सशर्त माध्य और सशर्त माध्यिका

Question

वोल्ड्रिज की किताब (पृष्ठ 452) में, यह कहता है

जब ओएलएस के साथ रैखिक निरपेक्ष विचलन (एलएडी) विधियां लागू की जाती हैं, तो थायरो अक्सर एक प्राथमिकता के बारे में सोचते हैं कि ओएलएस और एलएडी समान ढलान का अनुमान नहीं लगाएंगे। (वास्तव में, यह संभव नहीं है कि सशर्त माध्य और सशर्त मध्यिका दोनों में रैखिक हों )।$x_i$

मैं समझता हूं कि LAD अनुमान और OLS अनुमान आम तौर पर अलग होते हैं, लेकिन कोष्ठक में शब्द मुझे भ्रमित करते हैं। वे दोनों रैखिक क्यों नहीं हो सकते? क्या कोई मुझे एक उदाहरण दे सकता है?

Comments

उदाहरण के लिए, त्रुटि वितरण असममित और विषमकोणीय है।

— चान्स 1142

@ chan1142 क्या आप बता सकते हैं कि में सशर्त माध्यिका की गैर-रैखिकता को असमान रूप से वितरित करने में त्रुटि कैसे हुई ? $x_1$

— चुनजिंग GU

चुनजिंग: यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है। कृपया मेरा जवाब नीचे देखें।

— 13:11 पर chan1142

Answer 1

एलेकोस पापाडोपोलोस के जवाब में, सशर्त माध्य और सशर्त माध्यिका में रैखिक हैं । निम्नलिखित उदाहरण में, में सशर्त माध्य रैखिक है जबकि सशर्त माध्यिका में द्विघात है । यह उदाहरण एक निर्मित खिलौना है लेकिन यह मुद्दे के दिल को छूता है।$X$$X$$X$

उदाहरण: मान लीजिए कि और , जहां और और परस्पर स्वतंत्र हैं। फिर, जैसा कि R कमांड देता है, ताकि , जबकि | इस प्रकार हमारे पास $y = \beta_0 + \beta_1 x + u$$u = x^2 (w - 1)$$w \sim \chi_1^2$$x$$w$qchisq(0.5,1)$med(w) \doteq 0.455$$med(u|x) = x^2 (-0.545)$$E(u|x) = 0$

$$\begin{equation} E(y|x) = \beta_0 + \beta_1 x, ~~\text{ while }~~ med(y|x) = \beta_0 + \beta_1 x - 0.545 x^2. \end{equation}$$

नोट: त्रुटि वितरण की विषमता और पर की निर्भरता दोनों महत्वपूर्ण हैं। यदि त्रुटि वितरण सममित है, तो सशर्त माध्य फ़ंक्शन और सशर्त माध्य फ़ंक्शन मेल खाता है। इसके अलावा, अगर के वितरण से स्वतंत्र है , तो अशून्य लेकिन लगातार और इस प्रकार है फिर में रैखिक है ।$u$$x$$u$$x$$med(u|x)$$med(y|x)$$x$

Answer 2

लेखक के लिए निष्पक्ष होने के लिए, उद्धरण कहता है कि "यह संभावना नहीं है", न कि "यह असंभव है"।

लेकिन इसके अलावा, "समान अनुमान" और "सशर्त संबंधों की रैखिकता" के बीच लिंक भ्रामक है।

उदाहरण: मान लेते हैं कि बिना शर्त वितरण के लिए, मंझला मतलब रैखिक कार्य है :$m$$\mu$

$$m = c\mu$$

(यह उदाहरण गामा वितरण के लिए लगभग मामला है )।

मान लें कि हम दिए गए वितरण के रूप में दिए गए के सशर्त वितरण को मॉडल करते हैं$Y$$X$

$$E(Y\mid X) = bX$$

यह तो इस प्रकार है कि सशर्त मंझला होगा

$$m(Y\mid X) = c(bX) = (cb)X = \delta X, \delta \neq b$$

यहां, सशर्त मध्यिका को कंडीशनिंग चर के रैखिक कार्य के रूप में भी तैयार किया जा सकता है, लेकिन हम उम्मीद करते हैं कि हम जो अनुमान प्राप्त करेंगे, वह अलग होगा।