डेब्रे के एक प्रमेय के अनुप्रयोग / सामान्यीकरण

Question

मैं यह जानना चाहूंगा कि डेब्यू के पेपर "पड़ोसी आर्थिक एजेंटों" (ला डिसिजन 171 (1969): 85-90 में अंतिम प्रमेय, जी। डेब्रेयू, गणितीय अर्थशास्त्र में पुनर्मुद्रित: गेरार्ड डेब्रु (1986), पीपी 173 के बारह पत्रों में कैसे अंकित किया गया है। -178) का उपयोग किया गया है:

प्रमेय। टोपोलॉजिकल स्पेस और मेट्रिक स्पेस , let से तक एक सेट-वैल्यू मैपिंग है जो कि कॉम्पैक्ट- यानी हर लिए कॉम्पैक्ट है ) और लगातार । इसके अलावा, प्रत्येक लिए let \ varphi (e) पर कुल प्रीऑर्डर होना चाहिए जैसे कि सेट \ {e (x, y) \ _ में M \ टाइम्स H \ टाइम्स H: x \ lesssim_e y \}। बंद हो गया है। फिर M से H तक सेट-वैल्यू मैपिंग \ varphi ^ 0 कहां है$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

कॉम्पैक्ट-मूल्यवान और ऊपरी हेमी-निरंतर है ।

ध्यान दें कि प्रमेय प्रसिद्ध बर्ज अधिकतम प्रमेय के समान दिखता है। प्रमेय के बयान से पहले, डेब्रे लिखते हैं कि इसके विशेष मामलों को "आर्थिक संतुलन के सिद्धांत और खेल सिद्धांत में" बार-बार इस्तेमाल किया गया है, लेकिन कोई संदर्भ नहीं देता है; कागज में ही, इसका उपयोग विनिमय अर्थव्यवस्था में एक एजेंट के लिए मांग पत्राचार की ऊपरी हेमी-निरंतरता को साबित करने के लिए किया जाता है।

मुझे विशेष रूप से दिलचस्पी है कि क्या इस प्रमेय के हाल के उपयोग या सामान्यीकरण किए गए हैं, उदाहरण के लिए ऐसे मैपिंग जो कॉम्पैक्ट-वैल्यू नहीं हैं।

प्रश्न: उपरोक्त प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए और / या संदर्भों के कुछ अच्छे उदाहरण क्या हैं? क्या यह उन मैपिंग के लिए सामान्यीकृत है जो कॉम्पैक्ट-वैल्यू नहीं हैं?

Answer 1

यह परिणाम वास्तव में बर्ज की अधिकतम प्रमेय का एक संस्करण है। यदि कोई लगातार कार्य हो रहा जैसे कि अगर और केवल अगर , तो कोई भी परिणाम सीधे प्राप्त कर सकता है बर्ज की अधिकतम प्रमेय से। यदि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, जैसा कि यह मामला है यदि , तो ऐसा फ़ंक्शन हमेशा पाया जा सकता है, यह Theorem 1 से Mas-Colell के निरंतर प्रतिनिधियों की सीमाओं पर निम्न प्रकार से है (कम से कम यदि मेट्रिजेबल है, मुझे इस बात पर यकीन नहीं है)। इस तरह के "संयुक्त रूप से निरंतर उपयोगिता कार्यों" पर अधिक वरीयता क्रमों के प्रतिनिधियों के अध्याय 8 में पाया जा सकता है$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, ब्रिज एंड मेहता द्वारा।

अब डेब्रू के पास ऐसा कोई परिणाम उपलब्ध नहीं था, इसलिए उन्होंने वरीयता संबंधों के साथ काम किया और अनिवार्य रूप से बर्ज की अधिकतम प्रमेय (सामान्यीकरण गणितीय रूप से सीधा है) को निरस्त कर दिया। उसने ऐसा क्यों किया? यह समझने के लिए, डेब्यू के पेपर के बिंदु को समझने की आवश्यकता है, जो वरीयता संबंधों पर एक टोपोलॉजी ढूंढ रहा है जिसमें निओस गुण हैं और आर्थिक व्यवहार को निरंतर बनाता है। इस तरह के परिणाम की आवश्यकता साहित्य पर एजेंटों की निरंतरता के साथ अर्थव्यवस्थाओं से आती है।

इसका क्या मतलब है कि एजेंटों की अर्थव्यवस्था का एक निरंतरता परिमित ईकॉनियों के अनुक्रम की सीमा है? एक उत्तर यह है कि एजेंटों की विशेषताओं का वितरण सातत्य अर्थव्यवस्था में विशेषताओं के वितरण में परिवर्तित होता है, इसलिए अभिसरण की धारणा वितरण में अभिसरण है। इस विचार को चालू करने के लिए, किसी को एजेंटों की विशेषताओं को रेखांकित करने की आवश्यकता है। अब एक एजेंट को उसकी बंदोबस्ती और उसकी वरीयताओं (और उसके उपभोग सेट द्वारा अधिक सामान्य मॉडल में) की विशेषता है। एंडॉवमेंट्स पर एक प्राकृतिक टोपोलॉजी है, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, लेकिन यह वरीयताओं को सीधा करने के लिए कम सीधा है, और यही कि डेब्रे ने अपने पेपर में किया था। इस वितरण दृष्टिकोण का एक अनुमान हिल्डेनब्रांड 1974, एक बड़ी अर्थव्यवस्था के कोर और संतुलन में पाया जा सकता है ।

अब, ऐसे मामले हैं जहां एक विकल्प के गैर-कॉम्पैक्ट सेट के लिए बर्ज की प्रमेय को लागू करना चाहेगा। अनंत आयामी कमोडिटी स्पेस के साथ अर्थव्यवस्थाओं का अध्ययन करते समय यह महत्वपूर्ण हो सकता है, जिसमें बंद और बाध्य होने से कॉम्पैक्टनेस नहीं होती है। इस समस्या से निपटने का एक तरीका एक कॉम्पैक्ट सेट ढूंढना है, ताकि इस सेट को प्रतिबंधित करते समय पत्राचार कॉम्पैक्ट-मूल्यवान और गैर-रिक्त-मूल्यवान हो। "सामान्यीकृत खेल" या "अमूर्त अर्थव्यवस्थाओं" पर एक बड़ा, बहुत ही तकनीकी साहित्य है, (मूल रूप से सामान्य खेल जिसमें रणनीति रिक्त स्थान दूसरों के कार्यों पर निर्भर करते हैं), और वे अकस्मात बर्क के प्रमेय के गैर-कॉम्पैक्ट सामान्यीकरण होते हैं। यदि आप पुस्तक पर अपने हाथ पा सकते हैं, तो जियान-ज़ी युआन 1999 के अध्याय 4, केकेएम थ्योरी और नॉनलाइन विश्लेषण में आवेदन की जांच करें।। हालांकि, मेरी धारणा यह है कि ये परिणाम आर्थिक अनुप्रयोगों में उपयोगी साबित नहीं हुए। अनंत आयामी जिंस स्थानों वाले मॉडल में वालरसियन संतुलन के अस्तित्व को साबित करने के लिए, आमतौर पर विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है।