निम्नलिखित अंतर समीकरण को रैखिक कैसे करें?

मैं इकोनॉमिक मॉडलिंग कर रहा हूं जहां इंटरटेम्पोरल कैश-फ्लो वेरिएबल है। मुझे निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध को हल करने की आवश्यकता है $x_t$

x_{t + 1} = \frac{x_{t + 8}}{x_{t + 1}}

$x_{t+1}=\frac{x_{t+8}}{x_{t+1}}$

मेरी समस्या यह है कि मैं ठीक से नहीं जानता कि इस फ़ंक्शन को कैसे रेखांकित किया जाए। शायद मुझे एक नया वैरिएबल मिल जाए और मिल जाए $y_{t} = x_{t+1}$

y_{t}^{2} = x_{t + 8}

$y_{t}^2={x_{t+8}}$

क्या आप मुझे सही रैखिककरण तकनीक के साथ मदद कर सकते हैं, कृपया? मैं आपके जवाब का इंतजार कर रहा हूँ।

time-series difference-equations

— Üबिल यिल्डमर
स्रोत

x_{t + 1}^{2} = x_{t + 8}

$x_{t+1}^2=x_{t+8}$

2 \ln (x_{t + 1}) = \ln (x_{t + 8})

$2\ln(x_{t+1})=\ln(x_{t+8})$

x_{t}

$x_t$

आप दोनों पक्षों का लॉग ले सकते हैं।

x_{t}

$x_{t}$

x_{0}

$x_0$

x_{T}

$x_T$

x_{t} = \sqrt{x_{t + 7}}

$x_t=\sqrt{x_{t+7}}$

x_{0}

$x_0$

x_{7}

$x_7$

x_{0} > 0

$x_{0} > 0$

हमारा पुनरावृत्ति संबंध है

x_{k + 1} = \frac{x_{k + 8}}{x_{k + 1}}

$x_{k+1} = \frac{x_{k+8}}{x_{k+1}}$

यदि भाजक nonzero है, तो इस पुनरावृत्ति संबंध को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है

x_{k + 7} = x_{k}^{2}

$x_{k+7} = x_k^2$

सकारात्मकता को मानते हुए और दोनों पक्षों के लघुगणक को लेते हुए, हम एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं

\ln (x_{k + 7}) = 2 \ln (x_{k})

$\ln (x_{k+7}) = 2 \ln (x_k)$

स्थानांतरण,

\ln (x_{k + 1}) = 2 \ln (x_{k - 6})

$\ln (x_{k+1}) = 2 \ln (x_{k-6})$

चलो

η_{k} := (\ln (x_{k}), \ln (x_{k - 1}), \dots, \ln (x_{k - 6}))

$\eta_k := \left( \ln (x_k), \ln (x_{k-1}), \dots, \ln (x_{k-6}) \right)$

$7$

η_{k + 1} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] η_{k}

$\eta_{k+1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \eta_k$

$7$ $x_k$ $x_k = \exp( \mathrm e_1^{\top}\eta_k )$

— रोड्रिगो डी अजेवेडो
स्रोत