीज़ है। उदाहरण के लिए, यहां यह कारक की उपस्थिति के लिए एक गहरा कारण माना जा सकता है कि अनिवार्य रूप से एकीकरण माप हो जाता है जब कोई सीमा लेता है ।

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

— तिमिको

मुझे लगता है कि आप जिस बात का जिक्र कर रहे हैं वह दिवा कंघी के प्रतिनिधित्व में 1 / T की उपस्थिति के रूप में जटिल घातांक के योग के रूप में क्यों है, en.wikipedia.org/w/… में ? जो निश्चित रूप से इसे लगाने का एक तरीका है, और एक उपाय के रूप में की भूमिका से काफी सीधे संबंधित है ।

T

$T$

— टिम्मो

मैं मदद नहीं कर सकता, लेकिन आपको लगता है कि आपको केवल उस उत्तर को जोड़ना चाहिए, जिसके बाद आप हैं। टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं।

— डेविड

शून्य-ऑर्डर होल्ड में सैंपल प्रमेय में प्रदर्शित होने वाले डेल्टा और -functions की भूमिका है, जो भी उपयुक्त हो। $\mathrm{sinc}$

स्पष्टता के प्रयोजनों के लिए, मैं वोल्टेज संकेत के साथ एडीसी / डीएसी प्रणाली पर विचार करता हूं। हालांकि, इकाइयों के उपयुक्त परिवर्तन के साथ निम्नलिखित सभी किसी भी नमूने प्रणाली पर लागू होते हैं। मैं यह भी मानता हूं कि Nyquist की कसौटी को पूरा करने के लिए इनपुट सिग्नल पहले से ही जादुई रूप से बैंडलिग किया गया है।

नमूने से शुरू करें: आदर्श रूप से, कोई एक ही पल में इनपुट सिग्नल के मूल्य का नमूना लेगा। चूँकि वास्तविक ADC को अपने अनुमान लगाने के लिए समय की एक निश्चित मात्रा की आवश्यकता होती है, तात्कालिक वोल्टेज को नमूना-और-होल्ड (संधारित्र को चार्ज करने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्विचिंग समय द्वारा अनुमानित किया जा रहा है) द्वारा अनुमानित किया जाता है। तो संक्षेप में, एक स्थिर वोल्टेज को मापने की समस्या के लिए एक डेल्टा कार्यात्मक को सिग्नल पर लागू करने की समस्या को पकड़ता है।

यहां ध्यान दें कि इंपल्स ट्रेन द्वारा लगाए जा रहे इनपुट सिग्नल के अंतर या एक ही इंस्टैंट पर लगाए जा रहे जीरो-ऑर्डर होल्ड केवल व्याख्या का सवाल है, क्योंकि ADC फिर भी केवल तात्कालिक वोल्टेज को स्टोर करेगा। एक को दूसरे से फिर से जोड़ा जा सकता है। इस उत्तर के प्रयोजनों के लिए, मैं इस व्याख्या को अपनाऊंगा कि नमूना संकेत फार्म का निरंतर-समय संकेत है। जहां ADC / DAC का संदर्भ वोल्टेज है, बिट्स की संख्या है, पूर्णांक के रूप में सामान्य तरीके से दर्शाए गए नमूने हैं, और

x (t) = \frac{Δ t V_{r e f}}{2^{n}} \sum_{k} x_{k} δ (t - k Δ t),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$ नमूना अवधि है। कुछ हद तक अपरंपरागत व्याख्या का यह फायदा है कि मैं हर समय, एक सतत-समय संकेत, और नमूना लेने का मतलब केवल संख्या संदर्भ में इसका प्रतिनिधित्व करता , जो वास्तव में सामान्य अर्थों में नमूने हैं।

x_{k}

$x_k$

इस व्याख्या में, बेसबैंड में सिग्नल का स्पेक्ट्रम मूल सिग्नल की तरह ही सटीक होता है, और आवेग ट्रेन द्वारा प्रभावी रूप से उस सिग्नल को दोहराने का प्रभाव होता है जैसे स्पेक्ट्रम को आवधिक बनाने के लिए। प्रतिकृतियों को स्पेक्ट्रम की छवियां कहा जाता है। सामान्यीकरण कारक को देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, अवधि 1 वोल्ट पल्स के DC-ऑफ़सेट पर विचार करके : इसके DC- ऑफ़्स को Fourier रूप में रूप में परिभाषित किया गया है: हमारे नमूना संस्करण से समान परिणाम प्राप्त करने के लिए, हमें वास्तव में । * का कारक शामिल करना चाहिए । $\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{x} (0) = \int_{0}^{Δ t} 1 V d t = 1 V Δ t .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

आदर्श पुनर्निर्माण तब एक विद्युत संकेत का निर्माण करता है जिसमें इस संकेत के समान बेसबैंड स्पेक्ट्रम होता है, और इस सीमा के बाहर आवृत्तियों पर कोई घटक नहीं होता है। यह उपयुक्त -function के साथ आवेग ट्रेन को मनाने के समान है । यह इलेक्ट्रॉनिक रूप से करने के लिए काफी चुनौतीपूर्ण है, इसलिए अक्सर एक आयताकार फ़ंक्शन, AKA शून्य-ऑर्डर होल्ड द्वारा को अनुमानित किया जाता है। संक्षेप में, प्रत्येक डेल्टा फ़ंक्शन में, नमूना की अवधि नमूना अवधि की अवधि के लिए आयोजित की जाती है। $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

पुनर्निर्मित सिग्नल के लिए इसके क्या परिणाम हैं, यह देखने के लिए, मैं देखता हूं कि आयताकार फ़ंक्शन साथ आवेग ट्रेन को समझाने के लिए पकड़ बिल्कुल बराबर है। इस आयताकार फ़ंक्शन के सामान्यीकरण को यह परिभाषित करके परिभाषित किया जाता है कि एक निरंतर वोल्टेज सही तरीके से पुन: पेश किया जाता है, या दूसरे शब्दों में, यदि नमूना एक वोल्टेज मापा गया था , तो एक ही वोल्टेज पुनर्निर्माण पर आउटपुट होता है।

{r e c t}_{Δ t} (t) = \frac{1}{Δ t} r e c t (\frac{t}{Δ t}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

फ़्रीक्वेंसी डोमेन में, आयताकार फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण के साथ आवृत्ति प्रतिक्रिया को गुणा करने के लिए यह मात्रा होती है, जो कि ध्यान दें कि DC पर लाभ । उच्च आवृत्तियों पर, तरह सड़ता है , और इसलिए स्पेक्ट्रम की छवियों को दर्शाता है।

{\hat{r e c t}}_{Δ t} (f) = s i n c (π Δ t f) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

अंत में, शून्य-क्रम धारण के परिणामस्वरूप -फंक्शन सिग्नल पर कम-पास फिल्टर के रूप में व्यवहार करता है। ध्यान दें कि नमूना चरण (Nyquist मानदंड को मानते हुए) में कोई भी जानकारी नहीं खोई गई है, और सिद्धांत रूप में, पुनर्निर्माण के समय न तो कुछ भी खोया है: बेसब्रांड में फ़िल्टरिंग द्वारा द्वारा एक उलटा फ़िल्टर (और) द्वारा मुआवजा दिया जा सकता है यह वास्तव में कभी-कभी किया जाता है, उदाहरण के लिए देखें https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 )। मामूली क्षय आमतौर पर छवियों को फिर से देखने के लिए छानने के कुछ रूप की आवश्यकता होती है। $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

यह भी ध्यान दें कि एक काल्पनिक आवेग जनरेटर जो विश्लेषण में इस्तेमाल की गई आवेग ट्रेन को शारीरिक रूप से पुन: पेश कर सकता है, छवियों को फिर से संगठित करने में ऊर्जा की एक अनंत मात्रा का उत्पादन करेगा। यह भी कुछ बालों के प्रभाव का कारण होगा, जैसे कि एक एडीसी फिर से नमूने का उत्पादन कुछ भी नहीं देखेगा, जब तक कि यह मूल प्रणाली के लिए पूरी तरह से सिंक्रनाइज़ नहीं किया गया था (यह ज्यादातर आवेगों के बीच नमूना होगा)। यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि भले ही हम आउटपुट को ठीक से बांध नहीं सकते, लेकिन सिग्नल की कुल ऊर्जा को नियमित करने के लिए कुछ अनुमानित बैंडलिमिटिंग की हमेशा आवश्यकता होती है, इससे पहले कि इसे भौतिक प्रतिनिधित्व में परिवर्तित किया जा सके।

संक्षेप में:

दोनों दिशाओं में, शून्य-ऑर्डर-होल्ड एक डेल्टा फ़ंक्शन के लिए एक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है, या यह बैंड-सीमित रूप, -function है। $\mathrm{sinc}$
आवृत्ति डोमेन बिंदु से, यह ईंटवॉल फिल्टर के लिए एक सन्निकटन है जो छवियों को हटाता है, और इसलिए आदर्शित आवेग ट्रेन में मौजूद ऊर्जा की अनंत मात्रा को नियंत्रित करता है।

* यह आयामी विश्लेषण से भी स्पष्ट है: एक वोल्टेज सिग्नल के एक फूरियर ट्रांसफॉर्म की इकाइयां जबकि डेल्टा फ़ंक्शन में की इकाइयाँ हैं , जो परिवर्तन में इंटीग्रल से आने वाले समय की इकाई को रद्द कर देगी। $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— टीमो
स्रोत

जब टाइमर मुझे अनुमति देता है, तो मैं इस पर एक इनाम डालूंगा, टिमो। कुछ चीजें हैं जो मुझे पसंद हैं: जैसे कि डीसी लाभ = 1, जो ईक के अनुरूप है। अपने अधिकतम उद्धरण पर 1, लेकिन जिस तरह से कई पाठ्यपुस्तकों ने लाभ के साथ इसे पेंच किया है कि वे नहीं जानते कि क्या करना है। और ऐसा प्रतीत होता है कि आप समझ रहे हैं कि ZOH का ADC के इनपुट पर किसी भी संभावित S / H से कोई लेना-देना नहीं है। यह अच्छी बात है। मैं अभी भी थोड़ा और कठोर उत्तर की प्रतीक्षा करूँगा। और बारे में चिंता न करें । मैं मान रहा हूं कि यह ADC और DAC के लिए समान है।

T

$T$

V_{ref}

$V_\text{ref}$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

@ robertbristow-johnson: इस तरह के शब्दों के लिए धन्यवाद! क्या आप थोड़ा बता सकते हैं कि आप किस दिशा में अधिक कठोर हैं? अधिक विवरण, अधिक मैथ्स प्रूफ स्टाइल उत्तर, या कुछ पूरी तरह से अलग?

— टिमो

मुझे लगता है कि स्वच्छ और सुसंगत गणितीय संकेतन के साथ एक गणितीय उपचार है। मैं सुझाव दूंगा कि ओपेनहेम और विल्की के साथ संगत हो या ऐसा कुछ हो। शायद, ताकि लाप्लास और फूरियर रूपांतरणों में सुसंगत और सुसंगत संकेतन । इस बात पर चर्चा करें कि नमूना प्रमेय क्या कह रहा है और यह वास्तविकता में अलग कैसे है और उस पर ZOH कहाँ आता है।

T ≜ \frac{1}{f_{s}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(nT)$

F {x (t)} = X (j 2 π f) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

ठीक है, मुझे वास्तव में एक और उत्तर लिखने की कोशिश करें, क्योंकि यह संपादन को बदलने के लिए कि आप क्या पसंद करते हैं आदि शायद कुछ गड़बड़ हो जाएगा। मैं इसे पहले एक छोटी सी गलती से ठीक करूंगा, क्योंकि यह मुझे परेशान करती है ...

— टिमो

मैं थोड़ा भ्रमित और धीमा था और अपने इनाम को देने के लिए बाउंटी आइकन को हिट नहीं किया। नियमों के अनुसार: यदि आप 7 दिनों (प्लस ग्रेस पीरियड) के भीतर अपना इनाम नहीं देते हैं, तो बाउंटी को 2 के न्यूनतम स्कोर के साथ शुरू करने के बाद बनाया गया सबसे अधिक वोट दिया गया जवाब आधा इनाम की राशि से सम्मानित किया जाएगा। यदि दो या अधिक योग्य उत्तरों का एक ही स्कोर है (यानी, उनके स्कोर बंधे हुए हैं), तो सबसे पुराने उत्तर को इनाम से सम्मानित किया जाता है। यदि उन मानदंडों को पूरा करने का कोई जवाब नहीं है, तो इनाम किसी को नहीं दिया जाता है। - इन नियमों के अनुसार आपको इसे एक सप्ताह के भीतर प्राप्त करना चाहिए।

— रॉबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन 1

X (j 2 π f) = F {x (t)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

x (t) = F^{- 1} {X (j 2 π f)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (j 2 π f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

rect (u) ≜ {\begin{cases} 0 & if | u | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | u | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

sinc (v) ≜ {\begin{cases} 1 & if v = 0 \\ \frac{\sin (π v)}{π v} & if v \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

$f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ $T$

F {rect (\frac{t}{T})} = T sinc (f T) = \frac{1}{f_{s}} sinc (\frac{f}{f_{s}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

डीराक कंघी (उर्फ "नमूनाकरण समारोह" उर्फ "शा फ़ंक्शन") :

{III}_{T} (t) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

$T$

{III}_{T} (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} t}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

सैंपल्ड कंटिन्यू-टाइम सिग्नल :

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot (T \cdot {III}_{T} (t)) \\ = x (t) \cdot (T \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

$x[n] \triangleq x(nT)$

$x_\text{s}(t)$ $x[n]$ $T$ $x(t)$ $x[n]$ $x_n$ $x_\text{s}(t) = 0$ $nT < t < (n+1)T$ $x[n]$ $n$

$x[n]$ $\mathcal{Z}$ $T$ $x[n]$ $T$ $x[n]$ $T$

$x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (j 2 π f) ≜ F {x_{s} (t)} & = F {x (t) \cdot (T \cdot {III}_{T} (t))} \\ = F {x (t) \cdot (T \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} t})} \\ = F {\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x (t) e^{j 2 π k f_{s} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (t) e^{j 2 π k f_{s} t}} \\ = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (j 2 π (f - k f_{s})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

$T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ $x_\text{s}(t)$ $T$ है कि आप में लगभग सभी पाठ्यपुस्तकों नहीं देख सकेंगे। यह इन पाठ्यपुस्तकों के लेखकों के कई (संबंधित) कारणों के लिए एक शैक्षणिक गलती है:

$T$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$
$T$ $T$
$T$

$x[n]$ $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{D T F T} (ω) & ≜ Z {x [n]} |_{z = e^{j ω}} \\ = X_{Z} (e^{j ω}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j ω n} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

यह दिखाया जा सकता है कि

X_{D T F T} (ω) = X_{Z} (e^{j ω}) = \frac{1}{T} X_{s} (j 2 π f) |_{f = \frac{ω}{2 π T}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

$x(t)$ $x(t)$ $x(t)$ $x[n]$ $x(t)$ $x[n]$ $T$

$x(t)$ $B$

X (j 2 π f) = 0 for all | f | > B

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

मूल की स्थानांतरित छवियों से बना नमूना संकेत के स्पेक्ट्रम पर विचार करें:

X_{s} (j 2 π f) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X (j 2 π (f - k f_{s}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

$X(j 2 \pi f)$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k+1$ $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$

k f_{s} + B < (k + 1) f_{s} - B

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

जो के बराबर है

f_{s} > 2 B

$f_\text{s} > 2B$

$X(j 2 \pi f)$ $k=0$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $k=0$

\begin{aligned} X (j 2 π f) & = rect (\frac{f}{f_{s}}) \cdot X_{s} (j 2 π f) \\ = H (j 2 π f) X_{s} (j 2 π f) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

पुनर्निर्माण फिल्टर है

H (j 2 π f) = rect (\frac{f}{f_{s}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

और तीव्र आवेग प्रतिक्रिया है :

h (t) = F^{- 1} {H (j 2 π f)} = f_{s} sinc (f_{s} t)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

फ़्रीक्वेंसी डोमेन में गुणा के रूप में व्यक्त यह फ़िल्टरिंग ऑपरेशन, टाइम डोमेन में कनवल्शन के बराबर है :

\begin{aligned} x (t) & = h (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h (t) ⊛ T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h (t) ⊛ δ (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (f_{s} sinc (f_{s} (t - n T))) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (f_{s} (t - n T)) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

That spells out explicitly how the original $x(t)$ is reconstructed from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period.

So what is output from a practical Digital-to-Analog Converter (DAC) is neither

\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

which needs no additional treatment to recover $x(t)$ , nor

x_{s} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] T δ (t - n T)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

which, with an ideal brickwall LPF recovers $x(t)$ by isolating and retaining the baseband image and discarding all of the other images.

What comes out of a conventional DAC, if there is no processing or scaling done to the digitized signal, is the value $x[n]$ held at a constant value until the next sample is to be output. This results in a piecewise-constant function:

x_{DAC} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Note the delay of $\frac{1}{2}$ sample period applied to the $\operatorname{rect}(\cdot)$ function. This makes it causal. It means simply that

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) when n T \leq t < (n + 1) T

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

Stated differently

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) for n = floor (\frac{t}{T})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

where $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ is the floor function, defined to be the largest integer not exceeding $u$ .

This DAC output is directly modeled as a linear time-invariant system (LTI) or filter that accepts the ideally sampled signal $x_\text{s}(t)$ and for each impulse in the ideally sampled signal, outputs this impulse response:

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Plugging in to check this...

\begin{aligned} x_{DAC} (t) & = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h_{ZOH} (t) ⊛ T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h_{ZOH} (t) ⊛ δ (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h_{ZOH} (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \frac{1}{T} rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

The DAC output $x_\text{DAC}(t)$ , as the output of an LTI system with impulse response $h_\text{ZOH}(t)$ agrees with the piecewise constant construction above. And the input to this LTI system is the sampled signal $x_\text{s}(t)$ judiciously scaled so that the baseband image of $x_\text{s}(t)$ is exactly the same as the spectrum of the original signal being sampled $x(t)$ . That is

X (j 2 π f) = X_{s} (j 2 π f) for - \frac{f_{s}}{2} < f < + \frac{f_{s}}{2}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

The original signal spectrum is the same as the sampled spectrum, but with all images, that had appeared due to sampling, discarded.

The transfer function of this LTI system, which we call the Zero-order hold (ZOH), is the Laplace Transform of the impulse response:

\begin{aligned} {एच}_{ZOH} (रों) & = एल {ज_{ZOH} (टी)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} ज_{ZOH} (टी) इ^{- रों टी} घ टी \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{टी} रेक्ट (\frac{टी - \frac{टी}{2}}{टी}) इ^{- रों टी} घ टी \\ = \int_{0}^{टी} \frac{1}{टी} इ^{- रों टी} घ टी \\ = \frac{1}{टी} \frac{1}{- रों} इ^{- रों टी} |_{0}^{टी} \\ = \frac{1 - इ^{- रों टी}}{रों टी} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

आवृत्ति प्रतिक्रिया प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त की जाती है $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} {एच}_{ZOH} (जे 2 π च) & = \frac{1 - इ^{- जे 2 π च टी}}{जे 2 π च टी} \\ = इ^{- जे π च टी} \frac{इ^{जे π च टी} - इ^{- जे π च टी}}{जे 2 π च टी} \\ = इ^{- जे π च टी} \frac{पाप (π च टी)}{π च टी} \\ = इ^{- जे π च टी} sinc (च टी) \\ = इ^{- जे π च टी} sinc (\frac{च}{च_{रों}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

यह एक आधे चरण की अवधि में लगातार देरी के साथ एक रैखिक चरण फ़िल्टर को इंगित करता है , $\frac{T}{2}$ , और लाभ के साथ जो आवृत्ति के रूप में घट जाती है $f$ बढ़ती है। यह एक हल्के कम-पास फिल्टर प्रभाव है। डीसी में, $f=0$ लाभ 0 dB है और Nyquist में, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ लाभ -3.9224 डीबी है। इसलिए बेसबैंड छवि में उच्च आवृत्ति घटकों में से कुछ थोड़ा कम हो गया है।

As with the sampled signal $x_\text{s}(t)$ , there are images in sampled signal $x_\text{DAC}(t)$ at integer multiples of the sampling frequency, but those images are significantly reduced in amplitude (compared to the baseband image) because $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ passes through zero when $f = k\cdot f_\text{s}$ for integer $k$ that is not 0, which is right in the middle of those images.

Concluding:

The Zero-order hold (ZOH) is a linear time-invariant model of the signal reconstruction done by a practical Digital-to-Analog converter (DAC) that holds the output constant at the sample value, $x[n]$ , until updated by the next sample $x[n+1]$ .
आम धारणा के विपरीत, ZOH है कुछ भी नहीं के साथ क्या करना नमूना और पकड़ सर्किट (एस / एच) एक एक पूर्ववर्ती दे सकते एनालॉग-टू-डिजिटल कनवर्टर (एडीसी) । जब तक DAC आउटपुट को प्रत्येक नमूना अवधि पर स्थिर मान तक रखता है, तब तक कोई फर्क नहीं पड़ता कि ADC में S / H है या नहीं, ZOH प्रभाव बना हुआ है। यदि DAC टुकड़ा-स्थिर आउटपुट (जैसे कि संकीर्ण दालों के एक अनुक्रम के रूप में, जो अनुमानित डायक्रिक आवेगों से ऊपर है) के अलावा कुछ और आउटपुट करता है, तो ऊपर दर्शाया गया है $x_\text{DAC}(t)$ , तो ZOH प्रभाव मौजूद नहीं है (इसके बजाय कुछ और है), एडीसी से पहले एक एस / एच सर्किट है या नहीं।
ZOH का शुद्ध अंतरण कार्य है
$H_{ZOH} (s) = \frac{1 - e^{- s T}}{s T}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ and the net frequency response of the ZOH is $H_{ZOH} (j 2 π f) = e^{- j π f T} sinc (f T)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ Many textbooks leave out the $T$ factor in the denominator of the transfer function and that is a mistake.
The ZOH reduces the images of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ significantly, but does not eliminate them. To eliminate the images, one needs a good low-pass filter as before. Brickwall LPFs are an idealization. A practical LPF may also attenuate the baseband image (that we want to keep) at high frequencies, and that attenuation must be accounted for as with the attenuation that results from the ZOH (which is less than 3.9224 dB attenuation). The ZOH also delays the signal by one-half sample period, which may have to be taken in consideration (along with the delay of the anti-imaging LPF), particularly if the ZOH is in a feedback loop.

— robert bristow-johnson
स्रोत

मैं मानता हूँ कि आपका उत्तर क्लीनर और मेरा से थोड़ा अधिक साफ है। मैं अभी भी आश्चर्यचकित रह गया था, बड़ा खुलासा क्या था? हो सकता है कि आप डैक-आउटपुट के मॉडल के रूप में शून्य-ऑर्डर होल्ड पर जोर देना चाहते थे ?

— तैमू

आपके उत्तर में कुछ गलतियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह आवृत्ति प्रतिक्रिया में 1/2 नमूना विलंब नहीं दिखाता है। खेद है कि जिस तरह से चीजें हुईं कि हमारा इनाम (जो मेरा था और अब आपका होना चाहिए ) शौचालय के नीचे चला गया।

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

ठीक है, मैं इसका उल्लेख करता हूं (अब लंबे समय में), हालांकि मैं तब इसे कालीन के नीचे ब्रश करता हूं, जो मुझे लगता है कि मैंने ऑडियो के संदर्भ में डीएसपी के बारे में ज्यादातर सोचने के कारण किया, जहां 1/2 नमूना विलंब महत्वहीन है (जब तक कि एक और रास्ता है जो एक undelayed प्रतिलिपि पेश करता है)। मूल रूप से मैं बस के कारक को नहीं ले जाना चाहता था

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$ अंत तक सभी तरह से, इसलिए मैं जो कह रहा हूं उसका एक हिस्सा आप अधिक गहन हैं।

— तिमो

@ टिमो, अब तुम मुझे के रूप में दो बार प्रतिनिधि मिला। जब आप एक इनाम पोस्ट करने जा रहे हैं कि मैं एक छुरा ले जा सकता हूँ ?? :-)

— रोबर्ट ब्रिस्टो-जॉनसन

पर्याप्त रूप से, मुझे कुछ सोचने की कोशिश करनी चाहिए: D

— Timo

वास्तव में हाइब्रिड एनालॉग / डिजिटल सैंपल-डेटा सिस्टम में शून्य-ऑर्डर होल्ड की भूमिका क्या है?

सेट अप

आदर्श नमूना और पुनर्निर्माण

गैर-आदर्श नमूना है

गैर-आदर्श पुनर्निर्माण

शून्य-ऑर्डर होल्ड में सैंपल प्रमेय में प्रदर्शित होने वाले डेल्टा और -functions की भूमिका है, जो भी उपयुक्त हो।sincsinc\mathrm{sinc}

संक्षेप में:

शून्य-ऑर्डर होल्ड में सैंपल प्रमेय में प्रदर्शित होने वाले डेल्टा और -functions की भूमिका है, जो भी उपयुक्त हो। $\mathrm{sinc}$