(उप) शहीदों के आर्थिक उदाहरण

Question

A (असतत समय) मार्टिंगेल एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $ \ {X_t \} _ {t \ in \ mathbb N} $ है जो संतुष्ट करता है, सभी $ t \ के लिए \ mathbb N $ $$ ई (| X_t |) के & lt; \ infty $$ तथा $$ ई (X_ {t + 1} | x_1, \ dots, X_t) = X_t। $$ और एक सबमार्टिंगेल $ E (X_ {t + 1) | X_1, \ dots, X_t t \ ge X_t $ के साथ एक है।

मैं एक निष्पक्ष खेल में जुआरी के भुगतान का क्लासिक उदाहरण जानता हूं। लेकिन मैं विशेष रूप से अर्थशास्त्र से संबंधित मार्टिंगलेस और सबमार्टिंगेल्स के अन्य वास्तविक दुनिया उदाहरणों को खोजने की उम्मीद कर रहा हूं। आदर्श रूप में, इन उदाहरणों में किसी प्रकार का अनुभवजन्य समर्थन होगा।

Answer 1

एक उप-मार्टिंगेल $ E (X_ {t + 1} | X_1, \ dots, X_t X \ ge X_t $) की परिभाषित संपत्ति पर Iterated अपेक्षाओं के कानून को लागू करना

$ $ E \ Big [E (X_ {t + 1} | X_1, \ dots, X_t) \ Big] = E (X_ {t + 1}) \ geq E (X_t) $$

तो एक सब-मार्टिंगेल के पास भी है बिना शर्त अपेक्षित मूल्य न घटने वाला। इसलिए कोई भी आर्थिक वैरिएबल जो लगातार मूल्य में वृद्धि करता प्रतीत होता है, एक उप-मार्टिंगेल होने के लिए एक उम्मीदवार है, क्योंकि यहां परिभाषित संपत्ति केवल चर के अतीत की शर्तों पर है, न कि किसी अन्य कारक पर जो इसे प्रभावित कर सकता है। राष्ट्रीय उत्पादन / सकल घरेलू उत्पाद को उप-मार्टिंगेल के रूप में उचित रूप से तैयार किया जा सकता है, क्योंकि यह ऐतिहासिक रूप से "हमेशा" बढ़ता है, बार विनाशकारी घटनाओं।

सामान्य तौर पर, किसी भी आर्थिक परिवर्तन को गैर-नकारात्मक बहाव के साथ एक यादृच्छिक चलने के रूप में चित्रित किया जा सकता है,

$ $ X_ {t + 1} = \ अल्फा + X_ {t} + u_t, \;; \ अल्फा \ geq 0 $ $

एक उप-मार्टिंगेल है।