के सहज स्पष्टीकरण

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क्या कोई भी इस बात का सहज विवरण दे सकता है कि स्लटस्की मैट्रिक्स का मूल्य वेक्टर द्वारा गुणक शून्य गुणक क्यों है?

मुझे पता है कि यह सच है लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि यह सच क्यों है। क्या कोई यहाँ मदद कर सकता है?

microeconomics

— Microhelp
स्रोत

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यह बहुभिन्नरूपी कार्यों के दूसरे व्युत्पन्न / हेसियन मैट्रिक्स का एक सामान्य गणितीय गुण है जो डिग्री एक के सजातीय हैं।

एक्सपेंडेचर फंक्शन कीमतों में एक डिग्री के सजातीय है। क्यों? यदि सभी कीमतें एक ही अनुपात में बदल जाती हैं (जो कि हम समरूपता की गणितीय संपत्ति के लिए कैसे जांचते हैं), सापेक्ष मूल्य नहीं बदलते हैं। तो सापेक्ष मूल्य में परिवर्तन नहीं करते, किसी निश्चित उपयोगिता प्राप्त करने के लिए कम से कम लागत वाली मुआवजा खपत बंडल के मात्रात्मक रचना परिवर्तन नहीं करता है सब पर । फिर, चूंकि सभी कीमतें समान अनुपात से बढ़ी हैं, बजट शेयर समान रहते हैं, और समान उपयोगिता प्राप्त करने के लिए आवश्यक व्यय, उसी अनुपात में उगता है: डिग्री एक की एकरूपता। $E$

द्वंद्व करके, Hicksian मांग वेक्टर व्यय समारोह, की ढाल है । $H = \nabla_p E$

हिक्सियन मांग वेक्टर, हमें न्यूनतम-लागत मात्रा की मांग करता है। व्यय समारोह की डिग्री एक की समरूपता के कारण, हिक्सियन मांग वेक्टर समय के आंतरिक उत्पाद की कीमत वेक्टर व्यय व्यय के बराबर होती है। यह भी सहज होना चाहिए: हम बस यूनिट मूल्य द्वारा मांग की गई प्रत्येक मात्रा को उसके लिए भुगतान किया जाना चाहिए, और इन उत्पादों को संक्षेप में, हम कुल व्यय प्राप्त करते हैं जो हमें दी गई उपयोगिता के लिए न्यूनतम लागत बंडल प्राप्त करने के लिए खर्च करना चाहिए।

$E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

और ऐसा होना ही चाहिए

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

$k$ $k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

इसलिए परिणाम व्यय समारोह की डिग्री एक की एकरूपता से उपजा है। क्या एक सहज व्याख्या है, जो व्यय समारोह की डिग्री एक की समरूपता के पीछे अंतर्ज्ञान के साथ अनुरूप है? खैर, पूर्व सीधे उत्तरार्द्ध से आता है , इसलिए "अलग" सहज तर्क के साथ आना मुश्किल है। जब कोई अनौपचारिक रूप से कह सकता है कि मांग की गई क्षतिपूर्ति मात्राएँ "स्वतंत्र" हैं (मूल्य से प्रभावित नहीं) मूल्य भिन्नता जब रिश्तेदार कीमतें समान रहती हैं। फिर ज्यामितीय शब्दों में, इसका मतलब है कि मुआवजे की मात्रा के परिवर्तन के वैक्टर की मांग (जो कि स्लटस्की मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में है), मूल्य वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल हैं ।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

वाह। यह एक शानदार जवाब है।

— 123

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मुझे नहीं पता कि क्या आप इसे एक स्पष्टीकरण के रूप में मानेंगे, या एक प्रमाण के रूप में।

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

एक और तरीका रखो, क्योंकि किसी भी अच्छे के लिए हिक्सियन की मांग कीमतों में बदलाव के लिए उत्तरदायी नहीं है, जो सापेक्ष कीमतों को समान बनाए रखता है, तो अगर हम एक अच्छा पर इन मूल्य परिवर्तनों के व्यक्तिगत प्रभावों को देखते हैं, तो हमें एक निरीक्षण करना चाहिए 0 परिवर्तन।

— रमज़ान
स्रोत

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$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
स्रोत