एक व्यवहार्य तर्कसंगत भुगतान जो दोहराए गए खेल में एक संतुलन भुगतान नहीं है

Question

पाठ्यपुस्तक मैं वर्तमान में यह दावा कर रहा हूं कि छूट के साथ असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेल में, एक पेऑफ वेक्टर हो सकता है जो व्यवहार्य और व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत है, लेकिन यह दोहराए गए गेम में एक संतुलन अदायगी वेक्टर नहीं है। उदाहरण तीन खिलाड़ियों के लिए निम्नलिखित बुनियादी खेल है:

     L       R
T  0,2,5    0,0,0
M  0,1,0    2,0,5
B  1,1,0    1,1,0

तीसरा खिलाड़ी एक डमी खिलाड़ी है जिसमें केवल एक ही संभव कार्रवाई है।

इस खेल में:

• खिलाड़ियों का न्यूनतम मान 1,1,0 है।
• अदायगी वेक्टर 1,1,5 व्यक्तिगत रूप से तर्कसंगत और व्यवहार्य है (जैसे टीएल और एमआर को समान आवृत्तियों के साथ मिलाकर)।

पुस्तक का दावा है कि संतुलन में एकमात्र अदायगी वेक्टर 1,1,0 है! क्यूं कर?

दोहराए गए खेल में $ E $ कुछ संतुलन होना चाहिए। $ E $ में पंक्ति और स्तंभ खिलाड़ियों का भुगतान 1 होना चाहिए, क्योंकि:

• उन्हें कम से कम 1 होना चाहिए क्योंकि ये न्यूनतम मान हैं;
• उन्हें अधिकतम 1 पर होना चाहिए क्योंकि हर परिणाम में इन खिलाड़ियों की उपयोगिताओं का योग अधिकतम 2 पर है।

टीआर और एमएल कोशिकाओं में, पंक्ति और स्तंभ खिलाड़ियों की उपयोगिताओं का योग 2 से कम है; इसलिए, इन कोशिकाओं को संतुलन में नहीं खेला जाता है।

तो संतुलन में, केवल कोशिकाओं को सकारात्मक आवृत्ति के साथ खेला जा सकता है: टीएल, एमआर, बीएल, बीआर।

अब, लेखकों का दावा है कि टीएल और एमआर को भी संतुलन में बिल्कुल नहीं खेला जाता है। इससे वे निष्कर्ष निकालते हैं कि डमी खिलाड़ी का भुगतान 0. है। मुझे यह हिस्सा समझ नहीं आया। क्या यह सच है कि टीएल और एमआर को कभी संतुलन में नहीं खेला जाता है? क्यूं कर?

Answer 1

यह छूट के कारण सच है। यदि डिस्काउंट पैरामीटर $ \ डेल्टा = 1 $ था, तो खिलाड़ी 1 और 2 वैकल्पिक रूप से टीएल और एमआर को संतुलन में खेल सकते हैं और फिर औसत भुगतान वेक्टर $ 1,1,5 $ तक पहुंच सकते हैं। लेकिन अगर $ डेल्टा और लेफ्टिनेंट; 1 $ कोई साथ नहीं खेलेगा। मान लीजिए कि खिलाड़ियों को टीएल के साथ शुरू करना है। फिर एमआर अगले दौर में फिर, फिर टीएल फिर, और इसी तरह आगे बढ़ेगा। इस मामले में $$ U_1 = 0 + 2 \ cdot \ delta + 0 \ cdot \ delta ^ 2 + 2 \ cdot \ delta ^ 3 + ... $$ फिर भी हमेशा B खिलाड़ी 1 खेलने से भुगतान प्राप्त होता है $$ U_1 '= 1 + 1 \ cdot \ डेल्टा + 1 \ cdot \ डेल्टा ^ 2 + 1 \ cdot \ डेल्टा ^ 3 + ... $$ जो बड़ा है तो $ U_1 $ है। इसी तरह खिलाड़ी 2 एमआर के साथ शुरू नहीं करना चाहेगा। तो ये संतुलन प्लेऑफ़ नहीं हैं। (यहां तक ​​कि औमन के सहसंबद्ध-संतुलन की चाल भी नहीं चलेगी।)

Comments

यह पुस्तक में स्पष्टीकरण की तुलना में बहुत स्पष्ट है। धन्यवाद!

— Erel Segal-Halevi

लेकिन, आपने केवल यह साबित किया कि खिलाड़ी निश्चित रूप से टीएल और एमआर नहीं खेलते हैं। यह भी साबित किया जाना चाहिए कि वे टीएल और एमआर को किसी सकारात्मक संभावना में नहीं खेलते हैं। मुझे लगता है कि विचार इस प्रकार है: यदि खिलाड़ी टीएल को सकारात्मक संभावना के साथ खेलते हैं, तो, चूंकि वे टीआर और एमएल नहीं खेलते हैं, यह केवल तभी हो सकता है जब स्तंभ खिलाड़ी निश्चितता के साथ एल खेलता है और पंक्ति खिलाड़ी टी और बी को मिलाता है। लेकिन, इस तरह के मिश्रण पंक्ति खिलाड़ी को पहले चरण में 1 से कम सख्ती से देता है। इसलिए, पंक्ति खिलाड़ी के पास संभावना 1 के साथ बी को विचलित करने का एक प्रोत्साहन है, जैसा आपने कहा था।

— Erel Segal-Halevi