"जे" काल्पनिक इकाई (एसी सर्किट विश्लेषण) के बारे में प्रश्न

Question

मैंने अभी-अभी AC नेटवर्क विश्लेषण के बारे में सीखना शुरू किया है और "कैलकुलेटर" पर "j" (या "i") काल्पनिक इकाई के बारे में कुछ सवाल किए हैं। मेरी पुस्तक इस बारे में बहुत कुछ नहीं बताती है, और सही सूत्रों और प्रतिस्थापनों में कूदती है (अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण, सैद्धांतिक नहीं)। तो, वास्तव में J क्या दर्शाता है?

मैं देखता हूं कि अगर मैं एक जटिल-विमान खींचता हूं (y- अक्ष काल्पनिक हो रहा है, x- अक्ष वास्तविक है), और उस पर एक इकाई वृत्त खींचता है, एक 90 ° कोण है $\sqrt{-1}$, जो "जे" है। मैं देखता हूं कि मैं इस प्रतिस्थापन को चरणबद्ध रूप में उपयोग कर सकता हूं, जब संधारित्र में वोल्टेज के लिए हल करना, जब इसके माध्यम से विद्युत प्रवाह ज्ञात हो:

$$V = \frac{I}{j \omega C}$$

क्या कोई मुझे यह समझने में मदद कर सकता है?

ईमानदार होने के लिए, यह प्रश्न बहुत अस्पष्ट है क्योंकि मुझे यह भी निश्चित नहीं है कि जे के बारे में कैसे पूछा जाए; यह मेरे लिए विदेशी है। मैं एसी सर्किट विश्लेषण में इसका सामान्य अर्थ-स्पष्टीकरण (बड़ी-तस्वीर) चाहता हूं, जिसका अर्थ और उद्देश्य है। मैं जरूरी नहीं कि एक कठोर गणितीय स्पष्टीकरण की तलाश कर रहा हूं (हालांकि किसी भी आवश्यक गणितीय स्पष्टीकरण का स्वागत है)।

Comments

बीजगणित केस-संवेदी है। J और J अलग-अलग चीजें हैं।

— TRGG 30'14

आप complex-numbersगणित पर टैग के तहत सवालों को देखना चाह सकते हैं। ईएस: math.stackexchange.com/questions/tagged/…

— द

निश्चित रूप से आप गणित पर जो पाते हैं। वह वास्तव में दिलचस्प सवाल छोड़ देगा: इंजीनियरिंग में जटिल संख्याएं उपयोगी क्यों हैं?

— फोटॉन

@ द फोटॉन: इसका जवाब है विकिपीडिया: en.wikipedia.org/wiki/Phasor मैं इसे यहाँ संक्षेप में प्रस्तुत कर सकता हूँ, लेकिन एसई साइटों पर मतदान की गतिशीलता को देखते हुए, यह "बर्बाद बुलेट" होगा।

— फिज़ा

@RespawnedFluff, क्या आप जो जवाब देना चाहते थे, क्या आप उसका जवाब दे रहे हैं?

— फोटॉन

Answer 1

यदि आप संख्या "5" के सामने माइनस साइन करते हैं तो यह "-5" हो जाता है।

कोशिश करो और इसे अलग तरीके से देखो। यह सोचकर देखें कि यह संख्या "5" (मूल लंबाई 5 के तार के टुकड़े से मूल से बंधा हुआ) 180 डिग्री से होकर "2" हो जाती है।

ठीक है तो अब तक? नकारात्मक संकेत 180 डिग्री के घूर्णन के समान हैं ...

इसे आगे बढ़ाने के लिए क्यों न आप "स्टिक" को एक सकारात्मक संख्या के सामने उत्पन्न कर सकते हैं जो 90 डिग्री पर घूमती है - ईई में इसे आमतौर पर "जे" कहा जाता है और यह 90 डिग्री पर एक मान (मूल के बारे में) को घुमाने का काम करता है। जवाबी वार यानी अगर आपने इसे दो बार (j * j) किया तो आपको 180 डिग्री ("-") मिलेगी।

इस ज्ञान के रत्न से आप इसलिए j * j = -1 कह सकते हैं, इसलिए j = $\sqrt{-1}$

जिस तरह माइनस साइन किसी भी पॉजिटिव वैल्यू को 180 डिग्री तक घुमा सकता है, वह किसी भी वेक्टर या फासर को 180 डिग्री तक घुमा सकता है। यही बात j ऑपरेटर पर भी लागू होती है - यह किसी भी वेक्टर या फ़ासर को 90 डिग्री काउंटर क्लॉक वाइज घुमाता है।

EDIT - प्रश्न का हिस्सा भूल गए: -

संधारित्र के प्रतिबाधा में j को प्रतिस्थापित करना। याद रखें कि संधारित्र के लिए मूल सूत्र Q = CV है और इसलिए हमें प्राप्त होने वाले चर को अलग करना है: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

यह हमें बताता है कि एक संधारित्र के पार एक sinewave लागू वोल्टेज के लिए, वर्तमान भी एक sinewave होगा लेकिन इस तरह एक कोसाइन में विभेदित: -

यदि आपने VI संबंध से संधारित्र के प्रतिबाधा (V / I) की गणना करने की कोशिश की है, तो आप मुश्किल में पड़ जाएंगे क्योंकि जब मैं शून्य से गुजरता हूं, तो V शून्य नहीं होता है, इसलिए आपको असीमता मिलती है। यदि दूसरी तरफ आप वोल्टेज को चरण में लाने के लिए "जे" लगाते हैं तो गणित ठीक काम करता है - वर्तमान और वोल्टेज संरेखित होते हैं और वी / आई के तात्कालिक मानों के आधार पर प्रतिबाधा का अर्थ होता है।

मुझे पता है कि आप अभी शुरू कर रहे हैं इसलिए मैंने इसे सटीक और सरल दोनों रखने की कोशिश की है (शायद कुछ के लिए बहुत सरल?)।

यदि आप प्रारंभकर्ता को देखते हैं, तो "जे" को वोल्टेज के साथ वर्तमान के साथ संरेखित करने के लिए लागू किया जा सकता है इसलिए "जे" आगमनात्मक प्रतिक्रिया के लिए अंश में है और जे कैपेसिटिव प्रतिक्रिया के लिए हर में है। यहाँ ऐसी बारीकियाँ हैं जो उम्मीद से समझ में आती हैं क्योंकि आप और अधिक सीखते हैं - यह वास्तव में कोई संयोग नहीं है कि "जे" जब ओमेगा की बात करता है तो उसका "अनुसरण" करता है - मेरा स्पष्टीकरण इसमें शामिल नहीं है और न ही आपका प्रश्न है!

Comments

मुझे आपका उत्तर बहुत मददगार लगा, ख़ासकर आपके द्वारा चरण में तरंगों को लाने के लिए j का उपयोग करने के आपके उल्लेख के साथ; इसने मुझे इसके उपयोग को समझने में मदद की क्योंकि मुझे याद है कि वोल्टेज शुद्ध अधिष्ठापन के लिए 90 * और वर्तमान में शुद्ध टोपी के लिए वर्तमान की ओर जाता है। धन्यवाद!

— asdf

@ और, उर्फ, '' जी '' शून्य होने पर V और I के बीच विभाजन को सक्षम करने के अलावा किसी अन्य उद्देश्य की पूर्ति करता है?

— नूरव

@nurav यह अन्य उद्देश्यों जैसे कि फिल्टर और नियंत्रण प्रणाली में स्थानांतरण कार्यों को हल करने में कार्य करता है। ऊपर दिए गए मेरे उदाहरण में, मैं इसे एक वर्तमान तरंग के साथ संरेखित करने के लिए एक वोल्टेज तरंग को शिफ्ट करने के लिए उपयोग कर रहा था। आप जटिल संख्याओं के क्षेत्र से अवगत हो सकते हैं ।

— एंडी उर्फ

Answer 2

शुद्ध गणित में हम उपयोग करते हैं $i$ के प्रमुख वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करने के लिए $-1$।

का अन्य वर्गमूल $-1$ किया जा रहा है $-i$।

यदि आप एक संख्या रेखा को वास्तविक संख्याओं के साथ क्षैतिज रूप से रखे जाने की कल्पना करते हैं। अब हम काल्पनिक संख्याओं के साथ खड़ी होने वाली दूसरी संख्या रेखा जोड़ सकते हैं।

हमने अब एक जटिल प्रणाली बनाई है जहाँ विमान के प्रत्येक बिंदु को एक वास्तविक और काल्पनिक भाग द्वारा दर्शाया जाता है $4 + 3i$ एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो वास्तविक अक्ष के साथ 4 इकाइयाँ और काल्पनिक धुरी पर 3 इकाइयाँ हैं।

क्योंकि दो आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को अब एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, 2-आयामी वैक्टर से युक्त गणना को सरल किया जाता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स में, जब एकल आवृत्ति साइन वेव द्वारा आपूर्ति की गई प्रणालियों पर विचार करते हैं, तो हमें शुरू में चरण चित्र बनाने के लिए सिखाया जाता है। फिर बाद में इन समस्याओं से निपटने के लिए जटिल संख्या का उपयोग करें।

हम भी उपयोग करते हैं $j$ के बजाय $i$लेकिन अर्थ समान है। यह सिर्फ भ्रम से बचने के लिए है क्योंकि इलेक्ट्रॉनिक्स में$i$ वर्तमान के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है।

यदि आप कुछ अधिक जानकारी चाहते हैं तो इस प्रश्न पर एक नज़र डालें: काल्पनिक संख्याएँ क्या हैं? से गणित स्टैक एक्सचेंज साइट।

या यहां एक नज़र डालें: एक दृश्य, काल्पनिक गाइड से काल्पनिक संख्या ।

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आपकी मदद के लिए धन्यवाद और कुछ अतिरिक्त पढ़ने के लिए संदर्भ!

— asdf

Answer 3

गणित में किसी ने प्रश्न पूछा:

X ^ 2 = -1 का समाधान क्या है?

उन्होंने एक संख्या का आविष्कार किया और कहा कि चलो इसे "जे" कहते हैं।

उन्होंने ऐसा करने के नतीजों पर काम किया। उन्होंने पाया कि इससे मौजूदा गणित के दायरे में कोई विरोधाभास नहीं हुआ।

ध्यान दें कि आप सोच सकते हैं, "ठीक है, क्यों नहीं हर बार आपके पास एक पत्र प्रस्तुत करना चाहिए जो आपके पास कुछ न सुलझने वाला है? मैं सिर्फ 1/0 = f" कॉल करूंगा।

कोशिश करो। यह हमेशा काम नहीं करता क्योंकि अंकगणित के मौजूदा नियम टूट जाते हैं। उदाहरण के लिए आप यह दिखा सकते हैं कि 1/0 = f को परिभाषित करने से आप यह दिखा सकते हैं कि 1 = 2, या 1 = 3, ...

इसलिए गणितीय रूप से यह काम करता है और किसी भी विरोधाभास को जन्म नहीं देता है। अचानक हमारे पास "पैक" करने के लिए एक ही नंबर में जानकारी के दो टुकड़े हैं, जिस तरह से आप एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं: एक वास्तविक / काल्पनिक विमान पर। अचानक हम एक NUMBER में हेरफेर कर सकते हैं जिसमें परिमाण और चरण दोनों होते हैं ठीक उसी तरह जैसे हम "नियमित संख्या" में हेरफेर करते हैं। यह काफी उपयोगी है।

इलेक्ट्रॉनिक्स में यह जानकारी के दो टुकड़ों को एक नंबर में पैक करने में सक्षम होने के लिए काफी सुविधाजनक है। इसलिए जटिल संख्याओं का उपयोग करना काफी सुविधाजनक है। बस इतना ही है। हम बस इतना चाहते हैं कि दोनों एक परिमाण और एक चरण का ट्रैक रखना चाहते हैं - गणित का यह उपकरण जो कई मायनों में सिर्फ पतली हवा से बाहर का आविष्कार किया गया है, लेकिन किसी भी नियम को नहीं तोड़ता है हमें ऐसा करने की अनुमति देता है। तो चलिए इसका इस्तेमाल करते हैं।

Comments

आप यहाँ कुछ बहुत महत्वपूर्ण विवरणों को छोड़ रहे हैं। काल्पनिक संख्याएं एक मनमानी वास्तविक संख्या को वेक्टर में संयोजित करने का एक तरीका नहीं हैं; जटिल संख्याओं की संरचना वास्तविक / काल्पनिक जोड़ी पर एक विशिष्ट तरीके से व्यवहार करती है।

— डस्कवफ-एक्टिव-

@duskwuff: मुझे लगता है कि उनकी बात यह थी कि एक बार जब यह तय हो जाता है कि j x ^ 2 = -1 की दो जड़ों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है, तो उनके लिए एक संरचना का आविष्कार करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जटिल संख्याओं की संरचना [जैसे गुणा (a +) bj) (c + dj) से उपज होगी (ac-bd) + (ad + bc) j] अंकगणित के नियमों के संयोजन से जो कि एक अतिरिक्त स्वयंसिद्ध है।

— Supercat

@ सुपरपैक्ट राइट मैं जो पाने की कोशिश कर रहा हूं वह यह है कि उस संरचना का कुछ भौतिक महत्व है - यह सिर्फ कुछ यादृच्छिक बना-बनाया गणितीय चाल नहीं है।

— डस्कवफ-एक्टिव-

Answer 4

गणित में काल्पनिक इकाई 2 से अधिक क्रम वाले समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक बहुत ही उपयोगी संख्या है। यह सिर्फ परीक्षण के लिए पेश किया गया था ... और यह आज तक बहुत काम करता है। यह हर बहुपद में कम से कम एक जड़ प्राप्त करने का प्रावधान करता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स में काल्पनिक इकाई हमारे सर्किट में संग्रहीत ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। तो, संधारित्र में, यह उस में संग्रहीत ऊर्जा है। यह सर्किट में चरण शिफ्ट का भी प्रतिनिधित्व करता है, जब हम साइनसॉइडल सिग्नल के साथ काम कर रहे होते हैं।

मुझे लगता है कि आपको अपने प्रश्न को और सटीक बनाना चाहिए, या केवल ऐसे प्रश्न लिखना चाहिए जो आपको अंकों में परेशान करते हैं।

उदाहरण के लिए ... यदि आपके सर्किट के प्रतिबाधा को केवल काल्पनिक इकाई द्वारा दर्शाया जाएगा, वास्तविक द्वारा नहीं, तो ऊर्जा के लिए आपका बिल होगा ... ठीक है :)