भीड़भाड़ के खेल में सबमॉड्यूलरिटी गुण?

बता दें कि एक -players और -elements कंजेशन गेम है । $G$ $n$ $m$

एक संतुलन , $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

कहाँ $sup_i(e)$ के समर्थन में शामिल है $i$ 'वें खिलाड़ी खेल $e$ (रणनीति के सेट $i$ सकारात्मक संभावना के साथ खेलते हैं)।

इसके अलावा, हम कहते हैं कि $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ iff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , कि हर खिलाड़ी है $e$ randomizes उसकी एक उपसमूह पर कार्रवाई वह उन क्रियाओं का चयन कर सकता है जिन्हें खेलना पसंद है $e'$ ।

एक अंतिम परिभाषा सामाजिक लागत, $SC(e)$ जिसे खिलाड़ियों के लिए लागत की राशि के रूप में परिभाषित किया गया है।

चलो $e,e'$ दो (संभवतः मिश्रित) के लिए equilibriums हो $G$ ।

क्या
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ मतलब $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$ ?

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— आरबी
स्रोत

क्या आपके कहने का मतलब

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$ ? सहज रूप से, किसी को लगता है कि कम से कम तत्वों के चारों ओर संतुलन खेलने पर ध्यान केंद्रित करने से प्रत्येक तत्व अधिक भीड़ हो जाएगा।

— सर्वव्यापी

@ विशिष्ट - मुझे लगता है कि यह बिल्कुल विपरीत है। प्रत्येक खिलाड़ी कम तत्वों पर केंद्रित है, जिसका अर्थ है कि कम खिलाड़ी प्रत्येक तत्व का उपयोग कर रहे हैं। तथ्य यह है कि प्रत्येक खिलाड़ी अब तत्वों का एक सबसेट चुनता है, और यह अभी भी एक संतुलन है , इसका मतलब यह हो सकता है कि समाज इसे प्राप्त कर रहा है (अन्यथा, ऐसा लगता है कि खिलाड़ी अधिक तत्वों का उपयोग करने के लिए वापस विचलित होने की संभावना है)।

— RB

लागत समारोह (देरी) पर निर्भर करता है। प्रश्न में खेल अपूर्ण रूप से निर्दिष्ट है, क्योंकि भुगतान (लागत) अनुपस्थित हैं।

— सांडेर हेन्सालु

यह प्रस्ताव सामान्य रूप से सत्य नहीं है । एक दिखा सकता है कि यह $n=2$ और के मामले में सच है $m=2$ । यहाँ, मैं एक काउंटर उदाहरण प्रदर्शित करता हूँ जब $n=3$ और $m=2$ ।

एक संक्षिप्त टिप्पणी। हम शब्दों में प्रश्न को फिर से जोड़ सकते हैं: क्या एक नैश संतुलन है जो "अधिक यादृच्छिक" ( बनाम ) कम कुशल है? सहज रूप से, अधिक मिश्रित रणनीतियों के रूप में खेला जाता है, एहसास हुआ परिणाम अधिक यादृच्छिक है और एजेंटों के बीच समन्वय की कमी के कारण यह बहुत अक्षम हो सकता है। जब एजेंट शुद्ध रणनीतियों को निभाते हैं, तो हम सोच सकते हैं कि हम दिए गए समन्वय समस्या को कम करते हैं जिसे हम नैश संतुलन मानते हैं। यह अंतर्ज्ञान धारण नहीं करता है यदि प्रस्ताव गलत है, जैसा कि मैं दिखाऊंगा जब और । $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

और को दो संभावित क्रियाओं से अवगत कराएं । देरी कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: , , और , , । इसका मतलब यह है कि जब एजेंट ( ) खेलते हैं , तो उन्हें भुगतान ( ) प्राप्त होता है। यह एक (सममित) भीड़ का खेल है जब तक विलंब कार्य बढ़ रहे हैं। $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

को संतुलन के रूप में परिभाषित करें जब 1 एजेंट निभाता है और 2 एजेंट खेलते हैं । परिभाषित करें संतुलन के रूप में जब 1 एजेंट हमेशा खेलता , और 2 अन्य निभाता है संभावना के साथ और संभावना के साथ । यह प्रॉपर्टी संतुष्ट करता है । $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक नैश संतुलन है। एजेंट, जो खेलता है को अधिकतम करना है उसके दो अन्य खिलाड़ियों के रणनीति दिया अदायगी जब चुनने को चुनने से बेहतर है , (यानी )। खेलने वाले दोनों एजेंट यदि (यानी ) हैं तो बेहतर तरीके से खेल रहे हैं । इस प्रकार एक नैश संतुलन है और इसकी सामाजिक लागत । $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

दूसरा, हम दिखाते हैं कि एक नैश संतुलन है। एक तरफ, एजेंट, जो निभाता उसकी अदायगी जब दो अन्य मिश्रित रणनीति खेलने अगर वह खेलने से बेहतर है को अधिकतम करना है से , यानी , जो सत्य है। दूसरी ओर, मिश्रित रणनीति खेलने वाले एजेंटों में से प्रत्येक या चुनने के लिए उदासीन है, अगर अर्थात । $e'$ $B$ $B$ $A$

(1 - μ)^{2} घ_{बी} (3) + 2 μ (1 - μ) घ_{बी} (2) + μ^{2} घ_{बी} (1) < (1 - μ)^{2} घ_{ए} (1) + 2 μ (1 - μ) घ_{ए} (2) + μ^{2} घ_{ए} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ घ_{ए} (2) + (1 - μ) घ_{ए} (1) = μ घ_{बी} (2) + (1 - μ) घ_{बी} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$ इसके बाद नैश संतुलन और इसकी सामाजिक लागत जो कि बराबर है ।

(1 - μ)^{2} [3 घ_{बी} (3)] + 2 μ (1 - μ) [घ_{ए} (1) + 2 घ_{बी} (2)] + μ^{2} [2 घ_{ए} (2) + घ_{बी} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

अंत में, हमने दिखाया है कि लेकिन । मिश्रित-रणनीति नैश संतुलन का परिणाम शुद्ध-रणनीति की तुलना में कम सामाजिक लागत है। $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
स्रोत