स्थानीय गैर-संतृप्ति और एकरसता के बीच अंतर क्या है?

Question

क्या स्थानीय गैर-संतृप्ति और सहजता के बीच व्यावहारिक अंतर है? क्या कोई दूसरे के बिना एक उपयोगिता फ़ंक्शन में मौजूद हो सकता है?

Comments

क्या आपका मतलब कमजोर या मजबूत एकरसता से है ?

— गिस्कार्ड

Answer 1

वरीयताओं की एकरूपता स्थानीय निरर्थकता की तुलना में एक मजबूत स्थिति है। एकरसता का अर्थ है स्थानीय निरस्तीकरण, लेकिन आसपास का दूसरा तरीका नहीं ।

इसे देखने के लिए:

दावा: चलो हो पर एक monotonic वरीयता संबंध \ mathbb {R} ^ n _ {+} । इसलिए, \ succsim स्थानीय रूप से nonsatiated है।$\succsim$$\mathbb{R}^n_{+}$$\succsim$

प्रमाण: कुछ ठीक करें । आज्ञा देना एक मनमाना और let यूनिट वेक्टर हो। किसी भी , हमारे पास । चूँकि स्पष्ट रूप से by monotonicity। निम्नलिखित मीट्रिक पर विचार करें :$\varepsilon > 0$$x \in \mathbb{R}^n_{+}$$\mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$$\lambda > 0$$x + \lambda \mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$$x + \lambda \mathbf{1} \gg x,$ $x + \lambda \mathbf{1} \succ x$$\mathbb{R}^n_{+}$

$$d(x+\lambda \mathbf{1}, x) = ||x+\lambda \mathbf{1} -x|| = \lambda||\mathbf{1}|| = \lambda \sqrt{n}.$$

इस प्रकार , अभी तक । चूँकि मनमाना था, ऐसे बिंदु का अस्तित्व यह दर्शाता है कि स्थानीय रूप से nonsatiated है। $\lambda < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}$$d(x+\lambda \mathbf{1}, x) < \varepsilon$$x + \lambda \mathbf{1} \succ x$$x$$\succsim$$\blacksquare$

यह दिखाने के लिए कि स्थानीय रूप से निरर्थक प्राथमिकताएँ मोनोटोनिक प्राथमिकताएँ नहीं हैं, आप विभिन्न सामानों पर एक उपयोगिता फ़ंक्शन साथ आ सकते हैं जो कि कुछ सामानों के संबंध में सख्ती से बढ़ जाता है, लेकिन कम से कम दूसरों के लिए एक संतृप्ति बिंदु तक पहुंचता है। । उदाहरण के लिए, :$u(\cdot)$$\mathbb{R}^2_{+}$

$$u(x_1,x_2) = x_1 - |1-x_2|.$$

ऐसी वरीयताओं वाला एक उपभोक्ता पर संबंध में ।$x_2$$x_2=1$