क्यों अभिन्न शून्य है

Question

मुझे आश्चर्य है कि इस धारणा के तहत कि$\omega \gg \frac{1}{T}$ तो ?$\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

चूंकि इंटीग्रल से तक जैसा होना चाहिए और मूल्यवान होने के बाद हम इसके साथ समाप्त हो जाएंगे:$\frac{\cos(\omega t)}{w}$$0$$T$

$$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$$

Comments

मैं इस विषय को ऑफ-टॉपिक के रूप में बंद करने के लिए मतदान कर रहा हूं क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनिक्स से संबंधित नहीं है और एक शुद्ध गणित आधारित प्रश्न है, और इसलिए math.stackexchange.com

— efox29

बिलकुल नहीं। यह अनुमान सभी संचार प्रणाली में उपयोग किया जाता है और गणित के संदर्भ में शुद्ध गणित प्रश्न नहीं है क्योंकि केवल यह अभिन्न हमेशा शून्य नहीं है

— user59419

क्या मतलब है आपका $\frac{1}{T}\int ...$?

— चू

नहीं, नहीं है $\frac{1}{T}$। अगर$\frac{1}{T}$वर्तमान में यह समझ में आता है और मैंने इसे विभिन्न स्थानों पर देखा है।

— user59419

Answer 1

यदि आप दूरसंचार के बारे में बात कर रहे हैं, तो मुझे लगता है कि हम उच्च आवृत्तियों के बारे में बात कर रहे हैं। अगर ऐसी बात है:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ से लेकर $0$ सेवा $+2$, यदि आप इसे एक बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं तो आपको लगभग शून्य मिलता है।
आपको एक विचार देने के लिए: चारों ओर एक आवृत्ति के लिए$1\;\text{kHz}$(जिसे "अल्ट्रा लो" माना जाता है ), परिणाम एटी मैक्सिम होगा$0.002$।

Comments

मेरे जानवर बल दृष्टिकोण की तुलना में बहुत बेहतर व्याख्या।

— शस्त्रागार

मुझे नहीं लगता कि यह पूर्ण उत्तर है: यह छोटे मूल्यों के लिए भी संभव है $\omega$ संतुष्ट करने के लिए $\omega \gg \frac1T$, अगर $T$काफी बड़ा है।

— इल्मरी करोनें

@ इल्मारियारोन टी दूरसंचार में कभी बड़ी नहीं होती है।

— FMarazzi

Answer 2

आवृत्ति में वृद्धि करके, हम एकीकरण अंतराल में अधिक दोलन अवधि लगा रहे हैं।

चूंकि एक अवधि में एक साइन का अभिन्न शून्य है, इसलिए हमें केवल एकीकरण अंतराल के अंत में "अपूर्ण" अवधि पर विचार करना चाहिए।

जब हम आवृत्ति बढ़ाते हैं, तो इस अपूर्ण अवधि का क्षेत्र पतला और पतला हो जाता है (आवृत्ति को समझाते हुए) $\omega$ निर्धारक में)।

Answer 3

यदि मैं कुछ मूल्यों में प्लग करता हूं, तो मुझे निम्नलिखित मिलते हैं:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ परिणाम

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

अब मुझे यकीन नहीं है कि परिमाण का कौन सा क्रम है $>>$ यह दर्शाता है कि परिणाम को कितना छोटा माना जाना चाहिए $\approx 0$, लेकिन अगर यह बहुत बड़ा है तो शून्य हो जाता है।

के लिए विशिष्ट मूल्य क्या हैं $\omega$ और टी तुम देख रहे हो?

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अद्यतन (टिप्पणियों के कारण):

जैसा कि FMarazzi ने समझाया है कि इस मामले के लिए एक ऊपरी सीमा है $\cos(\omega T)$ -1 है, इसलिए आपके पास होगा $\frac{2}{\omega}$, जो कि पूर्ण रूप से अधिकतम है जो आपको कभी भी किसी भी टी के लिए मिलेगा।

इसलिए यदि आप T के लिए मान चुनते हैं, तो एक तरह से आप दिए गए के लिए अधिकतम प्राप्त करते हैं $\omega$ तालिका में बदल जाता है:

$\omega \rightarrow$ अधिकतम संभव मूल्य

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

और इसी तरह। मुझे नहीं पता कि सन्दर्भ किस सन्दर्भ में उपयोग किया गया है, लेकिन जैसा कि टिप्पणियों द्वारा बताया गया है कि यह संचार प्रणालियों के लिए है, और मेरा अनुमान है कि वे 9600 बॉड में कुछ UART के बारे में नहीं हैं, लेकिन ईथरनेट या तेज़ चीज़ों जैसे कुछ$\omega$ के क्रम में है $10^7$ या उच्चतर, जिसके लिए अभिन्न का परिणाम छोटा हो जाता है और शायद ब्याज की अन्य शर्तों में योगदान नहीं करता है।

Comments

धन्यवाद। आपका प्रश्न निश्चित रूप से समझ में आता है और यही मेरी समस्या है क्योंकि टी और डब्ल्यू की श्रेणी नहीं दी गई है और केवल शर्त >> wT >> 1 का उल्लेख किया गया है। मैं सोच रहा था कि क्या होगा यदि टी = 1000 और डब्ल्यू = 1 तो अभिन्न शून्य नहीं है।

— user59419

यदि टी मनमाना है, तो पाप के तहत क्षेत्र (wt), आम तौर पर, गैर-शून्य होगा। एक और अड़चन होनी चाहिए।

— चू

@ मैं यह नहीं कह रहा हूं कि यह 0 होगा, यह सिर्फ 0 के बहुत करीब होता है, इतना करीब कि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए इसे उपेक्षित किया जा सकता है (यह मनुष्य के लिए चीजों को हल करने के लिए एक सामान्य सरलीकरण है)। FMarazzi ने वास्तव में परिणाम के ऊपरी बाउंड का बेहतर विश्लेषण दिया है।

— शस्त्रागार

@ अरसेनल, लेकिन आपने टी के लिए मान लिया है। मूल प्रश्न में ऐसा कोई विनिर्देश नहीं है - डब्ल्यू और टी दोनों घूमने के लिए स्वतंत्र हैं। तो अभिन्न शून्य से एक लंबा रास्ता तय किया जा सकता है

— चू 11

@Chu हाँ, जो थोड़े अदूरदर्शिता के साथ था। मैंने बात को स्पष्ट करने के लिए अपना उत्तर अपडेट कर दिया है। यह उच्च ओमेगास के लिए शून्य से लंबा रास्ता नहीं हो सकता है।

— शस्त्रागार

Answer 4

समीकरण में एक बड़ा लिखा है $\omega$ अभिन्न लेकिन एक बड़ा का एक छोटा मूल्य में औसत पर परिणाम होगा $T$ नहीं होगा।

मुझे संदेह है कि और अधिक संदर्भ को समझने के लिए आवश्यक है कि इसका क्या मतलब है।

विशेष रूप से हमें यह सोचने की जरूरत है कि वास्तव में हमारे द्वारा क्या मतलब है "$\approx 0$""$\approx 0$"संभावित रूप से" लापरवाही "के रूप में आत्मनिरीक्षण किया जाना चाहिए, लेकिन" लापरवाही "का अर्थ संदर्भ पर निर्भर है। अगर कुछ संबंधित मूल्य है जो बढ़ते मूल्यों के साथ बढ़ता है। $T$ तब यह हो सकता है कि बड़े होने पर अभिन्न का परिणाम $T$ बड़ा है लेकिन $\omega$ छोटा है फिर भी इसे नगण्य माना जा सकता है।