संक्रमण मैट्रिक्स: असतत -> निरंतर समय

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मैं कोड Tauchen (1986) के लिए इसी (के अजगर बराबर है इस जो एक असतत समय एआर (1) प्रक्रिया के एक असतत सन्निकटन उत्पन्न करता है),।

उदाहरण के लिए, यदि आप 3 के रूप में ग्रिड आकार सेट करते हैं, तो यह आपको उत्पादकता का एक वेक्टर देता है

[A_1, A_2, A_3,]

और संक्रमण संभावनाओं का एक मैट्रिक्स

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

जहाँ पंक्ति i, स्तंभ jआपको से संक्रमण की संभावना देता iहै j, और यह संतुष्ट करता है कि प्रत्येक पंक्ति का योग लगभग एक है।

मैं सोच रहा हूं कि मैं इसे ट्रांज़िशन मैट्रिक्स के बराबर समय में कैसे बदल सकता हूं; राज्यों के बीच प्रवाह की दर को नियंत्रित करने वाली पॉसों संभावनाओं का एक सेट।

इस संबंध में मुझे जो कुछ भी याद है, वह यह है कि हम उपयोग कर रहे पॉसों को रैखिक सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

लेकिन मैं यह नहीं देख सकता कि यह कैसे उस पूर्व मैट्रिक्स को $\lambda$ s में बदलने में मेरी मदद करता है ... मैं किसी भी सुझाव के लिए उत्सुक हूं।

computation stochastic-processes

— FooBar
स्रोत

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मान लीजिए एक है प्वासों संक्रमण दर, जहां की मैट्रिक्स के लिए को दर्शाता है जिस दर पर राज्य राज्य के लिए संक्रमण , और दर देता है किस राज्य में अन्य सभी राज्यों में संक्रमण है। की प्रत्येक पंक्ति 0 पर बैठती है। $B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

तब यदि समय पर प्रायिकता वितरण को निरूपित करता , परिभाषा में हमारे पास ODE हम जानते हैं कि इस तरह का ODE का समाधान कैसा दिखता है: , जहां है मैट्रिक्स घातीय की । इसलिए, यदि हम चाहते हैं कि बाद मार्कोव संक्रमण मैट्रिक्स उत्पन्न करे , तो हमें आवश्यकता होगी । $p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

सिद्धांत रूप में, को प्राप्त करने के लिए , हमें के मैट्रिक्स लघुगणक को लेते हुए मैट्रिक्स घातीय को पलटना होगा । समस्या यह है कि प्रत्येक मैट्रिक्स में कई मैट्रिक्स लॉगरिदम होते हैं - एक आयामी आयामी अंतरिक्ष में लघुगणक में असीम रूप से कई शाखाएं होती हैं, और जब हम आयामी अंतरिक्ष में मेट्रिक्स के बारे में बात कर रहे होते हैं तो यह जटिल होता है। इनमें से अधिकांश लघुगणक संतोषजनक पॉइसन संक्रमण मैट्रिसेस नहीं होंगे: शायद वे वास्तविक नहीं होंगे, या प्रविष्टियों में सही संकेत नहीं होंगे। फिर भी यह संभव है कि उनमें से एक से अधिक हो जाएगा: कुछ मामलों में एक से अधिक प्वासों है एक मार्कोव के लिए इसी , बस कुछ मामलों में के रूप में वहाँ है कोई प्वासों $B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ अनुरूप । यह गन्दा है। $A$

सौभाग्य से, एक ऐसी स्थिति है जहां जीवन अपेक्षाकृत सरल है, और इसमें लगभग निश्चित रूप से आपका अपना मामला भी शामिल है: जब सभी स्वदेशी सकारात्मक, विशिष्ट वास्तविक हैं $A$ । इस स्थिति में, का केवल एक लघुगणक है जो वास्तविक होगा, और यह गणना करना आसान है: आप मैट्रिक्स को रूप में विकर्ण करते हैं और प्राप्त करते हुए, आइजेनवाल्यूल्स का वास्तविक लघुगणक लेते हैं। , जहां । वास्तव में, आपको स्वयं ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है: यदि आप (संभवतः पाइथन भी) में कमांड का उपयोग करते हैं , तो यह आपको ठीक यही । $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

इस को देखते हुए , आपको बस यह सत्यापित करना है कि यह वास्तव में पॉइसन मैट्रिक्स है। पहली आवश्यकता, कि सभी पंक्तियाँ शून्य के बराबर हैं, के निर्माण के कारण स्वचालित रूप से संतुष्ट हैं । ** दूसरी आवश्यकता, कि विकर्ण तत्व ऋणात्मक हैं और ऑफ-विकर्ण तत्व धनात्मक हैं, हमेशा पकड़ में नहीं आता (मुझे लगता है) ), लेकिन आपके लिए जाँच करना आसान है। $B$ $B$

इस क्रिया को देखने के लिए, मैं एक 3-राज्य मार्कोव प्रक्रिया के लिए पर विचार करूंगा जो कि एक खंडित AR (1) जैसा दिखता है। अब, अगर मैं को Matlab में टाइप करता हूं, तो प्राप्त यह वास्तव में, एक वैध प्वासों संक्रमण मैट्रिक्स है के रूप में हम आसानी से जांच कर सकते हैं पंक्तियाँ शून्य पर हैं और सही संकेत हैं - तो यह हमारा उत्तर है। $A$

ए = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

बी = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$

सकारात्मक प्रतिजन के साथ मामला बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह उन सभी मामलों में फैला हुआ है जहां मार्कोव श्रृंखला (जो नकारात्मक या जटिल eigenvalues की आवश्यकता होगी) में कुछ प्रकार के दोलन व्यवहार नहीं है, संभवतः आपके विवेकाधीन एआर (1) सहित।

आम तौर पर, Matlab पर कमांड हमें प्रिंसिपल मैट्रिक्स लॉगरिथम, प्रिंसिपल स्केलर लॉगरिथम का एक एनालॉग देगा जो सभी eigenvalues को काल्पनिक भाग और बीच ले जाता है । समस्या यह है कि यह जरूरी नहीं कि हम जो लघुगणक चाहते हैं, और इसे देखकर हम एक पोइसन को याद कर सकें जो पैदा करता है । (यही कारण है कि सकारात्मक eigenvalue मामला, जहां हमें इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं थी, यह बहुत अच्छा था।) फिर भी, इन अन्य मामलों में भी यह कोशिश करने और देखने के लिए चोट नहीं पहुंचा सकती है कि क्या यह काम करता है। $\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

वैसे, यह देखने की समस्या है कि क्या कोई जो कुछ मार्कोव मैट्रिक्स उत्पन्न करता है, बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। इसे एंबेडैबिलिटी समस्या कहा जाता है : डेविस द्वारा इस उत्कृष्ट सर्वेक्षण लेख में कुछ अवलोकन और संदर्भ देखें । मैं समस्या के तकनीकी पहलुओं का विशेषज्ञ नहीं हूँ, हालाँकि; यह उत्तर मेरे खुद के हैकिश अनुभव और अंतर्ज्ञान पर आधारित है। $B$ $A$

मुझे लगता है कि ecksc की टिप्पणी को बंद करने के लिए बाध्य है और कह रहा है कि विवेकपूर्ण रूप से सज्जित एआर (1) को एक परिमित-राज्य निरंतर समय प्रक्रिया में परिवर्तित करने के लिए बेहतर, अधिक प्रत्यक्ष तरीके हो सकते हैं - बजाय केवल ताउचेन विधि के माध्यम से प्राप्त मैट्रिक्स को लेने और निरंतर बना रहा है। लेकिन मैं व्यक्तिगत रूप से नहीं जानता कि वह बेहतर तरीका क्या है!

** स्पष्टीकरण (हालांकि मैं जंग खा रहा हूं): में 1 का एक अनोखा पेरोन-फ्रोबेनियस ईजेनवल्यू है, और चूंकि स्टोकैस्टिक है इस ईजेनवल्यू के सही आइगेनवेक्टर यूनिट वेक्टर । यह अभी भी सही eigenvector है, अब 0 के eigenvalue के साथ, जब हम मैट्रिक्स लघुगणक लेते हैं। $A$ $A$ $e$

— नाममात्र कठोर
स्रोत

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टिप्पणी नहीं कर सकता, या मैं पहले अधिक विशिष्टताओं के लिए पूछूंगा। आप एक एआर (1) प्रक्रिया एक सतत समय की प्रक्रिया के लिए एक असतत समय श्रृंखला के खिलाफ लगे परिवर्तित करने के लिए प्रयास कर रहे हैं, मैं एक प्रासंगिक संसाधन मिला यहाँ पृष्ठ 4 पर।

एआर (2) प्रक्रिया से एक सीएआर (2) प्रक्रिया के गुणांक का आकलन करने के लिए गणना प्रदान की जाती है, लेकिन निश्चित रूप से आप अपने रूपांतरण प्राप्त करने के लिए दूसरे गुणांक के लिए 0 स्थानापन्न कर सकते हैं।

यदि आप एक असतत समय मार्कोव चेन को निरंतर समय में बदलने की कोशिश कर रहे हैं, तो यह अधिक जटिल होने वाला है और इससे पहले कि मैं और अधिक सहायता दे सकूं, मुझे कुछ और पढ़ना होगा। :) इस बीच, यहां कुछ अच्छी पठन सामग्री मुझे लगातार मार्कोव चेन से मिली।

— ecksc
स्रोत