ओएलएस गुणांक प्राप्त करने का वैकल्पिक तरीका

में मेरा एक और सवाल , एक उत्तर देने OLS गुणांक के निम्नलिखित व्युत्पत्ति प्रयोग किया है:

हमारे पास एक मॉडल है: जहां है। फिर हमारे पास: जहां और ।
$Y = X_{1} β + X_{2} β_{2} + Z γ + ε,$ $Y = X_1 \beta + X_2 \beta_2 + Z \gamma + \varepsilon,$ $Z$ $plim {\hat{β}}_{1} = β_{1} + γ \frac{C o v (X_{1}^{*}, Z)}{V a r (X_{1}^{*})} = β_{1},$ $\text{plim}\, \hat \beta_{1} = \beta_1 + \gamma \frac{Cov(X_1^*, Z)}{Var(X_1^*)} = \beta_1,$ $X_1^* = M_2 X_1$ $M_2 = [I - X_2(X_2'X_2)^{-1}X_2']$

यह सामान्य से अलग दिखता है जो मैंने इकोनोमेट्रिक्स में देखा है। क्या इस व्युत्पत्ति का अधिक स्पष्ट विवरण है? क्या मैट्रिक्स का कोई नाम है ? $\beta = (X'X)^{-1}X'Y$ $M_2$

econometrics regression

— हाइजेनबर्ग
स्रोत

मुझे यकीन है कि इसका वर्णन हैनसेन के व्याख्यान नोट्स में किया गया है, लेकिन मेरे पास अभी मेरे हाथों में नहीं है।

— फुआबर

मैट्रिक्स 'समुच्छेदक "या" अवशिष्ट निर्माता "मैट्रिक्स मैट्रिक्स के साथ जुड़े है । इसे "एनलिहलेटर" कहा जाता है क्योंकि (अपने स्वयं के मैट्रिक्स के लिए)। को "अवशिष्ट निर्माता" कहा जाता है क्योंकि प्रतिगमन । $\mathbf M = \mathbf I-\mathbf X(\mathbf X'\mathbf X)^{-1}\mathbf X'$ $\mathbf X$ $\mathbf M\mathbf X =0$ $X$ $\mathbf M \mathbf y =\mathbf {\hat e}$ $\mathbf y = \mathbf X \beta + \mathbf e$

यह एक सममित और सुस्पष्ट मैट्रिक्स है। इसका उपयोग गॉस-मार्कोव प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।

इसके अलावा, इसका उपयोग Frisch-Waugh-Lovell प्रमेय में किया जाता है , जिससे कोई भी "विभाजन प्रतिगमन" के लिए परिणाम प्राप्त कर सकता है, जो कहता है कि मॉडल में (मैट्रिक्स रूप में)

y = {एक्स}_{1} β_{1} + {एक्स}_{2} β_{2} + यू

$\mathbf y = \mathbf X_1\beta_1 + \mathbf X_2\beta_2 + \mathbf u$

हमारे पास वह है

{\hat{β}}_{1} = ({एक्स}_{1}^{'} म_{2} {एक्स}_{1})^{- 1} ({एक्स}_{1}^{'} म_{2}) y

$\hat \beta_1 = (\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf X_1)^{-1}(\mathbf X_1'\mathbf M_2)\mathbf y$

चूँकि है, हम इसके द्वारा फिर से लिख सकते हैं $\mathbf M_2$

{\hat{β}}_{1} = ({एक्स}_{1}^{'} म_{2} म_{2} {एक्स}_{1})^{- 1} ({एक्स}_{1}^{'} म_{2} म_{2}) y

$\hat \beta_1 = (\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf M_2\mathbf X_1)^{-1}(\mathbf X_1'\mathbf M_2\mathbf M_2)\mathbf y$

और चूंकि भी सममित है $M_2$

{\hat{β}}_{1} = ([म_{2} {एक्स}_{1}]^{'} [म_{2} {एक्स}_{1}])^{- 1} ([म_{2} {एक्स}_{1}]^{'} [म_{2} y]

$\hat \beta_1 = ([\mathbf M_2\mathbf X_1]'[\mathbf M_2\mathbf X_1])^{-1}([\mathbf M_2\mathbf X_1]'[\mathbf M_2\mathbf y]$

लेकिन यह मॉडल से सबसे कम-वर्ग अनुमानक है

[म_{2} y] = [म_{2} {एक्स}_{1}] β_{1} + म_{2} यू

$[\mathbf M_2\mathbf y] = [\mathbf M_2\mathbf X_1]\beta_1 + \mathbf M_2\mathbf u$

और भी केवल मैट्रिक्स पर को पुनः प्राप्त करने से अवशिष्ट हैं । $\mathbf M_2\mathbf y$ $\mathbf y$ $\mathbf X_2$

दूसरे शब्दों में: 1) यदि हम केवल मैट्रिक्स पर को करते हैं, और फिर मैट्रिक्स केवल इस अनुमान से अवशेष प्राप्त करते हैं , तो हमें प्राप्त होने वाली अनुमान होंगे। गणितीय रूप से उन अनुमानों के बराबर है जो हम प्राप्त करेंगे यदि हम दोनों को एक ही समय में, एक ही समय पर एक से अधिक एकाधिक प्रतिगमन के रूप में और एक साथ प्राप्त करते हैं। $\mathbf y$ $\mathbf X_2$ $\mathbf M_2\mathbf X_1$ $\hat \beta_1$ $\mathbf y$ $\mathbf X_1$ $\mathbf X_2$

अब, मान लें कि एक मैट्रिक्स नहीं है, बल्कि सिर्फ एक है, कहें । तब , मैट्रिक्स पर चर को प्राप्त करने से अवशिष्ट है । और यह यहाँ अंतर्ज्ञान प्रदान करता है: हमें यह प्रभाव देता है कि " का हिस्सा जो कि द्वारा अस्पष्टीकृत है " पर " वह भाग है जिसे द्वारा अस्पष्टीकृत छोड़ दिया गया है "। $\mathbf X_1$ $\mathbf x_1$ $\mathbf M_2 \mathbf x_1$ $X_1$ $\mathbf X_2$ $\hat \beta_1$ $X_1$ $\mathbf X_2$ $Y$ $\mathbf X_2$

यह क्लासिक लिस्ट-स्क्वायर अलजेब्रा का एक प्रतीक चिन्ह है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

उत्तर देना शुरू किया, लेकिन मेरे पास इस उत्तर के साथ बहुत अधिक ओवरलैप था। बिल ग्रीन द्वारा "इकोनोमेट्रिक एनालिसिस" के 7 वें संस्करण के अध्याय 3.2.4 में आपको बहुत सी जानकारी मिल सकती है।

— cc7768

@ cc7768 हाँ, यह कम से कम वर्गों के लिए एक अच्छा स्रोत है। लेकिन अतिरिक्त सामग्री पोस्ट करने में संकोच न करें। उदाहरण के लिए, अनिवार्य रूप से मेरा उत्तर ओपी के केवल दूसरे प्रश्न को शामिल करता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@AlecosPapadopoulos आप कहते हैं कि यदि हम पुनः प्राप्त करते हैं

M_{2} y

$\mathbf M_2y$ पर

X_{1}

$\mathbf X_1$ , हम भी प्राप्त करते हैं

{\hat{β}}_{1}

$\hat \beta_1$ । लेकिन समीकरण यह नहीं कह रहा है, फिर से आना

M_{2} y

$\mathbf M_2y$ पर

M_{2} X_{1}

$\mathbf M_2\mathbf X_1$ बजाय?

— हाइजेनबर्ग

@ हाइजेनबर्ग सही। टाइपो। इसे ठीक किया, और थोड़ा और जोड़ा।

— एलेकोस पापाडोपोलोस