जब प्राथमिकताएं सख्त होती हैं, तो मजबूत कोर अद्वितीय होता है और शीर्ष-ट्रेडिंग चक्र प्रक्रिया (TTCP) मजबूत कोर आवंटन की उपज वाला अद्वितीय तंत्र है। यहाँ मुख्य आकर्षण हैं।
लेम्मा 1 : $ X $ शीर्ष-ट्रेडिंग चक्र प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न आवंटन हो। तब $ x $ मजबूत कोर में है।
लेम्मा २ : $ P $ खिलाड़ियों का सेट होने दें, $ \ Omega = \ {\ _ omega ^ {i} = i: i \ _ P \} $ में प्रारंभिक आवंटन का सेट हो, और $ \ succ ^ {i} $ सख्त वरीयताओं का सेट। हमारे पास $ (P, \ Omega, (\ succ ^ {i}) _ {i = 1} ^ {| P |}} $ घर के आवंटन की समस्या के उदाहरण के रूप में है। मजबूत कोर अद्वितीय है।
प्रमाण : इसके विपरीत मान लीजिए कि दो आवंटन $ x, y $ मजबूत कोर में मौजूद हैं और मान लीजिए $ x $ TTCP द्वारा लौटाया गया आवंटन है। जैसे कि $ x \ neq y $, $ S = \ {i: x_ {i} \ neq y_ {i} \} $ में कम से कम दो तत्व होते हैं। गौर करें कि यदि कोई खिलाड़ी $ s में $ i \ _ ऐसा है कि $ x_ {i} \ succ ^ {i} y_ {i} $ है, तो $ x_ {i} $ अन्य खिलाड़ियों के साथ कमजोर रूप से सुधार गठबंधन बना सकता है $ x_ {i} $ का चक्र जिसका आवंटन $ x $ और $ y $ में समान है। जैसा कि प्राथमिकताएं सख्त हैं, $ S $ में प्रत्येक खिलाड़ी $ x $ या $ y $ की सख्ती से प्राथमिकता देता है। हम $ y $ को ब्लॉक करने के लिए एक कमजोर सुधार गठबंधन का निर्माण करते हैं।
$ $ \ _ को S $ में ऐसे $ y_ {i} \ succ ^ {i} x_ {i} $। बता दें कि $ i को TTCP के $ k $ $ से मिलान किया गया है। चूँकि $ y_ {i} \ succ ^ {i} x_ {i} $, हमारे पास वह खिलाड़ी $ i है जो $ $ $ $ $ j_ $ को $ x_ {i} $ पसंद करता है और उस $ j $ को पिछले पुनरावृत्ति में सौंपा गया इस तथ्य से कि $ x $ मजबूत कोर से संबंधित है। और इसलिए आवंटन $ y $ का उपयोग करके उस खिलाड़ी को विस्थापित किया जाता है जिसे TTCP के तहत $ $ $ $ प्राप्त होता है। प्राथमिकताएँ सख्त होने के कारण, प्रत्येक खिलाड़ी को जब $ j $ का आवंटन TTCP के तहत आवंटित किया गया था, तो $ y $ को ब्लॉक करने के लिए एक कमजोर सुधार गठबंधन बना सकता है। और इसलिए यह तथ्य कि $ S \ neq \ emptyset $ का तात्पर्य है कि $ y $ मजबूत कोर में नहीं है। QED।
मेरे पास वास्तव में इस बारे में अधिक विस्तार में जाने वाली एक ब्लॉग प्रविष्टि है: https://michaellevet.wordpress.com/2015/06/01/algorithmic-game-theory-house-allocation-problem/