एक अर्थमितीय मॉडल, पहचान की समस्या और परीक्षण का कम होना

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निम्नलिखित समस्या को समझने के लिए कुछ मदद की तलाश और अर्थमिति में कम किए गए फॉर्म का उपयोग कैसे करें

एक व्यक्ति के स्वास्थ्य के लिए एक मॉडल पर विचार करें:

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

मान लें कि व्यायाम के अपवाद के साथ समीकरण में सभी चर यू के साथ असंबंधित हैं।

ए) व्यायाम के लिए कम किए गए फॉर्म को लिखें, और उन शर्तों को बताएं जिनके तहत समीकरण के मापदंडों की पहचान की जाती है।

ख) भाग ग में पहचान की धारणा का परीक्षण कैसे किया जा सकता है?

क्या यह मान लेना सही है:

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ कम हुए रूप में?

और बस मापदंडों की पहचान के लिए शर्त है

$E(exercise|u)=0$

और मैं इसका परीक्षण कैसे कर सकता हूं? लेकिन इसके अलावा यह किस लिए अच्छा है?

econometrics

— क्लेमेंटे कॉर्टिले
स्रोत

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यह एकल-समीकरण रैखिक मॉडल के इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल्स पर बहुत मानक प्रश्न है। आपके प्रश्न की प्रधानता को देखते हुए, एकमात्र अंतर्जात चर व्यायाम है । इस विशेष प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको एक एक्सोफिशियल चर, z की आवश्यकता है , जो दो स्थितियों को संतुष्ट करता है:

cov (जेड, यू) = 0।
अंतर्जात चर और इस बहिर्जात चर के बीच एक संबंध होना चाहिए जिसे आप प्रस्तावित कर रहे हैं, लेकिन यह सच पोस्टेड मॉडल (संरचनात्मक मॉडल) का हिस्सा नहीं था। दूसरे शब्दों में, $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ साथ में $\phi\ne 0$ , $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$ और अपने सभी व्याख्यात्मक चर (व्यायाम के अलावा) और z के लिए ओर्थोगोनल ।

आगे बढ़ने से पहले, एक टिप्पणी। द्वारा संरचनात्मक मॉडल मेरा मतलब है, निम्नलिखित Wooldridge और Goldberger सम्मेलन, माने मॉडल। यही है, वह मॉडल जो स्वास्थ्य और आपके सहसंयोजक के बीच कारण संबंध बताता है । यह एक महत्वपूर्ण अंतर है और पिछले उत्तरों से असहमति है।

अब, हाथ में समस्या पर वापस, स्थिति 2 वही है जो समकालिक समीकरणों में साहित्य को कम रूप समीकरण कहते हैं , जो कि जेड सहित सभी बहिर्जात चर पर अंतर्जात के रैखिक प्रक्षेपण के अलावा कुछ भी नहीं है।

अब, कम किए गए फॉर्म को अपने पोस्ट किए गए मॉडल में प्लग करें और आप प्राप्त करेंगे

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ कहाँ पे

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$ ,

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$ तथा

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$ । रैखिक प्रक्षेपण की परिभाषा से,

ν

$\nu$ सभी व्याख्यात्मक चर के साथ असंबंधित है और इस तरह इस अंतिम समीकरण के ओएलएस के लिए लगातार अनुमानों का उत्पादन होगा

α_{i}

$\alpha_i$ तथा

δ

$\delta$ अंतर्निहित नहीं है

b_{i}

$b_i$ सच्चे मॉडल में।

पहचान के लिए मैट्रिक्स रूप में थोड़ी हेरफेर की आवश्यकता होती है, लेकिन अनिवार्य रूप से यह तथाकथित रैंक की स्थिति को कम कर देता है । परिभाषित करें $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ तथा $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ ताकि आपका संरचनात्मक मॉडल हो $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ । अब परिभाषित करें $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$ । शर्त 1 से (कोव (z, u) = 0 ताकि E (z, u) = 0),

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$ यदि आप संरचनात्मक मॉडल के बॉट पक्षों को गुणा करते हैं

z

$\mathbf{z}$ और आपके पास अपेक्षाएँ हैं

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$ रैंक की स्थिति बताती है कि

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ पूर्ण स्तंभ रैंक है। इस विशेष उदाहरण और z पर दी गई शर्तों के बराबर है

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$ । इसलिए हमारे पास 6 अज्ञात में 6 समीकरण हैं। इसलिए प्रणाली के लिए एक अनूठा समाधान मौजूद है

b

$\mathbf{b}$ पहचाना जाता है और उसके बराबर होता है

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$ , जैसी इच्छा।

टिप्पणी: स्थिति 1 पल की स्थिति को प्राप्त करने के लिए उपयोगी है, लेकिन इसके साथ कम फॉर्म मॉडल $\phi$ रैंक की स्थिति के लिए महत्वपूर्ण है। दोनों स्थितियां सामान्य हैं।

इस बिंदु पर यह स्पष्ट होना चाहिए कि हमें इसकी आवश्यकता क्यों है। एक हाथ में, बिना z ओएलएस के सही मॉडल का अनुमान लगाने वाला न केवल असंगत अनुमानकों का उत्पादन करेगा $b_6$ लेकिन सभी के लिए $b_i$ । दूसरे हाथ में (और कुछ हद तक संबंधित), हमारे मापदंडों की विशिष्ट पहचान है, इसलिए हम निश्चित हैं कि हम अपने वास्तविक मॉडल में बताए गए वास्तविक कारण संबंध का अनुमान लगा रहे हैं।

परीक्षण के संबंध में, हालत 2 (z और व्यायाम आंशिक रूप से सहसंबद्ध हैं) को सीधे परीक्षण किया जा सकता है और आपको हमेशा उस रिपोर्ट की रिपोर्ट करनी चाहिए जो पिछले उत्तर में टिप्पणी के विपरीत है। इस कदम के संबंध में एक विशाल साहित्य है, विशेष रूप से कमजोर-साधन साहित्य।

फिर भी दूसरी स्थिति का प्रत्यक्ष परीक्षण नहीं किया जा सकता है। कभी-कभी आप आर्थिक सिद्धांत को सही ठहराने या वैकल्पिक परिकल्पना प्रदान करने के लिए आह्वान कर सकते हैं।

— MauOlivares
स्रोत

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जैसा कि कहा गया है, सवाल मेरे लिए बहुत मायने नहीं रखता है। यदि समस्या कहती है कि व्यायाम अंतर्जात है (त्रुटि अवधि के साथ सहसंबद्ध), तो आप समाधान में विपरीत नहीं मान सकते। साथ ही, एक आमतौर पर IV अनुमान के संदर्भ में कम बनाम संरचनात्मक रूप के बारे में बोलता है। यदि व्यायाम अंतर्जात है, तो आपको इसके लिए एक साधन की आवश्यकता होती है (चर जो व्यायाम की भविष्यवाणी करता है, लेकिन स्वास्थ्य को प्रभावित नहीं करता है) कारण संबंधी प्रभाव प्राप्त करने के लिए। उदाहरण के लिए, यदि आपके नमूने में कुछ लोगों ने अनियमित रूप से जिम सदस्यता कूपन जीता है, तो यह एक मान्य साधन हो सकता है।

पहचान की धारणा तब होगी

कूपन वास्तव में व्यायाम की भविष्यवाणी करता है
कूपन ऑर्थोगोनल है $u$

जिसे संरचनात्मक रूप कहा जाता है वह दो समीकरण होंगे, एक आपका मूल मॉडल, दूसरा कूपन पर व्यायाम का अन्य प्रतिगमन और मूल मॉडल (पहला चरण) से अन्य व्याख्यात्मक चर। जब आप पहले चरण को मुख्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो कम किया हुआ स्वरूप होता है, इसलिए आप स्वास्थ्य को आयु, वजन, ..., काम और कूपन (लेकिन व्यायाम नहीं करते हैं , जैसा कि बाहर प्रतिस्थापित किया गया है) को पुनः प्राप्त करते हैं। कम किए गए फॉर्म का उपयोग कभी-कभी IV अनुमान के गुणों को समझाने के लिए किया जाता है, लेकिन AFAIK इसका उपयोग व्यवहार में ज्यादा नहीं किया जाता है।

— ivansml
स्रोत