ट्रांसलॉग वरीयताएँ क्या हैं? विकिपीडिया लेख केवल यह स्पष्ट करता है कि यह ट्रान्सेंडैंटल लॉगरिदमिक प्राथमिकताओं के लिए खड़ा है, और यह कि वे कोब-डगलस वरीयताओं का एक सामान्यीकरण हैं।
क्या उनके पास विशेष विशेषताएं हैं जो इसे अधिक आकर्षक बनाती हैं? मैंने कभी इन्हें मैक्रोइकॉनॉमिक्स में इस्तेमाल होते नहीं देखा।
जवाबों:
ट्रांसलॉग फ़ंक्शन का उपयोग न केवल वरीयताओं में, बल्कि उत्पादन और लागत कार्यों में भी किया जा सकता है। मैं उपभोक्ता सिद्धांत में इसके निहितार्थ से बहुत परिचित नहीं हूं, लेकिन उत्पादन के दृष्टिकोण से, मैंने इसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया है।
ट्रांसलॉग फंक्शन एडिटिविटी और समरूपता को लागू नहीं करता है, और इसलिए प्रतिस्थापन की निरंतरता। यह दिलचस्प है क्योंकि इसे इनपुट्स (उत्पादन विश्लेषण में) के बीच "सुचारू" प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है। मुझे लगता है कि उपभोक्ता सिद्धांत में व्याख्या समान होगी।
तो मूल रूप से, ट्रांसलॉग फ़ंक्शन एक कॉब-डगलस की तुलना में कम प्रतिबंधात्मक है। यदि आप ट्रांसलॉग फ़ंक्शन मापदंडों की गणना करते समय कुछ प्रतिबंध लगाते हैं, तो आपको एक कॉब-डगलस फ़ंक्शन मिलता है। इसलिए यह एक "सामान्यीकरण" है। दूसरे शब्दों में, कॉब-डगलस ट्रांसलॉग फ़ंक्शन का एक विशिष्ट मामला है, जो कि संवेदनशीलता और समरूपता (यानी प्रतिस्थापन की निरंतर लोच को थोपना) को लागू करता है।
मुझे लगता है कि अन्य उत्तर मेरी तुलना में अधिक पूर्ण हैं। लेकिन मैं सिर्फ एक ऐसी चीज जोड़ने जा रहा हूं जिसे मैं आपके लिए व्यापक समझ रखने के लिए उपयोगी मानता हूं। मुझे लगता है कि आप उदासीनता घटता से परिचित हैं। यदि आप नहीं हैं तो मैं आपको इस साइट (जहाँ से मैंने ग्राफ़ लिया था) का संदर्भ देता हूँ ।
एक उदासीनता वक्र केवल दो (या अधिक) सामानों के सभी संयोजनों का मानचित्रण है जो आपको समान उपयोगिता देते हैं, या "आपको समान स्तर पर खुश करते हैं"।
सबसे पहले, यह उदासीनता वक्र देखें:
अंजीर 1: स्रोत
इस सेटिंग को "पूरक" के रूप में जाना जाता है। क्योंकि जैसा कि आप देख के रूप में कर सकते हैं, अच्छा के एक हजार इकाइयों को जोड़ने एक्स (कि सही करने के लिए आगे बढ़ रहा है), अच्छा जोड़े बिना y (कि ऊपर की तरफ कदम नहीं है) आप खुश नहीं है: आप उदासीनता वक्र के सहारे चलते हैं। इसे बाएं जूते और दाएं जूते के रूप में सोचें। दाहिने जूते को जोड़े बिना एक हजार अतिरिक्त बाएं जूते रखना बेकार है क्योंकि वे पूर्ण पूरक हैं ।
अब, इसे एक देखें:
अंजीर 2: स्रोत
इसे "विकल्प" कहा जाता है। यह पूरक के विपरीत मामला है। आप इसे गोमांस और चिकन के रूप में सोच सकते हैं। आप केवल बीफ़ का उपयोग करके खाना बना सकते हैं, या आप केवल चिकन का उपयोग करके स्थानापन्न और पकाना कर सकते हैं । लेकिन आप निश्चित संयोजन के साथ भी खाना बना सकते हैं, 150 ग्राम गोमांस और 100 ग्राम चिकन का कहना है कि वे सही विकल्प हैं (क्षमा करें, मैं एक बेहतर उदाहरण के साथ नहीं आ सकता था लेकिन यह एक बिंदु बनाता है)।
अब, यह चरम मामले "बीच में" होने वाली सभी सेटिंग्स की कल्पना करना आसान बनाते हैं। अर्थात्, दो प्रकार के अच्छे जो न तो पूर्ण पूरक हैं और न ही सही विकल्प। खाने-पीने की चीजों के बारे में सोचो। वे सही विकल्प नहीं हो सकते क्योंकि आपके पास पेय के बिना बहुत सारे भोजन नहीं हो सकते। भोजन और पेय का मिश्रण तय नहीं होने के कारण या तो पूर्ण पूरक नहीं हैं। इस सेटिंग के लिए कोब-डगलस एक अच्छा सन्निकटन हो सकता है जैसा कि अगले आंकड़े में देखा जा सकता है:
अंजीर 3: स्रोत
अब, कॉब-डगलस उपयोगिता फ़ंक्शन सब कुछ हल नहीं करता है, क्योंकि यह निर्माण द्वारा कुछ बाधाओं को लगाता है । उदाहरण के लिए, सभी वक्रों (विस्तार पथ) के माध्यम से उद्गम से जाने वाली रेखा 45 ° और निर्माण द्वारा सीधी होती है : इसे बदला नहीं जा सकता। इसका मतलब यह है कि जैसे-जैसे आप अमीर होते जाते हैं (यहां तक कि असीम रूप से समृद्ध), इस सामान पर आपकी प्राथमिकताएं स्थिर रहती हैं। औपचारिक नाम समरूपता या होमोटेटिक प्राथमिकताएं हैं । यह अनुभवजन्य रूप से गलत है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि आप जितने अमीर हैं, आप अपनी आय का एक छोटा हिस्सा भोजन के लिए उपयोग करते हैं। कॉब-डगलस वरीयताओं के साथ, ऐसा नहीं हो सकता। ट्रांसलॉग वरीयताएँ इस धारणा को शांत करती हैं।
अगले आंकड़े में, आपके पास एक उपयोगिता मानचित्र है जो समलैंगिकता धारणा को आराम देता है:
अंजीर 4: स्रोत
इस ग्राफ को अच्छा y भोजन और अच्छा x मनोरंजन माना जा रहा है। जैसे-जैसे आप धनवान (या मूल से दूर) होते जाएंगे, आप अपनी आमदनी को मनोरंजन की ओर अधिक बढ़ाएंगे।
अंत में, मैं पदार्थ की लोच के बारे में बात करूँगा जिसे इस रूप में जाना जाता है (सिग्मा) जिसे उदासीनता वक्र की वक्रता के रूप में कल्पना की जा सकती है। अंजीर में 1, सही पूरक: कोई वक्रता नहीं। सही विकल्प में,: स्ट्रैटिग लाइन। कॉब-डगलस में,: एक मामूली वक्रता। फिर भी, जैसा कि आप अमीर (मूल से दूर) हो जाते हैं, प्रतिस्थापन की यह लोच तीन सेटिंग्स में स्थिर रहती है। यहां तक कि अंजीर में देखी गई गैर-होमोटेटिक प्राथमिकताओं में, प्रतिस्थापन की लोच स्थिर रहती है। ये सबस्टीट्यूशन (CES) ** प्राथमिकताओं की ** निरंतर स्थिरता हैं। लेकिन क्या होगा यदि आप वक्र को अलग-अलग आकार देने की अनुमति देते हैं जैसे कि आप अमीर होते हैं? चित्र 5 देखें:
इस उदाहरण में, उदासीनता वक्र हर बार कम लोचदार होती है। इसलिए, वे सीईएस प्राथमिकताएं नहीं हैं। ट्रांसलॉग वरीयताओं का लाभ यह है कि, चूंकि आप न तो सीईएस और न ही समरूपता को लागू नहीं करते हैं, आप इस परिकल्पना का अवलोकन डेटा के साथ कर सकते हैं। आप देख सकते हैं कि कोब्बल-डगलस प्राथमिकताओं की तुलना में ट्रांसलॉग उपयोगिता फ़ंक्शन बहुत कम प्रतिबंधात्मक है।
अंतिम टिप्पणी के रूप में, मैं कहूंगा कि यह मामला हो सकता है कि आप समरूपता की परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करते हैं, सीईएस और प्रेक्षित व्यवहार के डेटासेट में। यह आपको एक कोब-डगलस वरीयताएँ सेटिंग में छोड़ देगा। इसलिए, ट्रांसलॉग का उपयोग करके आप कोब-डगलस को खारिज नहीं कर रहे हैं।
लेखकों ने कॉब-डगलस उत्पादन फ़ंक्शन को सामान्य करने के लिए सीईएस फ़ंक्शन की शुरुआत की, क्योंकि प्रतिस्थापन पैरामीटर की लोच का संबंध है, जो सीईएस मामले में एकता के बराबर होने के लिए बाध्य नहीं है जैसा कि सीडी मामले में है। लेकिन यह पूरे इनपुट स्पेस में स्थिर है।
परिचय में लिखकर " ट्रांसलॉग " विनिर्देश पेश किया, (बोल्ड माई जोर),
"... उत्पादन संभावना फ्रंटियर्स की श्रेणी जो सजातीय और योज्य हैं .... प्रतिस्थापन की निरंतर लोच के साथ सीमाओं के वर्ग के साथ मेल खाती हैं ... एक से अधिक उत्पाद या उत्पादन के दो से अधिक कारकों के लिए , लोच की स्थिरता प्रतिस्थापन और परिवर्तन अत्यधिक प्रतिबंधक है ... हमारा दृष्टिकोण उन कार्यों द्वारा उत्पादन सीमा का प्रतिनिधित्व करना है जो इनपुट और आउटपुट की मात्राओं के लघुगणक में द्विघात होते हैं । ये कार्य किसी भी उत्पादन सीमा के लिए एक स्थानीय द्वितीय-क्रम सन्निकटन प्रदान करते हैं ... "
और बादमें
"हमारा उद्देश्य उत्पादन के सिद्धांत के परीक्षणों को विकसित करना है जो बनाए गए सम्मोहन के हिस्से के रूप में संवेदनशीलता और समरूपता को नियोजित नहीं करता है ।"
ध्यान से देखें कि "समरूपता" द्वारा लेखक स्पष्ट करते हैं कि उनका मतलब डिग्री एक की सजातीयता है (अर्थात "पैमाने पर निरंतर रिटर्न"), जबकि ठीक से और गणितीय रूप से, एक सजातीय फ़ंक्शन में किसी भी तरह की एकरूपता हो सकती है।
इसके अलावा, क्रिस्टेंसन एट अल। ध्यान दें कि उनके दृष्टिकोण में "संवेदनशीलता" उपयोगिता के संदर्भ में "मजबूत पृथक्करण" की अवधारणा के बराबर है।
एक उपयोगिता के संदर्भ में "आउटपुट" एक-सूक्ष्मता है- और मैक्रोइकॉनॉमिक्स में, प्रमुख दृष्टिकोण में सिर्फ एक इनपुट (खपत) है। ऐसे ढांचे में ट्रांसलॉग का उपयोग करने का कोई मतलब नहीं है।
ऐसे मामले में जहां हम लेबर-चॉइस को भी मॉडल बनाना चाहते हैं, और हम यूटिलिटी फंक्शन, बिवरिएट बनाते हैं, फिर सैद्धांतिक विनिर्देश में हम मुख्य रूप से अलग-अलग प्राथमिकताओं का उपयोग करते हैं ।
ट्रांसलॉग विनिर्देश में एक अनुभवजन्य फ़ोकस अधिक है। एक ट्रांसलॉग विनिर्देशन का अनुमान लगाकर, एक गुणांक अनुमान प्राप्त करता है जिसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि डेटा में एडिटिविटी और एकरूपता है या नहीं, जबकि सीडी और सीईएस फ़ंक्शन में, ये गुण परीक्षण योग्य नहीं हैं। एक और लाभ यह है कि ट्रांसलॉग विनिर्देश कई इनपुट / कई आउटपुट स्थिति के लिए उपयुक्त है।
जोर्गेनसन और लाउ, जोर्गेनसन , डेल डब्ल्यू, और लॉरेंस जे। लाउ में उपयोगिता के संदर्भ में ट्रांसलॉग फ़ंक्शन को लागू करने के लिए चले गए । (1975), "उपभोक्ता वरीयताओं की संरचना।" एनल्स ऑफ इकोनॉमिक एंड सोशल मेजरमेंट, वॉल्यूम 4, नंबर 1. एनईबीआर, 1975. 49-101।
वे लिखते हैं
"समय-अलग-अलग प्राथमिकताओं के साथ प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष ट्रांसलॉग उपयोगिता कार्यों को नियोजित करके, हम अपने अर्थमितीय मॉडल के हिस्से के रूप में इन प्रतिबंधों को बनाए रखने के बजाय संवेदनशीलता, होमोटेक्विटी और स्टेशनरी प्रतिबंधों का परीक्षण कर सकते हैं।"