प्रवेश और निकास के साथ कोलमोगोरोव-फॉरवर्ड-समीकरण

Question

मैं सबसे सरल वातावरण में इस सवाल को पूछने की कोशिश करूँगा, ताकि हम ऐसे घर के बारे में सोच सकें जो उपभोग और बचत कर सके। कुछ बोझिल काम के बाद, हम इष्टतम बचत नीति के लिए समाधान कर लिया है, और संपत्ति के परिवर्तन यह है कि पता है, उसकी संपत्ति को देखते हुए , द्वारा दिया जाता है रों ( एक ) = ˙ एक ( एक ) ।$a$$s(a) = \dot a(a)$

साथ दर्शाने के स्तर पर संपत्ति के साथ परिवारों के घनत्व एक निश्चित समय टी , मैं संपत्ति के वितरण के लिए Kolmogorov फॉरवर्ड समीकरण की गणना कर सकते हैं:$g(a, t)$$a$$t$

$$\partial_t g(a, t) = - \partial_a [s(a,t)g(a,t)]$$

मैं कहां से की पद्धति का अनुसरण Achdou एट अल, परिशिष्ट ए 3 : सबसे पहले CDF गणना , और फिर उस का उपयोग ग्राम ( एक , टी ) = ∂ टी जी ( एक , टी ) ।$G(a, t)$$g(a,t) = \partial_t G(a,t)$

हालांकि, अब यह मान लें कि हमारे पास घरों का जन्म और मृत्यु है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मैं नहीं चाहता हूं कि लगातार मृत्यु दर हो, लेकिन आइए मृत्यु दर को संपत्ति स्तर पर सशर्त बनाएं: - और आइए बी ( ए , टी ) द्वारा जन्म को निरूपित करते हैं । सहज रूप से, मुझे लगता है कि नया KFE द्वारा दिया जाएगा$d(a,t)$$b(a,t)$

$$\partial_t g(a, t) = - \partial_a [s(a,t)g(a,t)] - d(a,t)g(a,t) + b(a,t)$$

एक तरफ अंतर्ज्ञान, मैं सही KFE को कैसे प्राप्त कर सकता हूं जो खरोंच से मृत्यु दर और जन्म की अनुमति देता है?