खपत के इष्टतम मार्ग को प्राप्त करना

Question

प्रश्न: एक उपभोक्ता के पास ß0> 0 है और वह इस धन का उपभोग करने का सबसे अच्छा तरीका खोजना चाहता है। खपत c (t) से अधिक वरीयताएँ ₀ e ^-pt (c (t) ^{1- \ sigma} -1) / (1- \ sigma ) द्वारा दी जाती हैं, जहाँ dt 0 < \ rho \ <1 है इंटरटेम्पोरल छूट और \ sigma > 0,। \ neq^∞$\int$^{$\infty$$\sigma$}ρ < 1 σ $\sigma$$\rho\ < 1$$\sigma$$\neq$1. Let wealth (t) समय टी पर धन की मात्रा को दर्शाता है। , समय के साथ खराब नहीं होता है, अर्थात, यदि इसका उपभोग नहीं किया जाता है तो इसका मूल्य कम नहीं होता है। दूसरी ओर, यह ब्याज प्राप्त नहीं करता है। उपभोग की एक इकाई उसी इकाई द्वारा धन में कमी करती है। आप एक केक के रूप में can0 और इष्टतम तरीके से समय के साथ केक खाने की समस्या के रूप में उपभोक्ता की समस्या को देख सकते हैं। समस्या का निरूपण करें और समय के साथ उपभोग का इष्टतम मार्ग खोजें।

(बोल्ड में मेरे सवाल)

उपाय:

समस्या अधिकतम ^∞$\int$^$\infty$ ₀ e ^-pt (c (t) ^{1- $\sigma$} -1) / (1- $\sigma$ ) dt है, जो कि ^∞$\int$^$\infty$ ₀ c (t) .dt = ß0 के अधीन है।

या $.{B}$ = -c दिए गए {0 के साथ। इस समस्या का हैमिल्टन है:

H (c, (, $\mu$ ) = (((c ( ^1-$\sigma$ ) ^{1- sigma} -1) / (1- $\sigma$ ) - $\mu$ c

1) हैमिल्टन के क्या मायने हैं? क्या यह किसी प्रकार की बाधा है?

जहाँ $\mu$ बाधा से जुड़ा हुआ परिवर्तनीय चर है। {B} = -c इष्टतम के लिए स्थितियां $\partial$ यू / $\partial$ सी = 0 और हैं। $\mu$ = $\rho$$\mu$ - $\partial$ एच / $\partial$ बी एक साथ बाधा के साथ। पारगमन की स्थिति है:

lim _{t $\longrightarrow$$\infty$ +} e ^{- $\rho$ t} $\mu$ (t) ß (t) = 0।

2) जब हम एक पारगमन स्थिति का उपयोग करते हैं, तो क्या यह इस मामले में खपत की सीमाओं को परिभाषित करता है?

ये स्थितियाँ:

c ^-$\sigma$ μ μ ρ μ = ,। =$\mu$$\mu$$\rho$$\mu$

ध्यान दें कि एच राज्य चर पर निर्भर नहीं करता है और इसलिए दूसरी इष्टतम स्थिति बहुत सरल है।

3) हम दूसरी इष्टतम स्थिति का उपयोग क्यों कर रहे हैं?

c ^-$\sigma$ μ σ ρ ⇒ μ μ = तात्पर्य है - (.c / c) = । / । दूसरे समीकरण के साथ:$\mu$$\sigma$$\rho$ $\Rightarrow$$\mu$$\mu$

-> (.c / c) = .c / c = - ( / )ρ ⇒ ρ $\sigma$$\rho$ $\Rightarrow$$\rho$$\sigma$

इसलिए, इष्टतम पथ में पथ c (t) = c ₀ e ^{( / ) * t का$\rho$$\sigma$} ∫ ^∞ उपभोग करना शामिल ^है । C0 खोजने के लिए, हम ट्रांसवर्सिटी स्थिति का उपयोग कर सकते हैं। C0, अधिक प्रत्यक्ष और अधिक सहज खोजने का एक और तरीका है, बाधा ₀ c (t) .dt = d0। इस बाधा के अनुसार, c का इष्टतम पथ:$\int$^$\infty$

^{∞ ρ σ}$\int$^$\infty$ ₀ c ₀ e ^{( / ) * t$\rho$$\sigma$} dt = .0

^{ρ σ} ρ σ ^∞ ₀$\Rightarrow$ - (c ₀ e ^{(- / ) * t$\rho$$\sigma$} ) / ( / ) | $\rho$$\sigma$^$\infty$_$0$

नतीजतन, खपत के लिए पथ, अब पूरी तरह से विशेषता है, द्वारा दिया गया है:

c (t) = ( / ) .ß0.e ^{- ( / vigma) .t}σ ^{ρ σ}$\rho$$\sigma$^{$\rho$$\sigma$}

हम देखते हैं कि समय के साथ खपत धीरे-धीरे कम हो जाती है, अगर higher0 अधिक है, तो खपत अधिक है, और यह कि और खपत के लिए इष्टतम मार्ग को प्रभावित करते हैं।σ एल $\rho$$\sigma$