गेम थ्योरी में फ्री राइडर की समस्या

मान लीजिए कि एक शहर एक पुल का निर्माण कर रहा है, और इसकी लागत । हैं ग्रामीणों। $B$ $n$

पुल के प्रत्येक गांव का मूल्यांकन निजी जानकारी है, । $v_i$

यह सामान्य ज्ञान है कि यह मूल्यांकन एक समान वितरण । । $[0,1]$ $B\in[0,1]$

ग्रामीण केवल या जमा कर सकते हैं । $0$ $B$

यदि कोई ग्रामीण प्रस्तुत करता है , तो पुल का निर्माण किया जाता है और प्रत्येक अन्य ग्रामीण अपनी अधीनता का भुगतान करता है। $B$

यदि कोई पुल नहीं बनाया गया है, तो सभी को मिलता है । $0$

मैं किसी की उम्मीद अदायगी एक गांव का निर्माण करते हैं ? $i$

क्या मैं 2 परिदृश्य चल रहा है करने के लिए नीचे हो गया है: और । $v_i>B$ $v_i\leq B$

लेकिन प्रत्येक मामले में, मेरे पास दो संभावित भुगतान हैं। पूर्व मामले के लिए,

यदि हर दूसरा खिलाड़ी जमा करता है , तो B सबमिट करना चाहिए, क्योंकि । अगर कोई भुगतान करता है , तो 0 जमा करना चाहिए, क्योंकि वह हो जाता है । $0$ $i$ $v_i-B>0$
$B$ $i$ $v_i$

आपको अन्य परिदृश्य के लिए एक समान प्रकार मिलता है।

लेकिन मैं इसे की अपेक्षित अदायगी में कैसे शामिल करूंगा और मुझे सामाजिक कल्याण समारोह के निर्माण के बारे में कैसे जाना चाहिए? $i$

मुझे ऐसा लगता है कि यह प्रत्येक लिए असतत एक्शन स्पेस के साथ ऑल -आउट ऑलआउट की भिन्नता है । $i$

game-theory public-goods

— फ्रैंक स्वैंटन
स्रोत

v_{i} \leq c

$v_i\le c$

v_{i} \leq B

$v_i\le B$

B

$B$

अपेक्षित अदायगी को लिखना एक बात है, एक सामाजिक कल्याण समारोह का निर्माण करना एक पूरी तरह से अलग बात है ...

— Herr K.

हां, मैं दोनों से पूछ रहा हूं। पुल की लागत सामान्य ज्ञान है।

— फ्रैंक स्वैंटन

अपेक्षित अदायगी, और एक सममित BNE के लिए मेरा उत्तर देखें। सामाजिक कल्याण समारोह के निर्माण के लिए बहुत अधिक मान्यताओं की आवश्यकता है ( विस्तृत चर्चा के लिए विकिपीडिया देखें )।

— हेरे के।

$b_i\in\{0,B\}$ $i$ $i$ $(b_i,b_{-i})$ $b_{-i}=(b_j)_{j\ne i}$

u_{i} (b_{i}, b_{- i}) = {\begin{cases} v_{i} & if b_{i} = 0 and b_{j} = B for some j \neq i \\ 0 & if b_{i} = 0 and b_{j} = 0 for all j \neq i \\ v_{i} - B & if b_{i} = B \end{cases}

$\begin{equation} u_i(b_i,b_{-i})= \begin{cases} v_i&\text{if $b_i=0$ and $b_j=B$ for some $j\ne i$}\\ 0& \text{if $b_i=0$ and $b_j=0$ for all $j\ne i$}\\ v_i-B&\text{if $b_i=B$} \end{cases} \end{equation}$

$b_i=B$

\begin{matrix} (1) & u_{i} (B, b_{- i}) \geq u_{i} (0, b_{- i}) \Leftrightarrow v_{i} - B \geq (1 - Pr (b_{j} = 0, \forall j \neq i)) v_{i} . \end{matrix}

$\begin{equation} u_i(B,b_{-i})\ge u_i(0,b_{-i}) \quad\Leftrightarrow\quad v_i-B\ge (1-\Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i))v_i.\tag{1} \end{equation}$

चूंकि खेल पूर्व सममित है, हम आगे यह मान सकते हैं कि हर एक थ्रेशोल्ड रणनीति अपनाता है, अर्थात जहां कुछ सामान्य सीमा मूल्य है। फिर, में संभाव्यता को रूप में लिखा जा सकता है जहां अंतिम समानता इस धारणा से प्राप्त की जाती है कि 's iid हैं और । $i$

\begin{matrix} (2) & b_{i} = {\begin{cases} 0 & if v_{i} \leq \bar{v} \\ B & if v_{i} > \bar{v} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{equation} b_i=\begin{cases} 0&\text{if $v_i\le\overline v$}\\ B&\text{if $v_i>\overline v$} \end{cases}\tag{2} \end{equation}$

\bar{v}

$\overline v$

(1)

$(1)$

\begin{matrix} (3) & Pr (b_{j} = 0, \forall j \neq i) = Pr (v_{j} \leq \bar{v}, \forall j \neq i) = (\bar{v})^{n - 1}, \end{matrix}

$\begin{equation} \Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i)=\Pr(v_j\le \overline v,\;\forall j\ne i)=(\overline v)^{n-1},\tag{3} \end{equation}$

v_{j}

$v_j$

v_{j} \sim U [0, 1]

$v_j\sim U[0,1]$

समेकन से , हम कटऑफ वैल्यू लिए हल कर सकते हैं । $(1)$ $(3)$ $\overline v=B^{1/n}$

— हरे के।
स्रोत

हेरे, प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद। जब आप पूर्व-सममित कहते हैं, तो आपका क्या मतलब है? और यह भी, सामान्य तौर पर, जब हम "सममित खेल" या "सममित खेल" जैसे "समरूपता" की धारणा का उपयोग करते हैं, तो उनका वास्तव में क्या मतलब होता है?

— फ्रैंक स्वेंटन

पूर्व की समरूपता इस अर्थ में है कि प्रत्येक ग्रामीण, अपने निजी मूल्य को देखने से पहले, एक ही समस्या (एक ही जानकारी, एक ही पूर्व, एक ही रणनीति स्थान, एक ही भुगतान कार्य, आदि) का सामना करता है। इसलिए की समस्या की समस्या के समान है, सिवाय नाम के परिवर्तन के। इसलिए यह मान लेना कि वे एक ही रणनीति अपनाएगा उचित है पूर्व पूर्व (के रूप में के रूप में परिभाषित )। यदि इस तरह की रणनीतियों की एक प्रोफ़ाइल भी पारस्परिक सर्वोत्तम प्रतिक्रिया होती है, तो हमारे पास एक सममित (बायेसियन) नैश संतुलन है। और अधिक पढ़ें यहाँ ।

i

$i$

j

$j$

(2)

$(2)$

— हेर की।

आपको (1), RHS संभावना में IFF कैसे मिला?

— फ्रैंक स्विंटन

@FrankSwanton: "यदि अन्य लोग 0 का भुगतान करते हैं और आपकी वैल्यूएशन " " तो यह स्थिति संभव नहीं है: यह एक साथ चलने वाला गेम है, और आपको यह देखने को नहीं मिलता है कि दूसरों ने क्या चुना है। एक पेऑफ फ़ंक्शन प्रत्येक संभावित परिणाम के साथ जुड़े भुगतानों का वर्णन करता है , लेकिन आप जो कर रहे हैं वह यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या किया जाना चाहिए एक खिलाड़ी होना चाहिए यदि वह एक इष्टतम तरीके से व्यवहार कर रहा था, संभवतः परिणामों को अनदेखा कर रहा है जो कि उप-रूपी हैं। यह ठीक उसी भ्रम की स्थिति है जिसे मैं समझ रहा था।

\leq B

$≤B$

— ।

@FrankSwanton: ध्यान दें कि (1) मैं अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों को लचीला बनाने की अनुमति देता हूं, अर्थात कुछ भी हो सकता है।

(b_{- i})

$(b_{-i})$

— हेर के।