Anscombe-Aumann के स्वयंसिद्धों में से कौन सा श्योर-थिंग सिद्धांत को दर्शाता है?

Question

एक Anscombe-Aumann सेटिंग पर विचार करें, और मान लें कि एक वरीयता संबंध सभी मूल Anscombe-Aumann के स्वयंसिद्ध (तर्कसंगतता, निरंतरता, स्वतंत्रता और एकरसता) को संतुष्ट करता है।

यदि हम शुद्ध हॉर्स रेस पर ध्यान केंद्रित करते हैं (जो कि बिना किसी उद्देश्य अनिश्चितता के कार्य करता है), तो Anscombe-Aumann मॉडल एक सब्जेक्टिव एक्सपेक्टेड यूटिलिटी प्रतिनिधित्व ला ला सैवेज को उबालता है। इसलिए, शुद्ध घुड़दौड़ के दौरान, निर्णय लेने वाला सैवेज के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, विशेष रूप से श्योर-थिंग सिद्धांत (सैवेज की शब्दावली में पी 2)।

मैं Anscombe-Aumann के स्वयंसिद्ध और श्योर-थिंग सिद्धांत के बीच सीधा संबंध देखने में विफल रहता हूं। क्या कोई देखता है कि एंस्कॉम्ब-औमन के स्वयंसिद्धों द्वारा श्योर-थिंग सिद्धांत कैसे निहित है? विशेष रूप से, क्या इसका परिणाम केवल स्वतंत्रता से है, या स्वतंत्रता और एकरसता की आवश्यकता है?

Answer 1

पहली टिप्पणी के रूप में: Anscombe-Aumann स्वयंसिद्ध, विशेष रूप से स्वतंत्रता में, राज्य अंतरिक्ष को एक रैखिक स्थान पर ले जाने वाले कार्यों पर परिभाषित किया जाता है (आमतौर पर उपभोग वस्तुओं पर साधारण लॉटरी)। यहां तक ​​कि जब हम मॉडल के प्रतिबंध को विशुद्ध रूप से अनिश्चित रूप से अनिश्चित कृत्यों पर विचार करते हैं, तब भी हमें पूर्ण मॉडल को नियोजित करने की आवश्यकता है या हम जानकारी खो देंगे।

कहा जा रहा है: चलो चलें $S$ एक परिमित राज्य स्थान हो, और $X$विकल्पों का एक निश्चित सेट। चलो$\Delta(X)$ सभी लॉटरी खत्म करना $X$ तथा $f: S \to \Delta(X)$एक अधिनियम है। एक घटना के लिए$E \subseteq S$, चलो $f_{-E}g$ द्वारा परिभाषित अधिनियम हो

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

अब, हम कह सकते हैं कि हमारा मॉडल निश्चित चीज़ सिद्धांत को संतुष्ट करता है यदि$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$और फिरयह परिभाषा सभी कार्यों के लिए मान्य है, न कि केवल उद्देश्य जोखिम के बिना, लेकिन स्पष्ट रूप से आप केवल प्रासंगिक प्रक्षेपण पर विचार कर सकते हैं।$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

एसटीपी के पूर्ववर्ती को मान लें। से और स्वतंत्रता हम है सूचना हम इसे रूप में फिर से और फिर से स्वतंत्रता लागू करते हुए, हम $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

एक अनुरूप फैशन में, और स्वतंत्रता हमारे पास है कि फिर से, हम रूप में फिर से और, फिर से स्वतंत्रता लागू करते हुए, हम $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

परिवर्तनशीलता के माध्यम से (1) और (2) के संयोजन से वांछित संबंधों की प्राप्ति होती है। प्राथमिक टिप्पणी पर वापस जाते हुए, ध्यान दें कि स्वतंत्रता को लागू करने के लिए, हमें उद्देश्य जोखिम के लिए अपील करते हुए, कृत्यों को मिलाना होगा। इस प्रकार, यहां तक ​​कि जब , , और का कोई उद्देश्य जोखिम नहीं है, तब भी हमें प्रमाण में मध्यस्थ के रूप में सेवा करने के लिए जोखिम भरा कार्य करने की आवश्यकता है। एक अर्थ में, यह पूरे AA ढांचे की भव्य अंतर्दृष्टि है --- एसटीपी को लागू करने के लिए उम्मीदों की रैखिकता का उपयोग करके अनंत राज्य अंतरिक्ष की आवश्यकता के आसपास प्राप्त करने के लिए उद्देश्य जोखिम का उपयोग करना।$f$$g$$h$

सूचना केवल स्वतंत्रता और परिवर्तनशीलता का उपयोग किया गया था। इससे संकेत मिलता है कि यहां तक ​​कि राज्य-निर्भर यूरोपीय संघ (जहां एकरसता / राज्य-स्वतंत्रता विफल रहती है) या बेवले यूरोपीय संघ (जहां पूर्णता शिथिल है) अभी भी एसटीपी को संतुष्ट करेगा।

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संपादित करें एक टिप्पणी के जवाब में: चलें ज़रूर बात सिद्धांत के ऊपर धारणा फोन STP1 और वरीयता को संतुष्ट करता है का कहना है कि STP2 अगर for all । तब अगर एक प्रीऑर्डर है, तो यह STP1 को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर यह STP2 को संतुष्ट करता है।$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

पहले मान लें कि धारण करता है और यह और । फिर द्वारा हमारे पास परिवर्तनशीलता का अर्थ है ; STP1 रखती है।$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

इसके बाद, मान लें कि STP1 होल्ड और । परिभाषित और अनुरूप। परिभाषा के अनुसार इसलिए हमारी धारणा पहचान है कि आगे तो हमारे पास वरीयता की संवेदनशीलता से, वह अब हम उस प्राप्त करने के लिए STP1 से (3) और (4) आवेदन कर सकते हैं$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, जो, उनकी परिभाषा को देखते हुए, वास्तव में हमें एसटीपी 2 को धारण करने के लिए दिखाने की आवश्यकता है।

Comments

(+1) एक प्रश्न: यह दिखाया गया है कि एसटीपी के लिए आवश्यक है कि कार्य घटनाओं पर संभावनाओं को प्रभावित न करें, अन्यथा यह पकड़ में नहीं आ सकता है। क्या यह एए फ्रेमवर्क द्वारा कवर / गारंटीकृत है?

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ 201 पी महान जवाब, बहुत बहुत धन्यवाद। एक प्रश्न: एसटीपी की मानक परिभाषा यह है कि । क्या आपकी परिभाषा इसके बराबर है? $f_{E}h \succeq g_{E}h \Leftrightarrow f_{E}h' \succeq g_{E}h'$

— ओलिव

@AlecosPapadopoulos क्या यह स्वयंसिद्ध पी 4 (पी 2 के बजाय) नहीं है, जिसमें कार्य-स्वतंत्र होने के लिए संभावनाओं की आवश्यकता होती है? अन्यथा, क्या आपके पास अपने दावे के लिए एक संदर्भ है?

— ओलिव

@Oliv Sure, ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf और उसमें मौजूद साहित्य।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@AlecosPapadopoulos बहुत बहुत धन्यवाद, यह बहुत उपयोगी है।

— ओलिव