CES प्रोडक्शन फंक्शन with

प्रपत्र CES उत्पादन कार्यों का उपयोग करने में , हम हमेशा उस । हम यह धारणा क्यों बनाते हैं? मैं समझता हूं कि अगर , उत्पादन समारोह अब अवतल नहीं होगा (और इसलिए उत्पादन सेट उत्तल नहीं होगा), लेकिन लाभ और लागत कार्यों के बारे में इसका क्या मतलब है? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— शेर अफगान
स्रोत

ρ

$\rho$ ऊपर एक कोने के समाधान में परिणाम होगा जहां केवल एक इनपुट को सकारात्मक मात्रा के साथ चुना जाता है। चूंकि बहु-अच्छे उत्पादन कार्यों का बिंदु आमतौर पर उन परिस्थितियों को मॉडल करना है जहां दो इनपुट वास्तव में उपयोग किए जाते हैं, यह एक अवांछनीय विशेषता है।

— बीके

क्या लाभ अधिकतम समस्या का समाधान होगा?

— शेर अफगान

@SherAfagan, रैखिक फ़ंक्शन साथ सीईएस परिवार में नहीं लगता है , क्योंकि इसके प्रतिस्थापन की लोच स्थिर नहीं है।

ρ = 1

$\rho = 1$

— गारेज

जवाबों:

साथ समस्या यह है कि इसका मतलब है कि कारकों का सीमांत उत्पाद घट नहीं रहा है ( ) या स्थिर ( ) लेकिन बढ़ता जा रहा है, जो एक अजीब धारणा है। इस तरह के फ़ंक्शंस आइसोक्वांट्स हैं जो अवतल हैं, और केवल एक कारक का उपयोग किया जा सकता है (जैसा कि बीके ने कहा)। $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

जैसा कि किसी भी सामान्य सीईएस में, कारक का सीमांत उत्पाद है $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

इस सांसद की व्युत्पत्ति संबंध में है, कुछ पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

के लिए , इस अभिव्यक्ति सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कि कारक के अधिक के रूप में एक कारक की उत्पादकता बढ़ती है प्रयोग किया जाता है। $\rho>1$

Isoquants के बारे में, आप रूप में उत्पादन फ़ंक्शन को फिर से लिखकर पा सकते हैं । जेनेरिक CES में, यह है $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

ये के मामले में रैखिक हैं , कॉब-डगलस के मामले में उत्तल हैं (जहां ऊपर का कार्य , एक अतिशयोक्ति) है, और के मामले में अवतल है । उदाहरण के लिए, और आपके पास: $\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

जो त्रिज्या साथ पर केन्द्रित एक वृत्त का सूत्र है । आम तौर पर, उत्पादन सिद्धांत के लिए केवल दिलचस्प है, जो आपको विभिन्न स्तरों के लिए अवतल समसूत्री देता है । नीचे दिया गया आंकड़ा एक उदाहरण दिखाता है, किसी दिए गए कारक मूल्य अनुपात के लिए थे, एक कोने का समाधान है (बिंदु ए): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

( यहां आंकड़ा पुन: प्रस्तुत करने के लिए कोड )

— luchonacho
स्रोत

यहाँ इस प्रश्न पर मेरा प्रयास है, यह अधूरा है और / या गलत है इसलिए कृपया सुझाव देने में मदद करें और मैं इसे संपादित करूँगा।

लागत न्यूनतम

चूंकि अर्ध-अवतल नहीं है, इसलिए संबंधित समोच्च वक्र मूल के लिए कोवेक्स नहीं होंगे (अर्थात उनका ऊपरी समोच्च सेट उत्तल नहीं होगा)। इस मामले में फर्म को कोने के समाधान को रोजगार देना चाहिए और सशर्त कारक मांगों को इस प्रकार दिया जाएगा; ये सशर्त कारक मांगें लागत फ़ंक्शन देती हैं; लाभ अधिकतमकरण $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

मैं वास्तव में यहाँ उलझन में हूँ। भले ही उत्पादन समारोह उत्तल है, लेकिन यह अभी भी गैर-बढ़ते रिटर्न को पैमाने पर प्रदर्शित करता है। । यह समाधान अभी भी मौजूद होगा (दाएं?)। तो उत्पादन कार्य प्रभाव के गैर-समाधान की अधिकतम संभावना कैसे है? $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— शेर अफगान
स्रोत

आपका भ्रम स्पष्ट करना आसान है: याद रखें कि उत्तल प्राथमिकताएं अवतल उपयोगिता कार्य नहीं करती हैं। वे केवल यह कहते हैं कि ऊपरी समोच्च सेट उत्तल हैं। इसी प्रकार, विचाराधीन उत्पादन कार्य के लिए, विचार करें । नियंत्रित करता है कि फ़ंक्शन अवतल है या उत्तल, नियंत्रित करता है कि क्या समोच्च सेट उत्तल हैं।

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

— एचआरएसई

मुझे समझ में नहीं आता, अवतल कार्य का तात्पर्य है कि ऊपरी समोच्च सेट उत्तल हैं। अर्थ है कि फ़ंक्शन अवतल है और इसका अर्थ है कि यह अर्ध-अवतल है, जिसका अर्थ है ऊपरी समोच्च सेट स्तर सेट तक उत्तल हैं। जहां तक मैं समझता हूं कि आपके उदाहरण में मूल फ़ंक्शन के मोनोटोनिक परिवर्तन का उत्पादन करता है जो अवतल हो सकता है या नहीं हो सकता है। वैसे भी कि कैसे प्रभाव लाभ अधिकतम समाधान है?

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

— शेर अफगान

मान लीजिए कि । उपरोक्त परिभाषित समुच्चय the की शक्ति के लिए अधिकतम कार्य करता है । इस प्रकार, ऊपरी समोच्च सेट उत्तल नहीं हैं। अब प्रत्येक आप एक छोटे से पर्याप्त पा सकते हैं, जैसे कि फंक्शन बढ़ रहा है या रिटर्न कम हो रहा है। पैमाने पर रिटर्न इस प्रकार ऊपरी समोच्च सेट के उत्तलता से असंबंधित है।

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

— HRSE

समझा। तो भी अगर , हम मूल्य के आधार पर लाभ को अधिकतम कर सकते हैं । क्या मैं यह कहने में सही हूं कि हमारे पास समाधान होगा (उत्पादन कार्य पैमाने पर घटते हुए रिटर्न को प्रदर्शित करेगा) अगर , दूसरी ओर if , उत्पादन समारोह पैमाने पर रिटर्न में वृद्धि प्रदर्शित करेगा और वहाँ होगा लाभ अधिकतम समस्या का कोई समाधान नहीं है?

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

— शेर अफगान

चाहे लाभ अधिकतमकरण समस्या का समाधान अतिरिक्त रूप से मौजूद हो, बाजार संरचना पर निर्भर करता है। एक एकाधिकारवादी लाभ अधिकतमकरण समस्या आमतौर पर अभी भी अच्छी तरह से परिभाषित है, जबकि मूल्य लेने वाली फर्मों के लिए यह मामला नहीं होगा।

— एचआरएसई

संक्षेप में, प्रतिस्पर्धी मामले के लिए शॉर्ट-रन (कम से कम एक कारक तय हो गया है) में अधिकतम लाभ लिए कोई समाधान नहीं होने जा रहा है । $\rho \geq 1$

उत्पादन समारोह से लागत समारोह तक पहुंचने के लिए, हमें कारक कीमतों ( और पाठ्य पुस्तकों के उदाहरण के लिए) को पेश करने और अनुकूलन समस्या को हल करने की आवश्यकता है। यहां व्यापक विस्तार पाया जा सकता है । $r$ $w$

अंतर्ज्ञान बनाने के लिए, आइए और एक कारक को ठीक करें। लाभ से निपटने के लिए , हमें उत्पादित वस्तुओं के साथ-साथ लिए कीमतों का परिचय देना चाहिए । तो समस्या इस प्रकार दिख सकती है ( ): $w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

यह दिखाया जा सकता है कि इस प्रकार के लाभ समारोह के लिए SOC है: , जिसका अर्थ है कि कोई वैश्विक अधिकतम नहीं है (हालांकि न्यूनतम मौजूद है)। $\pi'' >0$

एक समान उदाहरण ( CES से प्राप्त नहीं ) में समान प्रभाव देखने के लिए , इस पर विचार करें:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC । $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

सूचना लेकिन नहीं कहो, हमेशा की तरह। आइए अंतर की सराहना करने के लिए प्लॉट पर लिए उन दो मामलों की तुलना करें । $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
स्रोत