सवाल यह है कि क्या तर्कशक्ति निरंतरता और एकरसता से निहित है। यह दिखाने के लिए कि यह मामला नहीं है, एक प्रतिपक्ष प्रत्यय होगा। इसलिए हम एक अकर्मक, अपूर्ण, एकरस, निरंतर वरीयता संबंध की तलाश कर रहे हैं।
मान लीजिए कि । इस प्रकार, हम से तक एक पंक्ति के बिंदुओं पर वरीयताएँ बनाते हैं । द्वारा परिभाषित वरीयता संबंध पर विचार करें। जो अन्यथा अधूरा है।( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , 0 )X={x≥0,y≥0:x+y=1}(0,1)(1,0)(1,0)≻(.5,.5)≻(0,1)≻(1,0)
चेतना
तर्कसंगतता में प्राथमिकता संबंध की पूर्णता और परिवर्तनशीलता शामिल है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
संपूर्णता
एक वरीयता संबंध पूरा हो गया है, अगर सभी , हमारे पास , , या दोनों हैं।एक्स ≿ y y ≿ एक्सx,y∈Xx≿yy≿x
(.5,.5)≿̸(.5,.5) , इस प्रकार वरीयता संबंध पूर्ण नहीं है।
संक्रामिता
वह प्राथमिकता संबंध, सकर्मक है अगर और मतलब ।x≿yy≿zx≿z
( १ , ०))≿(.5,.5) और पकड़ लेकिन ( 1 , 0 ) ≿ cc ( 0 , 1 ) , इस प्रकार वरीयता संबंध नहीं है सकर्मक।( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 )( 1 , 0 ) ≿ ≿ ( 0 , 1 )
निरंतरता
वह प्राथमिकता संबंध सभी दृश्यों के लिए करता है, तो निरंतर है के लिए converging ( एक्स , वाई ) के साथ ∀ मैं : एक्स मैं ≿ y मैं हमारे पास एक्स ≿ y ।( x)मैं, वाईमैं)∞मैं = १( एक्स , वाई)∀ मैं : एक्समैं≿ यमैंx ≿ य
वरीयता संबंध निरंतरता का उल्लंघन नहीं करता है। एक दृश्य पर विचार जो करने के लिए और converges एक्स , वाई । इन दृश्यों केवल इस तरह के हो सकते हैं कि एक्स मैं = एक्स और वाई मैं = y , और एक्स ≠ y , अन्य सभी के बाद से एक्स मैं , y मैं या तो है अभिसरण नहीं एक्स , वाई , या पूरा नहीं करते एक्स मैं ≿ y मैं । लेकिन स्पष्ट रूप से अगर x i । Yएक्समैं≿ यमैंएक्स , वाईएक्समैं= एक्सyमैं= यx ≠ यएक्समैं, वाईमैंएक्स , वाईएक्समैं≿ यमैं तो x then y ।एक्समैं≿ यमैंx ≿ य
दिष्टता
अगर वह प्राथमिकता संबंध, एक लय है का तात्पर्य एक्स ≿ y ।x ≥ यx ≿ य
संबंध के सभी तत्वों पर विचार करता है एक्स अतुलनीय है, इस प्रकार वरीयता संबंध एक लय है।≥एक्स
इस प्रकार, हमारे पास एक अकर्मक, अपूर्ण, एकरस, निरंतर वरीयता संबंध है।