फूरियर श्रृंखला का कार्य क्या है?

Question

फूरियर श्रृंखला क्या है? इसका उपयोग किस लिए किया जाता है?

Answer 1

फूरियर श्रृंखला:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

अवधि एक स्थिर है, जो डीसी स्तर है। यह भी दो से विभाजित किए बिना लिखा जा सकता था, लेकिन यह सम्मेलन है। अनंत योग की शर्तें एक भारित साइन और एक ही आवृत्ति के साथ भारित कोसाइन का योग हैं। यदि आप इन्हें जटिल अरगंड विमान में चरणबद्ध करते हैं, तो आप देखेंगे कि परिणाम फिर से साइन है, लेकिन एक अलग आयाम के साथ, और चरण स्थानांतरित हो गया। इसलिए समीकरण भी लिखा जा सकता है $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

इसलिए हम जीवाओं की राशि है, एक मौलिक आवृत्ति के सभी एकाधिक आवृत्तियों अपने स्वयं के आयाम और चरण के साथ उनमें से प्रत्येक,। $\omega_0$

फूरियर ने साबित किया कि आप हर दोहराव समारोह का इस तरह से वर्णन कर सकते हैं। कभी-कभी श्रृंखला अनंत होती है, कभी-कभी इसमें सीमित संख्या में शब्द होते हैं। कभी-कभी शब्द गायब होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका आयाम शून्य है।

सबसे प्रसिद्ध फूरियर श्रृंखला में से एक वर्ग तरंग है:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

या, विस्तारित:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

तो यह ऐसी श्रृंखला है जिसमें लापता शब्द हैं: एक वर्ग तरंग में भी कोई सामंजस्य नहीं है। निम्न छवि यह दिखाती है कि यह समय डोमेन में कैसा दिखता है:

शीर्ष आरेखण पहले दो शब्दों का योग दिखाता है, फिर एक तीसरा और नीचे एक चौथा शब्द जोड़ा जाता है। प्रत्येक जोड़ा शब्द तरंग को एक वर्ग तरंग के करीब लाएगा, और आपको एक पूर्ण वर्ग तरंग प्राप्त करने के लिए अनंत की श्रृंखला की सीमा की आवश्यकता होगी।

कभी-कभी इसमें मौलिक साइन देखना मुश्किल होता है। उदाहरण के लिए 3Hz साइन और 4Hz साइन का योग लें। परिणामी तरंग 1 सेकंड में एक बार दोहराएगी। 1Hz मौलिक है, भले ही इसका आयाम शून्य हो। श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

निम्नलिखित सभी शब्दों में शून्य आयाम भी हैं।

Comments

$t$

@ दिलीप - उफ़, सही। फिक्स्ड।

— स्टीवन्वह

Answer 2

प्रत्येक साकार करने योग्य एनालॉग सिग्नल, जो कुछ भी आप किसी वोल्टेज पर वैध रूप से सोच सकते हैं या खींच सकते हैं, समय ग्राफ को गणितीय शब्दों में विभिन्न आवृत्तियों की साइन तरंगों की अनंत संख्या के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है - इस रूप में कुछ:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

विभिन्न संकेतों के मूल्यों को बदलने के द्वारा निर्माण कर रहे हैं A, B, Cआदि और f1, f2और अन्य।

जब कोई फूरियर श्रृंखला को संदर्भित करता है तो वे तरंग को ऊपर के अतिरिक्त संचालन की एक श्रृंखला के रूप में व्यक्त करते हैं।

वास्तविक रूप से हर एनालॉग सिग्नल में हर आवृत्ति पर कुछ सामग्री होती है - भले ही आयाम ।1e-67 यह अभी भी वहां है। आदर्श रूप से ऐसा नहीं है - अगर मैं एक शुद्ध वर्ग तरंग का निर्माण करता हूं, तो मुझे एक तथ्य के लिए पता है कि इसमें केवल आवृत्तियों का समावेश होता है जो इसकी अवधि के एक से अधिक कई हैं। इस प्रकार 1 हर्ट्ज वर्ग की लहर 1 हर्ट्ज साइन वेव और 3 हर्ट्ज सिन वेव का योग है और इसी तरह लाइन के नीचे भी। अन्य प्रसिद्ध तरंगों जैसे त्रिकोण तरंगों, और रैंप के लिए लोगों ने गणना की है कि क्या आवृत्तियों मौजूद हैं और किस सामग्री पर हैं।

Comments

किसी भी अनुरूप संकेत नहीं, संकेत को समय-समय पर प्रकृति में होना चाहिए (या आपको अपने विश्लेषण को संकेत के एक खंड तक सीमित करना होगा जो आवधिक है)। आपका भी एनालॉग संकेतों तक सीमित नहीं है और मुझे लगता है कि आज अधिकांश फूरियर रूपांतरण नमूने (असतत) डेटा पर किए जाते हैं, जो कि डीएफटी एक 'सामान्य' फूरियर ट्रांसफॉर्म के बजाय किया जाता है।

— मार्क

आप एक गैर-आवधिक संकेत के फूरियर रूपांतरण को ले सकते हैं - लेकिन जहां एक आवधिक संकेत के फूरियर रूपांतरण में बेस आवृत्ति के केवल असतत गुण होते हैं, एक क्षणिक संकेत का फूरियर रूपांतरण आवृत्ति डोमेन में निरंतर होता है - सभी आवृत्तियों में कुछ सामग्री होती है ।

— एंग्रीईई

मुझे लगता है कि वह विशेष रूप से एक आवधिक संकेत का विश्लेषण करने की कोशिश कर रहा था जो आप इसकी फूरियर श्रृंखला की गणना करते हैं, लेकिन एक सामान्य फूरियर रूपांतरण किसी भी संकेत को संभालता है। ओपी फूरियर श्रृंखला के बारे में पूछ रहा था। बस इसे साफ करने के लिए एक नोट।

— कोर्तुक

सच सच, एक भेद है जो वहाँ बनाया जा सकता है। मैंने हमेशा श्रृंखला के बारे में सोचा था कि यह एक अतिरिक्त श्रृंखला थी।

— एंग्रीईई

फूरियर रूपांतरण प्रति हर्ट्ज (या प्रति रेड / एस) आयाम की इकाइयों में एक आयाम घनत्व फ़ंक्शन है। F(w0) = Aइसका मतलब यह नहीं है कि संकेत में एक शब्द है A*exp(j*w0*t)। इसके बजाय आपको संबंधित समय-डोमेन फ़ंक्शन की गणना करने के लिए एक वर्णक्रमीय बैंड पर एकीकृत करना होगा। जब बैंडविड्थ 0 पर सिकुड़ता है, तो समय-डोमेन मूल्य असीम हो जाता है - जब तक कि स्पेक्ट्रल बैंड में डेल्टा फ़ंक्शन नहीं होता है। सामान्य तौर पर आपके पास एक असीम रूप से अनंत (इसे अनुक्रमित नहीं किया जा सकता है) असीम परिमाण साइनसोइड्स का योग है।

— एरिक सन

Answer 3

फूरियर श्रृंखला 'हार्मोनिक' साइनसोइडल तरंगों के (संभवतः अनंत) योग के रूप में आवधिक तरंग को व्यक्त करने का एक साधन है।

यह एक बंधे (कॉम्पैक्ट) समय अंतराल पर एक संकेत को व्यक्त करने के लिए भी उपयोग किया जाता है क्योंकि साइनसोइडल तरंगों की अनंत राशि है।

अनिवार्य रूप से, समय क्षेत्र में एक संकेत के बीच संबंध स्थापित करके (अर्थात, एक संकेत समय के कार्य के रूप में व्यक्त किया गया है) और आवृत्ति डोमेन में एक बराबर संकेत (अर्थात, आवृत्ति के कार्य के रूप में व्यक्त किया गया संकेत), फूरियर। श्रृंखला संकेतों और प्रणालियों के हार्मोनिक विश्लेषण को सक्षम करती है, जो रेडियो ट्रांसमिशन सिद्धांत, कोडिंग सिद्धांत, नियंत्रण सिद्धांत, क्वांटम सिद्धांत और इंजीनियरिंग के कई अन्य बहुत उपयोगी क्षेत्रों का आधार है।

जबकि संकेतों की फूरियर श्रृंखला अभिव्यक्ति पहली बार में अधिक जटिल लगती है, जिसमें जटिल अभिव्यक्ति और 'अनंत रकम' शामिल होती है, एक गणितीय उपकरण के रूप में, वे इंजीनियरों को उन समस्याओं को हल करने में सक्षम बनाते हैं जिन्हें बंद-प्रपत्र अभिव्यक्तियों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।

सीधे शब्दों में कहें, आवृत्ति और चरण में भिन्नता के रूप में अंतरिक्ष और / या समय में भिन्नता व्यक्त करना कभी-कभी उपयोगी होता है। विशेष रूप से आवधिक रूपांतरों के लिए। लेकिन यहां तक ​​कि जब भिन्नता आवधिक नहीं होती है, बशर्ते कि विविधता अंतरिक्ष और / या समय में कुछ अंतराल तक ही सीमित हो, तो यह आवृत्ति में एक समान अंतराल (बैंडविड्थ) तक ही सीमित होगी।

संचार प्रणाली के लिए चैनल बैंडविड्थ को समझने, छवि संपीड़न एल्गोरिदम को विकसित करने और विद्युत ऊर्जा वितरण प्रणाली की विश्वसनीयता में सुधार करने में फूरियर श्रृंखला के अनुप्रयोग का महत्वपूर्ण योगदान रहा है।

Comments

यदि आप अपने अंतिम पैराग्राफ को महसूस करने के लिए कुछ पठनीय संदर्भों का सुझाव देते हैं तो मैं आपको बहुत धन्यवाद देता हूं "संचार प्रणालियों के लिए चैनल बैंडविड्थ को समझने में फ्यूरियर सीरीज़ के अनुप्रयोग ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है ..." मेरे लिए जिसका प्रमुख शुद्ध गणित है।

— अली बाघेरी

Answer 4

उपरोक्त टिप्पणियों में कुछ व्यावहारिकता जोड़ने के लिए, फूरियर समय-डोमेन श्रृंखला को FFT (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म) और डीएफटी (डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म) जैसे एल्गोरिदम के माध्यम से आवृत्ति-डोमेन घटकों में विघटित किया जा सकता है। एल्गोरिदम को लागू करने में सक्षम होने का एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक परिणाम यह है कि आर एंड डी और लैब-परीक्षण में, हम अक्सर शोर के फर्श के खिलाफ संकेतों की वर्णक्रमीय शुद्धता को मापना चाहते हैं (उदाहरण के लिए एसएनआर या स्प्यूरियस फ्री डायनेमिक रेंज) यह देखने के लिए कि कितना शुद्ध और अक्सर। हमारी सामग्री कंटेंट रहित है। यदि हमारे पास एक समय डोमेन आउटपुट (जैसे DA कनवर्टर प्रक्रिया होगी), हम समय डोमेन प्रतिक्रिया को देखते हुए इन मानों का पता नहीं लगा सकते हैं, तो अक्सर सिमुलेशन पक्ष पर, हम बदलने के लिए एक डीएफटी मॉड्यूल का उपयोग करेंगे वर्णक्रमीय (आवृत्ति) डोमेन में समय डोमेन संकेत। लैब में, एक ऑसिलोस्कोप पर, हमारे पास कुछ उपकरण होने चाहिए जो वर्णक्रमीय गुणों को देख सकते हैं (आमतौर पर हम स्पेक्ट्रम विश्लेषक का उपयोग करते हैं)। इन उपकरणों का दिल फूरियर विश्लेषण और वर्णक्रमीय विघटन विधियों पर निर्भर करता है। इसलिए आपके पास एक व्यावहारिक कारण है कि ईई में फूरियर विश्लेषण महत्वपूर्ण क्यों है।