किस मांग समारोह के लिए एकाधिकार सबसे हानिकारक है?

Question

शून्य सीमांत लागत वाली एक फर्म पर विचार करें। यदि यह उत्पाद मुफ्त में देता है, तो सभी मांग पूरी हो जाती है और अधिकतम संभव राशि से सामाजिक कल्याण बढ़ जाता है; इस वृद्धि को कहें ।$W$

लेकिन क्योंकि फर्म एक एकाधिकार है, यह मांग को कम करता है और अपने राजस्व को अनुकूलित करने के लिए कीमत बढ़ाता है। अब सामाजिक कल्याण थोड़ी मात्रा में बढ़ जाता है, कहते हैं, ।$V$

कल्याण के घातक नुकसान को परिभाषित करें (डेडवेट लॉस) जैसे: । यह अनुपात मांग फ़ंक्शन के आकार पर निर्भर करता है। तो मेरा प्रश्न है: क्या यह अनुपात बाध्य है, या क्या यह मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है? विशेष रूप से:$W/V$

• यदि को बाध्य किया जाता है, तो यह किस फ़ंक्शन के लिए अधिकतम है?$W/V$
• यदि अनबाउंड है, तो मांग कार्यों के परिवार के लिए यह मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है?$W/V$

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यहां मैंने वही किया है जो मैंने अब तक किया है। चलो उपभोक्ताओं की सीमांत उपयोगिता समारोह हो (जो भी उलटा मांग समारोह है)। मान लें कि यह डोमेन लिए परिमित, चिकना, एकान्तिक रूप से कम और छोटा है । को इसके व्युत्पन्न विरोधी होने दें । फिर:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , तहत कुल क्षेत्र ।$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$ , जहां एकाधिकार द्वारा उत्पादित राशि है। यह "डेडवेट लॉस" भाग को छोड़कर अंतर्गत आने वाला क्षेत्र है ।$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = वह मात्रा जो उत्पादक के राजस्व (चिह्नित आयत) को अधिकतम करता है।
• $x_m$ गणना आमतौर पर पहली-क्रम स्थिति का उपयोग करके की जा सकती है: ।$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

कैसे व्यवहार करता है, इसके बारे में कुछ महसूस करने के लिए , मैंने कुछ फ़ंक्शन परिवारों की कोशिश की।$W/V$

चलो , जहां एक पैरामीटर है। फिर:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ ।
• पहली-क्रम स्थिति देता है: ।$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

जब , , तो इस परिवार के लिए, बाध्य है।$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

लेकिन अन्य परिवारों के साथ क्या होता है? यहाँ एक और उदाहरण है:

चलो , जहां एक पैरामीटर है। फिर:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ ।
• पहली-क्रम स्थिति देता है: ।$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

जब , फिर से , तो यहाँ फिर से बंधे हैं।$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

और एक तीसरा उदाहरण, जिसे मुझे संख्यात्मक रूप से हल करना था:

चलो , जहां एक पैरामीटर है। फिर:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ ।
• पहली-क्रम स्थिति देता है: । इस डेसमोस ग्राफ का उपयोग करते हुए , मुझे पता चला कि । बेशक यह समाधान केवल तभी मान्य है जब ; अन्यथा हमें मिलता है और कोई घातक नुकसान नहीं होता है।$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• उसी ग्राफ का उपयोग करते हुए, मुझे पता चला कि साथ घट रहा , इसलिए इसका वर्चस्व मूल्य , और यह लगभग 1.3 है।$W/V$$a$$a=2$

क्या परिमित कार्यों का एक और परिवार है जिसके लिए असीम रूप से बढ़ सकता है?$W/V$

Comments

शून्य सीमांत लागत शून्य उत्पादन लागत का मतलब नहीं है। यदि उत्पाद को मुफ्त में दिया जाता है, तो इस लागत का बोझ कौन वहन करता है, और किस अर्थ में सामाजिक कल्याण अधिकतम होता है?

— एलेकोस पापाडोपोलोस

"यू (एक्स) उपभोक्ताओं की उपयोगिता फ़ंक्शन (जो कि उलटा मांग फ़ंक्शन भी है) हो।" क्या यह उपभोक्ताओं की उपयोगिता कार्य नहीं है? $$.$$ $\texttt{marginal}$

— कॉलकुलस

इसमें से अधिकांश को पढ़ने के बिना, हानिकारक सामाजिक कल्याण की अवधारणा पर निर्भर करता है , और हम उन दोनों का वजन कैसे करते हैं। यदि हम केवल घरेलू अधिशेष को देखते हैं, तो एक छोटी कीमत-लोच फर्मों को अधिशेष की अधिक राशि वसूल करने की अनुमति देती है। नतीजतन, मांग समारोह D(p) = x, "सबसे खराब" है, अगर हम उपभोक्ता अधिशेष पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

— फूबर

@AlecosPapadopoulos मेरा मतलब केवल व्यापार के कारण सामाजिक कल्याण में वृद्धि है (शायद मुझे इसे कहना चाहिए था )। इस अर्थ में, उत्पादन लागत अप्रासंगिक है। $W$$\Delta W$

— एरेल सेगल-हलेवी

@calculus आप सही हैं, मैंने इसे ठीक किया, धन्यवाद!

— एर्गल सेगल-हलेवी

Answer 1

मनमाने ढंग से बड़े अनुपात में मांग वक्र के साथ होना चाहिए

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ ।

पर एकाधिकारवादी मूल्य , लेकिन उपभोक्ताओं का अधिशेष यदि अनंत है, क्योंकि मांग वक्र के नीचे के क्षेत्र में ।$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$

Comments

धन्यवाद! क्या इस संदर्भ में चर्चा की गई है? मुझे उम्मीद है कि यह मानक पाठ्यपुस्तकों में मिरोकोनॉमिक्स में दिखाई देगा, लेकिन इसे किसी भी पुस्तक में नहीं मिला, जिसे मैंने देखा था।

— एरेल सेगल-हलेवी

मैं किसी भी संदर्भ का नहीं जानता, क्षमा करें।

— सैंडर हेनसालू