क्या मोनोटोनिक और निरंतर प्राथमिकताएं आवश्यक रूप से तर्कसंगत हैं?

Question

Let एक कड़ाई से मोनोटोनिक और निरंतर वरीयता संबंध है, और X = \ mathbb {R} ^ {n} खपत सेट हो।$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

की समझदारी है $\succsim$ इन शर्तों के अनुसार लगाए गए?

मुझे लगता है कि संक्रामकता निरंतरता से निहित है। हालाँकि, पूर्णता परेशान कर रही है, क्योंकि एक्स में तत्व x, y \ हैं जिन्हें \ leq या \ geq के$x,y \in X$ संबंध में आदेश नहीं दिया जा सकता है , और इसलिए हम यह दिखाने के लिए कि नीरसता का उपयोग नहीं कर सकते हैं ।$\leq$$\geq$$\succsim$

मैं एक दृश्य के निर्माण के बारे में सोचा है $x_{n}$ के साथ $x_{1}=x$ ऐसी है कि $x_{n} \to y$ और या तो $x_{n}\succsim x_{n+1}$ या $x_{n+1} \succsim x_{n}$ । फिर परिवर्तनशीलता और निरंतरता से हम दिखा सकते हैं कि $x$ और $y$ को \ _ succsim के संबंध में आदेश दिया जा सकता है $\succsim$, लेकिन मुझे नहीं लगता कि इस तरह के अनुक्रम का निर्माण संभव है।

किसी भी मदद की सराहना की जाएगी, लेकिन कृपया संकेत दें और पूर्ण समाधान नहीं।

Comments

दुर्भाग्य से किसी संबंध की परिवर्तनशीलता केवल निरंतरता से नहीं चलती है। बता दें कि R का रिश्ता 'एक से कम का अंतर है'। वास्तविक संख्याओं पर R निरंतर है लेकिन संक्रामक नहीं है।

— जिस्कार्ड

मैं काफी हद तक निश्चित हूं कि मोनोटोनिक और निरंतर प्राथमिकताएं तर्कसंगत नहीं हैं।

— बीबी किंग

Answer 1

में एक प्राथमिकता संबंध पर विचार करें ऐसी है कि और । एक्स=( एक्स 1 , एक्स 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ एक्स 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) आप यह तर्क देना पसंद कर सकते हैं कि क्या यह वरीयता संबंध सख्ती से एकरस और निरंतर है।

2) क्या संबंध पूर्ण से ऊपर परिभाषित है?

फिर, एक साइड डिश के रूप में, आप अपने दावे पर पुनर्विचार भी कर सकते हैं कि निरंतरता ही सकारात्मकता का कारण है।

नोट: मैंने सिर्फ एक विचार प्रयोग प्रदान करने के उद्देश्य से इसे विशेष रूप से लिखा है। एक तरह से आपकी समझ को चुनौती देने के लिए। मुझे यकीन नहीं है कि यह उदाहरण आपके प्रश्न का उत्तर प्रदान करता है या नहीं।

Answer 2

सवाल यह है कि क्या तर्कशक्ति निरंतरता और एकरसता से निहित है। यह दिखाने के लिए कि यह मामला नहीं है, एक प्रतिपक्ष प्रत्यय होगा। इसलिए हम एक अकर्मक, अपूर्ण, एकरस, निरंतर वरीयता संबंध की तलाश कर रहे हैं।

मान लीजिए कि । इस प्रकार, हम से तक एक पंक्ति के बिंदुओं पर वरीयताएँ बनाते हैं । द्वारा परिभाषित वरीयता संबंध पर विचार करें। जो अन्यथा अधूरा है।( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , 0 $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

चेतना

तर्कसंगतता में प्राथमिकता संबंध की पूर्णता और परिवर्तनशीलता शामिल है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

संपूर्णता

एक वरीयता संबंध पूरा हो गया है, अगर सभी , हमारे पास , , या दोनों हैं।एक्स ≿ y y ≿ $x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$ , इस प्रकार वरीयता संबंध पूर्ण नहीं है।

संक्रामिता

वह प्राथमिकता संबंध, सकर्मक है अगर और मतलब ।$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

$(1,0)\succsim (.5,.5)$ और पकड़ लेकिन ( 1 , 0 ) ≿ cc ( 0 , 1 ) , इस प्रकार वरीयता संबंध नहीं है सकर्मक।$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

निरंतरता

वह प्राथमिकता संबंध सभी दृश्यों के लिए करता है, तो निरंतर है के लिए converging ( एक्स , वाई ) के साथ ∀ मैं : एक्स मैं ≿ y मैं हमारे पास एक्स ≿ y ।${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

वरीयता संबंध निरंतरता का उल्लंघन नहीं करता है। एक दृश्य पर विचार जो करने के लिए और converges एक्स , वाई । इन दृश्यों केवल इस तरह के हो सकते हैं कि एक्स मैं = एक्स और वाई मैं = y , और एक्स ≠ y , अन्य सभी के बाद से एक्स मैं , y मैं या तो है अभिसरण नहीं एक्स , वाई , या पूरा नहीं करते एक्स मैं ≿ y मैं । लेकिन स्पष्ट रूप से अगर x i । $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$ तो x then y ।$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

दिष्टता

अगर वह प्राथमिकता संबंध, एक लय है का तात्पर्य एक्स ≿ y ।$x \geq y$$x \succsim y$

संबंध के सभी तत्वों पर विचार करता है एक्स अतुलनीय है, इस प्रकार वरीयता संबंध एक लय है।$\geq$$X$

इस प्रकार, हमारे पास एक अकर्मक, अपूर्ण, एकरस, निरंतर वरीयता संबंध है।

Comments

मुझे लगता है कि यह मान , लेकिन अपने संबंध की परिभाषा अधूरी लगती है फिर भी। पसंदीदा (0.1,0.9) या (0,1) क्या है? (और क्या अन्य जोड़ी के बारे में?) द्वारा ⪰ (0.5,0.5) और (0,1) के बीच आप क्या मतलब है ~ ? $x \leq 1, y \leq 1$$\succeq$$\sim$

— गिस्कार्ड

टाइपिंग त्रुटि इंगित करने के लिए धन्यवाद। एक अपूर्ण संबंध प्रदान करने के बारे में शेष टिप्पणियों के बारे में: यह बिल्कुल यही बात है। हम एक वरीयता संबंध की तलाश कर रहे हैं जो कि अकर्मक + अपूर्ण है, लेकिन एक ही समय में एकरस और निरंतर है। यदि हम एक प्राथमिकता वाले संबंध से शुरू करते हैं जो पूरा हो जाता है, तो यह उद्देश्य को हरा देगा।

— HRSE

समझा। तो आपका मतलब है कि संबंध केवल उसी जगह पर परिभाषित है जहां आपने इसे परिभाषित किया है। ऐसी स्थिति हर बार नहीं होती है। जैसे: ३ <५, लेकिन वह संबंध भी जहां मैंने इसे परिभाषित नहीं किया है।

— जिस्कार्ड 24'15

एक रिश्ता हमेशा "परिभाषित होता है जहां कोई इसे परिभाषित करता है"। औपचारिक रूप से, एक संबंध सेट के कार्टेशियन उत्पाद का सबसेट है। संबंध की परिभाषा के लिए, उस सबसेट की विशिष्टता पर्याप्त है। इस प्रकार, आप संबंध <को वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि 3 <5। यह सामान्य परिभाषा के अनुरूप नहीं होगा, लेकिन फिर भी यह एक (अपूर्ण) संबंध का एक वैध विनिर्देश है।

— HRSE

ठीक है मैं अपनी टिप्पणी को फिर से लिखूंगा: मैंने आपसे केवल कुछ उदाहरण दिए हैं कि आपका संबंध कैसे काम करेगा और एक सटीक परिभाषा नहीं है, लेकिन अब मैं समझता हूं कि आपका क्या मतलब है।

— गिस्कार्ड 25'15

Answer 3

वरीयताओं की संवेदनशीलता "मानव मन की स्थिरता" की कुछ "सहज" धारणा को अपील करती है और यह तर्क दिया जा सकता है कि कोई भी अपवाद " नियम के अपवाद " हैं, और इसलिए हमारे पास पर्याप्त सार नियम है।

इसकी तुलना में, पूर्णता एक "विश्वास की छलांग" से कहीं अधिक है। यह हवा में लटका रहता है, कुछ भी नहीं से संबंधित है, कुछ नहीं से संबंधित है ( इसलिए आपके प्रश्न का उत्तर नहीं है )। शायद यह कुछ अश्लील टिप्पणी का समर्थन कर सकता है कि "यदि आप किसी व्यक्ति को पर्याप्त दबाते हैं , तो वह अंततः किसी भी जोड़ी को आपके सामने रखने का आदेश देगा, भले ही आप से छुटकारा पाने के लिए", लेकिन निश्चित रूप से यह देखते हुए, व्यवहार में अच्छा है, सिद्धांत में कभी काम नहीं करेगा।

तो हम सिर्फ अस्तित्व को पूर्णता को परिभाषित करते हैं ... क्यों? सड़क के बजाय असहनीय मुद्दों से बचने के लिए । गैर-पूर्ण वरीयताओं के साथ काम करना कितना उपयोगी होगा? यह कहना कितना उपयोगी होगा "मेरे पास यह मॉडल है, यह परिणाम हो सकता है, यह हो सकता है कि क्या प्राथमिकताएं पूरी हैं या नहीं" पर निर्भर करता है ... इसका क्या उपयोग है? फिर हमें एक वैकल्पिक निर्णय नियम के साथ आने के लिए मजबूर किया जाएगा : "यह मानते हुए कि प्राथमिकताएं पूरी नहीं हैं, तो यदि व्यक्ति एक जोड़ी का सामना करता है जो वह आदेश नहीं दे सकता ..." -क्या करता है ? सिक्का उछालो? लेकिन यह "अपूर्णता" उदासीनता के बराबर होगा ...

और क्या? विचार की यह रेखा बहुत उत्तेजक हो सकती है, लेकिन यह बहुत चुनौतीपूर्ण भी है, और निश्चित रूप से पथ-विच्छेद, यदि वास्तव में, ऐसा कोई मार्ग मौजूद है या बनाया जा सकता है। (मेरी राय में, "फ़ज़ी" किस्म के विभिन्न सैद्धांतिक अन्वेषण इस समस्या के लिए एक "बीच का रास्ता" खोजने की कोशिश करते हैं-वे एक ऐसी स्थिति पर विचार करते हैं, जहां व्यक्ति को न तो पूरी प्राथमिकताएं होती हैं, और न ही "मुश्किल" होने पर पूरी तरह से "जमी" होती है "जोड़ी ऊपर आती है)।