"परिवार के सामान" का उचित और कुशल आवंटन

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दो सामानों के साथ एक विनिमय अर्थव्यवस्था पर विचार करें, जैसे घर का फर्नीचर (x) और बिजली के उपकरण (y)। इन सामानों के बारे में दिलचस्प बात यह है कि, जब कोई परिवार एक बंडल का मालिक होता है, तो परिवार के सभी सदस्य एक ही बंडल का आनंद लेते हैं (यह एक "क्लब अच्छा" जैसा है लेकिन केवल परिवार के लिए है)।

दो परिवार हैं। प्रत्येक परिवार में, बंडलों पर अलग-अलग प्राथमिकताओं के साथ अलग-अलग सदस्य होते हैं। मान लें कि सभी प्राथमिकताएँ नीरस रूप से बढ़ रही हैं और सख्ती से उत्तल हैं।

एक आवंटन बंडलों की एक जोड़ी है, परिवार के लिए 1 और परिवार 2 के लिए। $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

आवंटन को ईर्ष्या मुक्त कहा जाता है यदि:

परिवार 1 के सभी सदस्यों का मानना है कि कम से कम उतना ही अच्छा है जितना ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
परिवार 2 के सभी सदस्यों का मानना है कि कम से कम उतना अच्छा है जितना । $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

एक आवंटन को पारेटो-कुशल कहा जाता है अगर परिवारों को बंडलों का कोई अन्य आवंटन नहीं होता है जैसे कि सभी परिवारों के सभी सदस्य कमजोर रूप से पसंद करते हैं और एक परिवार के कम से कम एक सदस्य सख्ती से पसंद करते हैं।

Pareto- कुशल ईर्ष्या-मुक्त आवंटन किन परिस्थितियों में मौजूद है?

यदि प्रत्येक परिवार में एक ही सदस्य है, तो पारेतो-कुशल ईर्ष्या-मुक्त आवंटन मौजूद है; यह वेरियन का एक प्रसिद्ध प्रमेय है । क्या यह प्रमेय व्यक्तियों से परिवारों में सामान्यीकृत किया गया है?

— एरल सेगल-हलेवी
स्रोत

ईर्ष्या-निष्ठा की बहुत मजबूत परिभाषा। एक अनुमान लगाता है कि आप किसी तरह प्राथमिकताओं को पहले एकत्र करेंगे और फिर दावा करेंगे कि कुल प्राथमिकताओं के अनुसार कोई ईर्ष्या नहीं है।

— गिस्कर्ड

@ वास्तव में, मैंने प्राथमिकताओं को एकत्रित करने के बारे में सोचा, उदाहरण के लिए एक सामाजिक कल्याण कार्य का उपयोग करना। लेकिन, इस तरह के एक समारोह का हर चयन मनमाना होगा और पर्याप्त रूप से प्रेरित नहीं होगा।

— एलिग सेगल-हलेवी

@ ErelSegal-Halevi क्या आप चाहते हैं कि हम यह भी मान लें कि प्रत्येक परिवार के प्रत्येक सदस्य की उपयोगिता

और

के परिमाण में कमजोर रूप से बढ़ती जा रही है ? यदि हां, तो मेरे पास आपके लिए एक बहुत ही असंतोषजनक स्थिति है जिसके तहत एक Pareto- कुशल, ईर्ष्या-मुक्त आवंटन मौजूद है: मान लीजिए कि, प्रत्येक परिवार के लिए, उस परिवार के प्रत्येक सदस्य की समान प्राथमिकताएँ हैं: ... P

x

$x$

y

$y$

— Shan

@ शेन कमजोर नीरसता एक उचित धारणा की तरह लगता है। यदि, प्रत्येक परिवार में, सभी सदस्यों की प्राथमिकताएँ समान हैं, तो प्रत्येक परिवार वास्तव में एकल एजेंट की तरह है, इसलिए हम मानक सेटिंग पर वापस आ गए हैं ...

— Erel Segal-Halevi

मामले के बारे में जहां

और

? कमजोर एकरसता को मानते हुए, फिर यह पारेतो और ईर्ष्या-मुक्त होना चाहिए। वहाँ से, हम शायद कुछ छोटे एप्सिलॉन परिवर्तन कर सकते हैं?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune कैवेलरी

2

अभी मैं रिलैब्लिंग के समतुल्यता के बारे में निश्चित नहीं हूं, और इसलिए इस एवर की उपयोगिता - नीचे टिप्पणी देखें।

यह एक उत्तर की शुरुआत है और यह दिखाने का प्रयास है कि अस्तित्व की गारंटी देने के लिए आवश्यक धारणाएं कितनी मजबूत होंगी।

$i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

$i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

यही कारण है कि आपको निश्चित रूप से परिवारों के भीतर वरीयता समानता पर कुछ धारणा की आवश्यकता है (कम से कम वेरियन के प्रमाण के एक संस्करण का उपयोग करने के लिए)। मेरी समझ यह है कि यदि आप मुझे परिवार के सदस्यों के बीच वरीयताओं में कोई भी मामूली अंतर देते हैं, तो मैं इसके चारों ओर एक उदाहरण बना सकता हूं जहां कोई सीईईआई मौजूद नहीं है जिसमें वे समान आवंटन चुनते हैं। और फिर, बहुत कम से कम, आप वेरियन के प्रमाण का उपयोग नहीं कर सकते।

दो सवाल:

क्या आप इस बात से सहमत हैं कि समस्या का मेरा सुधार औपचारिक रूप से आपके समकक्ष है?
क्या आप परिवार के भीतर वरीयता को स्वीकार करने से कमजोर किसी धारणा के बारे में सोच सकते हैं कि मैं एक काउंटर-उदाहरण के साथ अमान्य करने का प्रयास कर सकता हूं?

परिशिष्ट: याद रखें कि एक प्रतिस्पर्धी संतुलन में, प्रत्येक एजेंट की प्रतिस्थापन दर (MRS) की सीमांत दर मूल्य अनुपात के बराबर होती है। यहां, मेरे एजेंटों के पास निरंतर और अलग एमआरएस है, इसलिए मूल्य अनुपात के साथ कोई प्रतिस्पर्धी संतुलन नहीं हो सकता है जो उनके एमआरएस के दोनों के बराबर हो। यदि प्रत्येक एजेंट के पास एक एमआरएस है जो भिन्न होता है, तो शायद वे संतुलन मूल्य अनुपात के बराबर हो सकते हैं। तो शायद आप पारिवारिक प्राथमिकताओं की स्थानीय समरूपता की कुछ धारणा से दूर हो सकते हैं। लेकिन आपको उन्हें प्रतिस्पर्धी संतुलन में स्थानीय रूप से समरूप होने की आवश्यकता है, जो कि आप जो साबित करने की कोशिश कर रहे हैं वह मौजूद है, इसलिए यह थोड़ा गोलाकार होगा।

महत्वपूर्ण नोट: जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, मैं मान रहा हूं कि अस्तित्व को साबित करने का एकमात्र तरीका यह है कि वेरियन ने सीईईआई के माध्यम से यह कैसे किया। ऐसी अन्य प्रूफ तकनीकें हो सकती हैं जो इन मुद्दों को स्कर्ट करती हैं, लेकिन मुझे संदेह नहीं है।

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ अगर यह सच नहीं होता, तो पारेटो सुधार होगा। प्रतिस्पर्धी संतुलन अनिवार्य रूप से मूल्य अनुपात के माध्यम से एमआरएस की बराबरी करता है, लेकिन आपको अभी भी इन एमआरएस की समानता पारेटो कुशल आवंटन खोजने के लिए समान करने की आवश्यकता है। मुझे लगता है कि पारिवारिक बाधाएं इसे बहुत कठिन बना देंगी - पर्यावरण और पारिवारिक बाधाओं के साथ आना मुश्किल नहीं है, क्योंकि उन बाधाओं को संतुष्ट करने वाला कोई पारेटो कुशल संतुलन मौजूद नहीं है। किसी भी मामले में, यह एक जवाब की ओर एक और आंशिक कदम हो सकता है: ईर्ष्या-निर्दयता के बारे में भूल जाओ। पहले वरीयताओं (और शायद पारिवारिक बाधाओं पर) पर एक धारणा के साथ आने की कोशिश करें जो पारेटो कुशल आवंटन के अस्तित्व की गारंटी देता है जो पारिवारिक बाधाओं को संतुष्ट करता है। फिर ईर्ष्या की चिंता।

— शेन
स्रोत

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

मैं वारियन का मूल पत्र में पाया: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 PEEF आवंटन, जो CEEI पर भरोसा नहीं करते और इसलिए भी परिस्थितियाँ होती हैं जिनमें एक CEEI मौजूद नहीं है में मान्य हैं के अस्तित्व के सबूत (वरीयताओं नहीं हैं सख्ती से उत्तल)। अब तक, मैं इन प्रमाणों को समझने में कामयाब नहीं हुआ, लेकिन वे प्रासंगिक हो सकते हैं।

— एरेल सहगल-हलेवी

@ ErelSegal-Halevi आपके उदाहरण में, कोई भी आबंटन जिसमें दोनों एजेंटों को कड़ाई से सकारात्मक मात्रा में माल मिलता है, दोनों ही पारेटो अक्षम है, नहीं? मैं आपकी सीमाओं को समझने के लिए संघर्ष कर रहा हूं। आम तौर पर, हालांकि, मैं आपसे सहमत हूं। मैंने पीईईएफ को सीधे (सीईईआई के बिना) साबित करने पर एक अतिरिक्त अनुभाग जोड़ा है। मुझे नहीं लगता कि आप इसे विशेष रूप से संतोषजनक पाएंगे, लेकिन यह मेरे बारे में अभी स्पष्ट है।

— शेन

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— एरेल सेगल-हलेवी

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , 2 नहीं। अब मैं relabeling की तुल्यता पर सवाल उठा रहा हूं। परिवार केवल एक बाधा नहीं हैं (इसमें लोगों को समान सामान साझा करना चाहिए), वे भी एक लाभ हैं, उस सामान में परिवार के भीतर सार्वजनिक / साझा किया जाता है।

— शेन

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

मान लीजिए कि और का कुल एंडोमेंट वेक्टर है । $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

किसी भी , परिभाषित करें । $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

जाँच करें कि अगर , तो और Pareto कुशल ईर्ष्या मुक्त आवंटन है, और दूसरी ओर if , तो और Pareto कुशल ईर्ष्या मुक्त करने के लिए है। आवंटन। $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— अमित
स्रोत

आवश्यकता का अर्थ क्या है ।?

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— इरेल सहगल-हलेवी

परिवार के सभी सदस्यों के पास उच्च MRS है तो परिवार के सभी सदस्य वी।

— अमित

मुझे लगता है कि 2 परिवारों और रैखिक वरीयताओं के लिए, इस आवश्यकता को हटाया जा सकता है। मुझे अभी तक विवरण पर काम करना है।

— एलिग सेगल-हलेवी

मुझे लगता है कि इस आवश्यकता को हटाना मुश्किल होगा क्योंकि हम चाहते हैं कि आवंटन ईर्ष्या मुक्त हो। हो सकता है कि स्थितियां साफ-सुथरी न हों, भले ही यह किसी भी तरह से सुकून भरा हो। लेकिन यह परिणाम उपयोगिता कार्यों के एक बड़े वर्ग के लिए है। अन्य प्रकार की वरीयताओं को शामिल करने के लिए परिणाम का विस्तार करना एक अच्छा विचार होगा। उदाहरण के लिए: कोब डगलस वरीयताओं के लिए इसका एक संस्करण भी साबित हो सकता है।

— अमित

1

मान लीजिए कि सभी परिवारों में सभी एजेंटों की प्राथमिकताएँ मोनोटोन और उत्तल हैं (उपभोक्ता सिद्धांत की मानक धारणाएँ)।

फिर, दो परिवारों के होने पर एक पेरेटो-कुशल ईर्ष्या-रहित आवंटन हमेशा मौजूद रहता है। हालाँकि, तीन या अधिक परिवारों के होने पर इसका अस्तित्व नहीं हो सकता है।

प्रमाण और उदाहरण इस काम के कागज में पाए जा सकते हैं ।

— एरल सेगल-हलेवी
स्रोत

-2

समस्या कथन से यह प्रतीत होता है कि X और Y स्थानापन्न नहीं हो सकते हैं (एक विद्युत उपकरण का उपयोग घर के फर्नीचर के रूप में नहीं किया जा सकता है)।

Pareto- कुशल ईर्ष्या मुक्त आवंटन मौजूद है जब:

कम से कम एक एजेंट के लिए, कम से कम कुछ सामानों में नकारात्मक उपयोगिता होती है या वे पूरक होते हैं, और एजेंट उपभोग नहीं करने के लिए चुना जा सकता है।

उदाहरण:

एजेंट ए और बी परिवार एफ 1 में हैं।
एजेंट A की उपयोगिता कार्य है:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

एजेंट बी की उपयोगिता कार्य है:

यूबी = एक्स 1-एक्स 2 + वाई 1-वाई 2

एजेंट C और D परिवार 2 में हैं।
एजेंट सी में एक उपयोगिता फ़ंक्शन है:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

एजेंट डी में उपयोगिता फ़ंक्शन है:

उद = -X1 + X2-Y1 + Y2

समाधान:

एफ 1 पसंद (एक्स 1, वाई 1) और एजेंट ए ने किसी भी अच्छे का उपभोग नहीं करने के लिए चुना है।

F2 पसंद (X2, Y2) और एजेंट C को किसी भी अच्छे का उपभोग नहीं करने के लिए चुना गया है।

ये वास्तव में शब्दार्थ तर्क हैं और साझा प्राथमिकताओं को ग्रहण किए बिना कोई सार्थक संतुलन नहीं है।

— डीजे सिम्स
स्रोत

क्या आप शायद अपने बयानों को अधिक सटीक बना सकते हैं? उदाहरण के लिए, "नकारात्मक पूरक" क्या हैं? और कृपया पूर्ण साक्ष्य न होने पर दावों का समर्थन करने वाले कम से कम एक तर्कवादी तर्क प्रस्तुत करें, ताकि हम आपके तर्क को समझ सकें।

— शेन

यह आपके उपयोगिता कार्यों से दिखता है जैसे एजेंट ए और बी दूसरे परिवार की खपत के बारे में परवाह करते हैं? और मैं "उपभोग नहीं करने" को चुनने के विचार का पालन नहीं करता। क्या आप मान रहे हैं कि परिवार 1 का सदस्य कहीं भी उपभोग करने का विकल्प चुन सकता है ?

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

— शेन

उत्तर को संपादित किया। आप दूसरे बिंदु पर सही हैं। यदि एजेंटों का उपभोग करना आवश्यक है तो तर्क लागू नहीं होता है।

— डीजे सिम्स