एक अर्थव्यवस्था में उपभोक्ता इष्टतम जो वस्तुओं की निरंतरता के साथ है

में प्रत्येक बिंदु के लिए एक कमोडिटी के साथ वस्तुओं की निरंतरता के साथ एक अर्थव्यवस्था पर विचार करें । $[0,1]$

मान लीजिए कि एक उपभोक्ता को अधिकतम करना चाहता के अधीन

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

जहां

उपभोगकी गई

-th कमोडिटीकी राशि है,

इसकी कीमत और

उपभोक्ता की धन आय है।

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

इस तरह की समस्या उदाहरण के लिए दीक्षित-स्टिग्लिट्ज़ मॉडल को मैक्रोइकॉनॉमिक्स या अंतर्राष्ट्रीय व्यापार में लागू करने के लिए उत्पन्न होती है।

इस समस्या का समाधान माना जाता है जहांयह सुनिश्चित करने के लिए एक निरंतर चुना जाता है कि बजट बाधा संतुष्ट है।

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

मैं इस परिणाम की व्युत्पत्तियों से बहुत संतुष्ट नहीं हूं, जो वस्तुओं की परिमित संख्या के मामले में सादृश्य में Lagrange गुणक का उपयोग करते हैं। उपरोक्त परिणाम प्राप्त करने की पूरी तरह से गणितीय पद्धति क्या होगी?

यह स्पष्ट लगता है वहाँ मनमाने ढंग से की मूल्यों में परिवर्तन के बाद से एक अनूठा समाधान नहीं है कि के मूल्यों की एक सीमित संख्या के लिए उपयोगिता समारोह और बजट बाधा अपरिवर्तित में अभिन्न छोड़ देंगे। मैं उम्मीद कर रहा हूं कि पूरी तरह से कठोर व्युत्पत्ति भी गैर-बराबरी की इस डिग्री को सही ढंग से इंगित करेगी। $c_i$ $i$

EDIT: @BKay, @Ubiquitous द्वारा टिप्पणियों के जवाब में। साथ अर्थव्यवस्थाओं के साथ बाहर शुरू करने के साथ मेरी समस्या वस्तुओं और के रूप में सीमा लेने है कि इस की जरूरत है एक तर्क जो शो ओप्टिमा की सीमा सीमा समस्या का एक इष्टतम है कि के साथ किया जाना है। मैं एक परिणाम के संदर्भ की सराहना करूंगा जो इस विशेष समस्या के लिए या सामान्य परिणाम जो इस समस्या पर लागू होता है, के लिए दिखाता है। $n$ $n \to \infty$

@AlecosPapadopoulos के जवाब में। लैंगरेंज गुणक पद्धति के प्रमाण जो अर्थशास्त्र के पाठ्यक्रमों के लिए गणित में पढ़ाए जाते हैं, आमतौर पर पसंद की चर संख्याओं के लिए उपयुक्त होते हैं। मैं एक संदर्भ की सराहना करूंगा जहां विकल्प चरों की निरंतरता के लिए विधि उचित है। इसके अलावा, मैं जिस उपर्युक्त का उल्लेख करता हूं, वह बताता है कि विधि बिल्कुल सही नहीं हो सकती है। फिर इसकी वैधता के लिए क्या योग्यताएँ आवश्यक हैं?

microeconomics mathematical-economics

— ज्योतिर्मय भट्टाचार्य
स्रोत

मैं ओपी से सहमत हूं, जब अंतरिक्ष अनंत-आयामी हो जाता है तो बहुत कुछ गलत हो सकता है। मेरे लिए यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि इष्टतम की सीमा सीमा का इष्टतम है।

— फुबार

जवाबों:

पूरी तरह से कठोर बात यह होगी कि विभिन्न प्रकार की समस्याओं के इस गणना के ईयुलर लैग्रेंज समीकरण को लिखा जाए, इससे आपको एक मजबूत समाधान मिलेगा जो आपके पास है या एक कमजोर समाधान है जो वितरण के संबंध में लिखा गया है।

— user157623
स्रोत

लेकिन मैं अपने बजट अवरोध को विविधताओं के निरूपण में कैसे शामिल करूं?

— ज्योतिर्मय भट्टाचार्य 5

इस लिंक की जाँच करें, math.stackexchange.com/questions/279518/… , एक लैगेंज मल्टीप्लायर फंक्शन !, जो आपको चाहिए, यह आपको एक मज़बूत समाधान देता है जिसकी व्याख्या पॉइंटवाइज़ की जा सकती है, हालाँकि इसे प्रमुख उपाय के साथ रखना चाहिए

— user157623

धन्यवाद। आपके द्वारा विविधताओं के कलन का उपयोग करने के संकेत के बाद, मैंने कोलोमोगोरोव की धारा 12 में एक प्रमेय 1 पाया और वैरिएशंस के फोमिनस कैलकुलस को अभिन्न के रूप में व्यक्त बाधाओं को संभालने के लिए लगता है। तो एक अर्थ में सब के बाद Langrange गुणक का उपयोग कर सकते हैं।

— ज्योतिर्मय भट्टाचार्य

यह एक टिप्पणी के रूप में उपयोगी है, लेकिन जवाब के रूप में नहीं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

आप सही ज्योतिर्मय भट्टाचार्य हैं, हो सकता है कि कोई इसे टिप्पणी में दिए गए लिंक के साथ पूर्ण उत्तर देने के लिए संपादित कर सकता है।

— user157623

जैसा कि ओपी ने एक टिप्पणी में उल्लेख किया है, कोलोमोगोरोव की धारा 12 में थिओरेम 1 और वेरिएंट की फिमिनस कैलकुलस से कुछ आराम मिलता है कि हम वास्तव में लैंगरेंज गुणक विधि का उपयोग कर सकते हैं जब हमारे चर की संख्या अनंत होती है। फिर भी, लेखक ऐसा करते हैं कि एक फुटनोट में, "पाठक आसानी से लैंगरेंज मल्टीप्लायरों के साथ सादृश्य पहचान लेंगे"। तो नहीं, यह कड़ाई से नहीं दिखाता कि हम क्या चाहते हैं।

मुझे लगता है कि हमें जिस चीज की जरूरत है वह है क्रेवेन, बीडी (1970) जैसा एक पेपर । लैग्रेंज गुणकों का एक सामान्यीकरण। ऑस्ट्रेलियाई गणितीय सोसायटी के बुलेटिन, 3 (03), 353-362। जो इसके सारांश में लिखते हैं:

विवश स्थिर-मूल्य समस्या को हल करने के लिए लैग्रेग मल्टीप्लायरों की पद्धति को कार्यों को मनमाने ढंग से बानाच स्थानों (वास्तविक क्षेत्र में) में मान लेने की अनुमति देने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। परिमित आयामी समस्या में लैग्रेग मल्टीप्लायरों के सेट को संबंधित बानाच स्थानों के बीच एक सतत रैखिक मानचित्रण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह गणित-भाषी है, लेकिन यह कहता है कि हम क्या सुनना चाहते थे (एक विकिपीडिया में एक छोटी अवधि को इस हद तक पा सकते हैं कि यह सामग्री पर भरोसा करता है)।

फिर, हम समस्या का लग्रियन बना सकते हैं

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

और अनौपचारिक रूप से बोलते हुए, "अभिन्न को देखकर और एक राशि को देखकर" पहले क्रम की स्थिति की गणना करें,

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... स्थितियों का एक सिलसिला। बाद के उपयोग के लिए हम परिभाषित करते हैं

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

$\sigma$

$(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

यंत्रवत् रूप से लागू Kolmogorov-Fomin परिणाम हमें एक समाधान देता है। इसलिए हमें लग्र गुणक के साथ सादृश्य की अपील नहीं करनी चाहिए। मैं इसे एक अलग उत्तर में लिख रहा हूं।

— ज्योतिर्मय भट्टाचार्य 2

यह @ user157623 द्वारा दिए गए उत्तर का केवल एक विस्तार है। मैं इसे सुविधा के लिए एक समुदाय विकि के रूप में पोस्ट कर रहा हूँ।

कोलमोगोरोव की धारा 12 की प्रमेय 1 और भिन्नता के फैन की गणना कहती है

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

केवल प्रमेय की प्रकृति में ही पकड़ है। यह एक इष्टतम के लिए आवश्यक शर्तें देता है। यह देखते हुए कि हमारे मामले में आवश्यक स्थिति एक अनूठा परिणाम देती है, हम सभी को इसे पर्याप्त बनाने की आवश्यकता है कि यह तर्क दिया जाए कि हमारी समस्या का समाधान है।

Kolmogorov-Fomin में प्रमाण मानते हैं कि जिन कार्यों से हम निपट रहे हैं उनमें निरंतर पहला डेरिवेटिव है। इसलिए हमें अभी भी यह दिखाने की ज़रूरत है कि इस वर्ग के कार्यों में उपभोक्ता की समस्या एक इष्टतम है लेकिन यह देखते हुए कि समस्या हल हो गई है।

— ज्योतिर्मय भट्टाचार्य को दर्शाता है
स्रोत