एक असीम रूप से बनाम दोहराया खेल में डोमिनेटेड रणनीतियाँ

Question

कमजोर प्रभुत्व की अवधारणा अनंत खेलों के साथ कैसे काम करती है? अवधारणाओं की बहुतायत चीजों को मैला करने के लिए लगता है।

विशेष रूप से, मान लें कि दो खिलाड़ी निम्नलिखित खेल को अनंत बार खेलते हैं।

$$\begin{array}{l*{2}{c}r} & A & B \\ \hline A & 1,1 & 0,0 \\ B & 0,0 & 0,0 \end{array}$$

एक शॉट गेम में, यह स्पष्ट है कि खेलने में कमजोर रूप से एक्शन हावी है ।$A$$B$

हालाँकि, क्या होगा अगर हम एक विचित्र प्रकार का गंभीर ट्रिगर मानते हैं:

1. पहले पीरियड में एक खिलाड़ी खेलता है ।$B$
2. यदि दूसरे ने पहली अवधि में खेला , तो हमेशा के लिए खेलें ।$A$$B$
3. अन्यथा, हमेशा के लिए खेलो ।$A$

एक रोगी पर्याप्त खिलाड़ी के लिए, इस रणनीति का उसी के साथ जवाब देना सबसे कमजोर है। कोई भी रणनीति जो और उसके बाद शुरू होती है, एक सर्वोत्तम प्रतिक्रिया होती है (ऑफ़-पाथ विवरण अलग-अलग हो सकता है, ताकि एक सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया हमेशा के लिए स्टिप्युलेट न कर सके, यदि दूसरा शुरुआत में को चुनता है )।$B$$A$$B$$A$

पारेटो कुशल संतुलन हमेशा संतुलन पथ पर खेलना शामिल है, और यह कहने के लिए लुभाता है कि खेलने से कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या कमजोर होना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं लगता है। इस तरह की बात पर बहुत कुछ लिखा गया है? ऊपर बताई गई रणनीति के प्रकार का पता लगाने के लिए किस तरह के विचार मौजूद हैं?$A$$A$

क्या सवाल में रणनीति कमजोर रूप से हावी है? मुझे लगता है कि कि हम गढ़ना सकता है एक समान रूप से भयावह ट्रिगर रणनीति इतना है कि प्रश्न में रणनीति किसी अन्य का प्रभुत्व नहीं है ।$s'$$s''$

Comments

सुपर गेम का भुगतान कार्य क्या है? एक शॉट गेम के भुगतान की छूट, एक शॉट गेम का औसत भुगतान?

— गिजार्ड

जैसा कि यह खड़ा है, कोई भी रणनीति हर बार केवल ए खेलने से बेहतर नहीं हो सकती है। यह इस बात पर ध्यान दिए बिना रहता है कि खेल कितनी बार खेला गया है। स्पष्ट करने के लिए, आपकी बात यह है कि अन्य रणनीतियाँ बदतर नहीं हैं , इसलिए आप जानना चाहेंगे कि उन्हें कैसे खत्म किया जाए?

— RegressForward

@RegressForward: कुल भुगतान किसी भी तरह सभी एक शॉट खेल के भुगतान से प्राप्त होता है। यह मानते हुए कि यह एक शॉट अदायगी का एक रियायती योग और का डिस्काउंट कारक है : यदि दोहराया गेम में यदि अन्य खिलाड़ी उपरोक्त रणनीति खेलता है तो मुझे एक ही रणनीति और 0 के अदायगी को हर बार खेलकर ही रणनीति बनाकर । $\delta$ $$0 + \delta + \delta^2 + \delta^3 ... = \frac{\delta}{1 - \delta}$$ $A$

— जिक्सर

आह, ट्रिगर, ty में मस्ट-प्ले-बी क्लॉज से चूक गए।

— रेग्रेसवर्ड

@ अचानक डिस्काउंट राशि।

— पेबर्ग

Answer 1

कमजोर वर्चस्व वाली रणनीतियों से निपटने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली एक सामान्य शोधन अवधारणा कांपने वाला हाथ सही संतुलन है । (मैं दूसरों को नहीं जानता लेकिन यह एक बहुत अच्छी तरह से काम करता है।

विचाराधीन रणनीति वास्तव में कमजोर रूप से निम्नलिखित रणनीति पर हावी है

1. पहली अवधि में, खिलाड़ी खेलता है ।$B$
2. अन्य सभी अवधियों में, खिलाड़ी निभाता है ।$A$

Comments

TH NE का परिशोधन है, प्रभुत्व नहीं (और सवाल प्रभुत्व के बारे में है, NE के बारे में नहीं)।

— सर्वशक्तिमान बॉब

@ TheAlmightybus दो सवाल हैं। एक यह है कि क्या निर्दिष्ट रणनीति हावी है (असीम रूप से दोहराए गए खेल में)। अन्य एक यह है कि "उपरोक्त वर्णित रणनीति के प्रकार को नियंत्रित करने के लिए किस तरह के विचार मौजूद हैं?" TH वास्तव में केवल इस उद्देश्य के साथ NE का परिशोधन है।

— गिस्कार्ड

Answer 2

आपने जिस समस्या का उल्लेख किया है वह यह है कि प्रभुत्व का उपयोग वास्तव में अक्सर क्यों नहीं किया जाता है। यह इस अर्थ में एक बहुत ही कमजोर अवधारणा है कि आमतौर पर कोई "पकड़" नहीं होती है, अर्थात कई रणनीतियों को समाप्त नहीं किया जाता है। यही कारण है कि हम नैश इक्विलिब्रिया या यहां तक ​​कि अन्य अवधारणाओं का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, कांपते हुए हाथ सही संतुलन जो @desnesp, या, सबमिशन पूर्णता के कुछ रूप) द्वारा उल्लेख किया गया था।

और इसका बारीक या असीम बार-बार किए जाने वाले खेलों से कोई लेना-देना नहीं है, यह हर दोहराया खेल (या सामान्य रूप से हर खेल) के लिए सच है।

में परिमित दोहराया खेल केवल रणनीति है कि कमजोर प्रभुत्व है (अपने उदाहरण में) रणनीतियों कि खेलने हैं आखिरी दौर में, कुछ इतिहास को देखते हुए।$B$

मुझे आपको दिखाते हैं: यह स्पष्ट है कि यह हावी है ( इस इतिहास के लिए अंतिम दौर में स्विच करने से )।$A$

अब दूसरी दिशा: मान लें कि एक हावी रणनीति जो अंतिम दौर में खेलती है , फिर एक रणनीति है जो हर जगह खेलती है, लेकिन यदि आपने खेला है , तो अंतिम दौर में खेलता है । इस रणनीति के लिए किसी भी अन्य रणनीति की तुलना में कड़ाई से बेहतर है और इसलिए हावी नहीं है।$S$$A$$B$$S$$A$$S$

यह कैसे असीम दोहराया खेल के लिए काम करता है ? उसी तरीके से: आपको लगता है कि का बोलबाला है और में हमेशा एक मौका है कि को बाद में खेला जाता है? फिर एक रणनीति है जो खेलती है , अगर, खेला गया था। (मुझे पता है कि यह थोड़ा सा मैला है, लेकिन मुझे उम्मीद है कि आपको अभी भी विचार मिलेगा।)$S$$S$$A$$A$$S$

तो, संक्षेप में:

क्या सवाल में रणनीति कमजोर रूप से हावी है?

हां, उदाहरण के लिए अंतिम राउंड में हमेशा खेलने के लिए स्विच करके ।$A$

Comments

असीम रूप से दोहराए जाने वाले खेलों में (और सवाल उन लोगों के बारे में है) अंतिम दौर नहीं है।

— गिस्कार्ड

मुझे पता है। यही कारण है कि मैं बारी-बारी से खेले जाने वाले खेलों में लिखता हूं। मैं सिर्फ यह कहता हूं कि समस्या बार-बार होने वाले खेलों में भी पैदा होती है। यह असीम बार-बार के खेल की समस्या नहीं है, बल्कि प्रभुत्व की है। और, इसके अलावा काउंटर रणनीति का निर्माण उसी तरह से काम करता है।

— सर्वशक्तिमान बॉब

Answer 3

बार-बार खेल व्यापक रूप के खेल का एक विशेष वर्ग है। और इस हद तक कि इस तरह के खेल एक रणनीतिक रूप का प्रतिनिधित्व करते हैं, सामान्य प्रभुत्व धारणाएं लागू होती हैं:

परिभाषा 1. शुद्ध रणनीति है कमजोर प्रभुत्व खिलाड़ी के लिए अगर वहाँ एक (मिश्रित) रणनीति मौजूद है ऐसी है कि सभी , और उपरोक्त असमानता कम से कम एक लिए सख्त है । $s_i\in S_i$$i$$\sigma_i'\in\Delta(S_i)$

$$u_i(\sigma_i',s_{-i})\ge u_i(s_i,s_{-i})\tag{1}$$ $s_{-i}\in S_{-i}$$s_{-i}$

तथा

परिभाषा 2. शुद्ध रणनीति है कमजोर प्रमुख खिलाड़ी के लिए हर दूसरे रणनीति अगर दुर्बलता का प्रभुत्व है ।$s_i^*\in S_i$$i$$s_i\in S_i\setminus\{s_i^*\}$$s_i^*$

इस परिभाषा को अपने उदाहरण पर लागू करते हैं। दो खिलाड़ियों को और कॉल करें , आप (यदि खिलाड़ी द्वारा उपयोग किया जाता है , और यदि द्वारा उपयोग किया जाता है ) द्वारा प्रस्तावित ग्रिम ट्रिगर रणनीति को निरूपित करें और द्वारा निरूपित करें। खिलाड़ी की रणनीति " परवाह किए बिना खेलती है। इतिहास का (और इसी तरह )।$i$$j$$s_i^G$$i$$s_j^G$$j$$s_i^A$$i$$A$$j$

जैसा कि आप पहचानते हैं, कमजोर रूप से प्रभावी नहीं है: का प्रभुत्व में नहीं है, जिसमें एक रणनीति मौजूद है जैसे कि । लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि कमजोर रूप से हावी है। विशेष रूप से, यह पर हावी नहीं है ।$s_i^A$$s_i^G$$s_i^A$$s_j^G$$u_i(s_i^A,s_j^G)<u_i(s_i^G,s_j^G)$$s_i^A$$s_i^G$

उनके खेल सिद्धांत की पाठ्यपुस्तक में, फुडेनबर्ग और टिरोले ने टिप्पणी की

Iterated सख्त प्रभुत्व की धारणा व्यापक रूप में अच्छी तरह से खेल तक फैली हुई है; हालाँकि, जैसा कि हमने ऊपर बताया, यह अवधारणा सबसे व्यापक रूपों में बहुत कम बल देती है। मुद्दा यह है कि एक खिलाड़ी एक सूचना सेट पर किसी एक कार्रवाई को कड़ाई से पसंद नहीं कर सकता है जिसे उसके विरोधियों के खेलने तक नहीं पहुंचाया जाता है।