बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का उपयोग कर MLE

Question

मैं एक जापानी प्रोफेसर के इकोनोमेट्रिक्स लेक्चर नोट्स पढ़ रहा हूं। MLE आकलन की व्याख्या करने के लिए वह बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का उपयोग करता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहली पंक्ति loglikelihood फ़ंक्शन है और दूसरी पंक्ति पहली पंक्ति समीकरण के लिए आनुपातिक है। मैं इसके आसपास अपना सिर नहीं मिला सकता। कैसे और क्यों पहले समीकरण को मैट्रिक्स के ट्रेस का उपयोग करके दूसरे के रूप में लिखा जा सकता है। मैंने "ट्रेस ट्रिक" के बारे में सुना और यह इस ट्रिक का अनुप्रयोग होना चाहिए, लेकिन मुझे इसे समझने में मदद करने और संभवतः इसका उपयोग करने की आवश्यकता है। धन्यवाद

Answer 1

जिस "ट्रिक" का आप उल्लेख कर रहे हैं, वह मैट्रिसेस के उत्पाद के ट्रेस की एक संपत्ति है, जिसका नाम है

$${\rm tr}(ABC) = {\rm tr}(BCA)$$

यह मानते हुए कि आयाम आयाम के अनुरूप हैं।

$(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)$$1 \times 1$

$${\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = (x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)$$

लेकिन चूंकि ट्रेस की उल्लिखित संपत्ति से भी,

$${\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = {\rm tr}\Big[\Sigma^{-1} (x_n-\mu)(x_n-\mu)^T\Big]$$

संयोजन करने से वैकल्पिक अभिव्यक्ति को सामान्य लॉग-लाइबिलिटी के रूप में बदल दिया जाता है।