साबित करें कि एक अनुमानक सुसंगत है

निम्नलिखित अभ्यास Wooldrige से है:

दिखाएँ कि लिए एक सुसंगत आकलनकर्ता है $\hat{\beta} =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\hat{u_i^{2}}x'x$ $E(u^2x'x)$

दिखा कर:

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \hat{u_{i}^{2}} x^{'} x = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} u_{i}^{2} x^{'} x + o_{p} (1)

$\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\hat{u_i^{2}}x'x = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}{u_i^{2}}x'x + o_p(1)$

जहां "लिटिल ओह पी 1" पढ़ा जाता है $o_p(1)$

और हम संकेत का उपयोग करते हैं कि:

1.) = $\hat{u}_i^2$ $u_i^2 - 2x_iu_i(\hat{\beta}-\beta) + [x_i(\hat{\beta}-\beta)]^2$

2.) = $\hat{\beta} - \beta$ $o_p(1)$

3.) नमूना औसत "बिग ओह पी 1" के रूप में पढ़ा जाता है। $O_p(1)$

4.) हम मानते हैं कि सभी आवश्यक अपेक्षाएँ मौजूद हैं और परिमित हैं

इससे मैं फंस रहा हूं। मुझे पता है कि मुझे कुछ सरल प्रकार के प्रतिस्थापन याद आ रहे हैं या मेरी जानकारी या समझ में कुछ अंतराल है जो मुझे आवश्यक हेरफेर करने से रोक रहा है।

मुझे अच्छा लगेगा अगर कोई मुझे इसके माध्यम से चल सकता है और यहां अंतर्ज्ञान को थोड़ा समझा सकता है।

econometrics

— 123
स्रोत

मैं इस प्रश्न को ऑफ-टॉपिक के रूप में बंद करने के लिए मतदान कर रहा हूं क्योंकि यह एक अभ्यास है और दिखाए गए समाधान के लिए कोई प्रयास नहीं है।

— जिस्कार्ड

मैं पिछले दो घंटों से अपने व्हाइटबोर्ड पर एक समाधान की दिशा में काम कर रहा हूं। यह आपके लिए थोड़ा हास्यास्पद है कि इस स्तर के प्रश्न को संबोधित करने वाला व्यक्ति ऐसा व्यक्ति है जो इसे स्वयं या स्वयं हल नहीं करना चाहता।

— 123

मुझे लगता है कि मानक पाठ "होमवर्क प्रश्न" था, न कि "व्यायाम"। किसी कारण से (शायद इस पर मेटा में चर्चा की जानी है), मुझे व्यक्तिगत रूप से इसे दिखाने में समान प्रयास करने के लिए अधिक उन्नत प्रश्नों की आवश्यकता नहीं है। शायद यह इसलिए है क्योंकि उन्नत प्रश्न आंतरिक रूप से अधिक दिलचस्प हैं।

— फूबर सिप

मैंने अपने प्रयासों को बड़े पैमाने पर छोड़ दिया क्योंकि मुझे संदेह है कि कोई भी पाठक उनसे बहुत लाभ प्राप्त करेगा। और मेरा चुना हुआ रास्ता अपेक्षाकृत स्पष्ट है: मैं निश्चित रूप से संकेतों का पालन करता हूं।

— 123

बहुत अच्छा। शायद मैंने इस अभ्यास को गलत माना है। इस मामले में समापन के मुकाबले अधिक वोट होंगे, जो ठीक है। मुझे लगता है कि यह एक कारण है कि सिस्टम को बंद करने के लिए 5 वोटों की आवश्यकता होती है।

— जिस्कार्ड

जवाबों:

मैं एक और संकेत प्रदान करूंगा, @Anoldmaninthesea द्वारा पेश किए गए एक से अधिक "आदिम", उन लोगों के लिए जो अभी भी "बिग-ओह / लिटिल ओह" संकेतन और अंकगणित से बहुत परिचित नहीं हैं।

यहां हम जो जांच कर रहे हैं वह एक राशि है, जिसे दिए गए पहले स्पष्ट "संकेत" के बाद, तीन अलग-अलग टुकड़ों में विघटित किया जाना है ।

अब, हम रुचि रखते हैं कि इन राशियों के मूल्य का क्या होता है क्योंकि समन की संख्या अनंत तक जाती है ... ऐसे मामलों में, अनिवार्य रूप से हम देख रहे हैं कि "हमारे पास पर्याप्त" "अनंत राशि में जाने के लिए है।" कुछ परिमित करने के लिए मूल्य (एक प्राथमिकताओं को देखते हुए), और यदि हाँ, तो यह परिमित सीमा शून्य है या नहीं। $N$

मध्य राशि पर विचार करें

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [- 2 x_{i} u_{i} (\hat{β_{n}} - β) x_{i}^{'} x_{i}] = - 2 (\hat{β_{n}} - β) \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} u_{i} x_{i}^{'} x_{i})

$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}[-2x_iu_i(\hat{\beta_n}-\beta)\mathbf x_i'\mathbf x_i] = -2(\hat{\beta_n}-\beta)\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_iu_i\mathbf x_i'\mathbf x_i)$

$(\hat{\beta_n}-\beta)$ को योग से निकाला गया क्योंकि यह सूचकांक पर निर्भर नहीं करता है । यह पर निर्भर करता है , क्योंकि यह एक अनुमानक फ़ंक्शन है और विशिष्ट अनुमान नहीं है, लेकिन पर नहीं । मॉडल की धारणाएं हमें बताती हैं कि क्या होता है , यदि यह रहता है, तो । सारांश के लिए, एक मैट्रिक्स है, जिसमें स्वयं कोई योग शामिल नहीं है। तो यह परिमित है (तथ्य यह है कि इसमें शामिल यादृच्छिक चर संभवतः अनंत समर्थन हमें परेशान नहीं करते हैं-यह संभावना है कि वे "अनंत" मान शून्य हैं)। तो यह केवल संपूर्ण अभिव्यक्ति है $i$ $n$ $i$ $(\hat{\beta_n}-\beta)$ $n\rightarrow \infty$ $(\mathbf x_i'\mathbf x_i)$ $k\times k$ $(x_iu_i\mathbf x_i'\mathbf x_i)$ जो कि रूप में में कई गुना बढ़ जाती है - और मॉडल की मान्यताओं से हम और बारे में चीजों को जानते हैं और उनके उत्पाद के औसत का क्या होता है। आदि। $n$ $x_i$ $u_i$

एक असंबंधित उदाहरण यह दिखाने के लिए कि यह "कितने 's व्यवसाय का अर्थ है, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक वेक्टर जैसा $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} (X^{'} X ({\hat{β}}_{n} - β))

$\frac{1}{\sqrt n}\left(\mathbf X'\mathbf X (\hat \beta_n - \beta)\right)$

हम "जानते हैं" कि यह यादृच्छिक वेक्टर एक बहुभिन्नरूपी वितरण में परिवर्तित होता है, अर्थात यह न तो किसी स्थिरांक में परिवर्तित होता है, और न ही इसका परिवर्तन होता है। क्या हम इसे अपने आदिम तरीके से देख सकते हैं? हम एक परिमित विषम संस्करण चाहते हैं। असममित माध्य शून्य होगा इसलिए हमें केवल जांच करने की आवश्यकता है

V_{n} = E [\frac{1}{\sqrt{n}} X^{'} X ({\hat{β}}_{n} - β) ({\hat{β}}_{n} - β)^{'} X^{'} X \frac{1}{\sqrt{n}}] = E [(\frac{1}{n} X^{'} X) [({\hat{β}}_{n} - β) ({\hat{β}}_{n} - β)^{'}] (X^{'} X)]

$V_n=E\left[\frac{1}{\sqrt n}\mathbf X'\mathbf X(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)'\mathbf X'\mathbf X\frac{1}{\sqrt n}\right] = E\left[\left(\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)[(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)']\left(\mathbf X' \mathbf X\right)\right]$

उपरोक्त अपेक्षा के साथ समस्या क्या है? पहला शब्द wll कुछ परिमित और गैर-शून्य (प्रति प्रारंभिक मान्यताओं) में परिवर्तित हो जाता है, दूसरा शून्य में चला जाता है, तीसरा अनंत में चला जाता है (क्योंकि इसमें ऐसे लक्षण शामिल होते हैं जिनकी कार्डिनिटी अनंत तक जाएगी)। इसलिए उम्मीद अभी भी अनिर्धारित भाग्य की है। लेकिन अगर हम गुणा करते हैं और विभाजित करते हैं (हम ऐसा कर सकते हैं, तो हमने अभी तक को अनंत तक नहीं भेजा है ) हम प्राप्त करते हैं $n$ $n$

V_{n} = E [(\frac{1}{n} X^{'} X) [n \cdot ({\hat{β}}_{n} - β) ({\hat{β}}_{n} - β)^{'}] (\frac{1}{n} X^{'} X)]

$V_n= E\left[\left(\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)[n\cdot(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)']\left(\frac{1}{n}\mathbf X' \mathbf X\right)\right]$

अब चीजें स्पष्ट होने लगी हैं: पहली और दूसरी शर्तें अपेक्षित मूल्यों में परिवर्तित हो जाएंगी, इसलिए उन्हें बाहरी अपेक्षित मूल्य से बाहर ले जाया जा सकता है :

V_{n} \to (lim_{n \to \infty} E \frac{1}{n} X^{'} X) lim_{n \to \infty} E [n \cdot ({\hat{β}}_{n} - β) ({\hat{β}}_{n} - β)^{'}] (lim_{n \to \infty} E \frac{1}{n} X^{'} X)

$V_n\rightarrow \left(\lim_{n\rightarrow \infty} E\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)\lim_{n\rightarrow \infty} E\left[n\cdot(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)'\right]\left(\lim_{n\rightarrow \infty}E\frac{1}{n}\mathbf X' \mathbf X\right)$

उम्मीद के अंदर का मध्य शब्द " वर्ग है । हम जानते हैं कि यह अंतिम एक शून्य-माध्य यादृच्छिक वेक्टर में परिवर्तित होता है, इसलिए इसके "वर्ग" के अपेक्षित मूल्य की सीमा इसका असाध्य विचरण है, जो परिमित है। इसलिए हमारे पास तीन asymptotically परिमित अपेक्षित मूल्यों का उत्पाद है, और इसलिए पूरी अभिव्यक्ति परिमित है, और इसलिए हमने जो अभिव्यक्ति शुरू की है उसका परिमित परिमित है, और इसके अलावा, गैर-शून्य (मॉडल की सामान्य प्रारंभिक मान्यताओं द्वारा)। $\sqrt n (\hat \beta_n - \beta)$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

संकेत में 1 विकल्प थोड़ा ओ द्वारा, और याद रखें कि छोटे ओ का योग अभी भी थोड़ा ओ है। फिर अपनी समानता के एलएचएस पर स्थानापन्न करें। और आपको जो चाहिए वो आपको मिल जाएगा। ( गुणा o o से बहुत कम o होता है) मुझे आशा है कि यह पर्याप्त है। यदि नहीं, तो मैं बाद में दिखाऊंगा। मैं अभी समय के लिए दबा रहा हूँ ... क्षमा करें $\hat{\beta}-\beta$ $x'x$

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।
स्रोत