वे दोनों एक ही तरह से या एक ही गणितीय वस्तु के विस्तार से संबंधित हैं, अर्थात् कॉची-एयुलर अंतर समीकरण , वह रूप है
$ $ a_ {n} x ^ nf ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} x ^ {n-1} f ^ {(n-1)} (x) + \ cdots + a_0 F (x) = 0 \ टैग {1} $ $
जहाँ $ f ^ {(n)} $ $ $ $ $ फ़ंक्शन के $ व्युत्पन्न को दर्शाता है इसका 1-ऑर्डर संस्करण है
$ $ a_ {1} x f ^ {(1)} (x) + a_0 f (x) = 0 \ टैग {2} $$
A. "सजातीय कार्यों के लिए यूलर की प्रमेय"।
1-ऑर्डर कॉची-यूलर समीकरण पर विचार करें, ए मल्टीवेरिएट विस्तार:
$$ a_1 \ mathbf x '\ cdot \ nabla f (\ mathbf x) + a_0f (\ mathbf x) = 0 \ tag {3} $ $
सजातीय कार्यों के लिए यूलर का प्रमेय अनिवार्य रूप से कहते हैं कि अगर एक बहुभिन्नरूपी समारोह $ r $ की सजातीय है, तो यह $ a_1 = -1, a_0 = r $ के साथ बहुभिन्न प्रथम-क्रम कॉची-यूलर समीकरण को संतुष्ट करता है।
ख। "खपत में यूलर का समीकरण।"
एक अविभाज्य पर विचार करें गैर रेखीय 1-ऑर्डर कॉची-एयुलर अंतर समीकरण के लिए विस्तार:
$$ a_ {1} g (x) f ^ {(1)} (x) + a_0 f (x) = 0 \ टैग {4} $ $
अब $ x = t $ (अर्थात समय के बराबर) और $ f (x) = C (t) $ (कहते हैं, प्रति व्यक्ति खपत) सेट करें। तब $ (4) $ लिखा जाता है
$$ a_ {1} g (t) \ frac {dC (t)} {dt} + a_0 C (t) = 0 $ $
$ $ \ _ का तात्पर्य \ dot C = - \ frac {a_0} {a_ {1} g (t)} C (t) \ टैग {5} $ $ है
हमें एहसास होता है कि इंटरटेम्पोरल यूटिलिटी मैक्सिमाइजेशन प्रॉब्लम का हल $ a (0), a_0, a, g (t) $ के लिए उपयुक्त वैल्यू और फॉर्म के साथ $ (5) $ के फॉर्म के समीकरण द्वारा वर्णित है। उदाहरण के लिए, रैमसे मॉडल में, हम $ a_0 = -1, a_1 = 1, g (t) = (r (t) - \ rho) ^ {- 1} $ सेट कर सकते हैं
कॉची-एयुलर नॉन-लीनियर एक्सटेंशन का असतत एनालॉग (यानी असतत समय के लिए) है
$ $ a_ {1} g (t) \ Delta C_ {t + 1} + a_0 C_t = 0 $ $
$ $ \ _ का अर्थ है C_ {t + 1} = \ left (1- \ frac {a_0} {a_1 g (t)} \ right) C_t $$
और फिर से हम देखते हैं कि असतत समय में इंटरटेम्पोरल यूटिलिटी समस्या का समाधान कॉची-यूलर 1 ऑर्डर समीकरण को संतुष्ट करता है।
अर्थशास्त्र साहित्य में "कॉची" नाम उपसर्ग क्यों निकल गया, मुझे नहीं पता।