मात्रा समीकरण का प्रतिशत-परिवर्तन रूप कैसे प्राप्त करें?

Question

मेरी पुस्तक में, मात्रा समीकरण को रूप में प्रस्तुत किया गया है और अगले पृष्ठ पर, लेखक अपना प्रतिशत-परिवर्तन फ़ॉर्म प्रस्तुत करता है: मेरा प्रश्न है: वास्तव में दूसरा समीकरण कहां से आता है? मैंने यह देखने के लिए मूल समीकरण में हेरफेर करने की कोशिश की है कि क्या मुझे प्रतिशत-परिवर्तन फ़ॉर्म मिल सकता है, लेकिन मुझे कहीं भी नहीं मिला। किसी भी तरह की सहायता को आभार समझेंगे। धन्यवाद।% में बदलें M + % में बदलें वी = % में बदलें पी + % में बदलें

$$M\bar{V}=PY$$ $$\% \ \text{Change in}\ M + \% \ \text{Change in}\ V = \% \ \text{Change in}\ P + \% \ \text{Change in}\ Y$$

@edit

मुझे वास्तव में पुस्तक के एक और अध्याय (नीचे देखें) में एक फुटनोट में एक स्पष्टीकरण मिला है, लेकिन अभी भी एक चीज है जो मुझे समझ में नहीं आती है: हम सम्मान के साथ क्या अंतर कर रहे हैं? यदि यह , तो ; यदि यह , तो ; जब तक कि हम वास्तव में कुछ तीसरे चर के संबंध में कर रहे हैं जिनमें से और दोनों कार्य हैं। इस मामले में, वह चर क्या होगा? (मैं इसे गलत भी समझ सकता हूं)। धन्यवाद।d ( P Y ) = P P d ( P Y ) = Y P $Y$$d(PY)=P$$P$$d(PY)=Y$$P$$Y$

यहाँ स्पष्टीकरण (मैनकी मैक्रोइकॉनॉमिक्स 7 वें संस्करण, पृष्ठ 26) है:

यह चाल काम करती है कि प्रमाण पथरी से उत्पाद नियम से शुरू होता है: अब इस समीकरण के दोनों पक्षों को PY द्वारा प्राप्त करने के लिए विभाजित करें: ध्यान दें कि इस समीकरण के सभी तीन शब्द प्रतिशत परिवर्तन हैं।

$$d(PY)=Y \ dP+P \ dY$$ $$d(PY)/PY)=dP/P+dY/Y$$

Comments

d (PY) = Y dP + P dY कुल व्युत्पन्न f (P, Y) = YY की सटीक परिभाषा है।

— dsmithecon

Answer 1

संक्षेप में उत्तर है: समय - सभी चर समय पर निर्भर करते हैं और जिसे आप "एम में% परिवर्तन" कहते हैं, उसे "उच्च दर" कहा जाता है।

सादगी के लिए आइए मात्रा समीकरण के केवल एक सही पक्ष पर विचार करें और इस पक्ष को साथ दान करें :$Z=Y P$

की वृद्धि दर बराबर के साथ की कुल व्युत्पन्न के रूप में समय के संबंध में ।$Z$${dZ\over dt} {1\over Z} = {\dot Z \over Z}$$dZ \over dt$$Z$$t$

चलो लिए उपरोक्त सूत्र के साथ कुछ गणित करते हैं जहां और पर निर्भर करता है जो दोनों फिर से पर निर्भर करते :$Z$$Z$$Y$$P$$t$

${dZ\over dt} {1\over Z}$ =$({dZ \over dY} {dY \over dt}+{dZ \over dP} {dP \over dt}) {1 \over Z }$

${dZ\over dt} {1\over Z}$ =$({dYP \over dY} {dY \over dt}+{dYP \over dP} {dP \over dt}) {1 \over YP }$

${dZ\over dt} {1\over Z}$ =$({P} {dY \over dt}+{Y} {dP \over dt}) {1 \over YP }$

${dZ\over dt} {1\over Z}$ =$({P} {dY \over dt}+{Y} {dP \over dt}) {1 \over YP }$

${dZ\over dt} {1\over Z}$ =${dY \over dt} {1 \over Y} +{dP \over dt} {1 \over P}$

जो कि साथ वृद्धि दर के योग के समान है, जो छोटे मानों के लिए है जो लॉग लेने के लिए काफी करीब है। पहले ही बताया।${\dot Z \over Z}={\dot Y \over Y}+{\dot P \over P}$

यही तर्क यूरोपियन के बाईं ओर लागू होता है।

Answer 2

मुझे लगता है कि लेखक सिर्फ मूल समीकरण के लॉग ले रहा है। प्राकृतिक लॉग छोटे परिवर्तनों के लिए प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान लगाता है। अधिक जानकारी यहाँ । लॉग के उस गुण और गुण का उपयोग करके, , आप उस सूत्र को बनाते हैं।$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Comments

धन्यवाद, आपका जवाब मदद करता है। हालाँकि, मैंने वास्तव में लेखक द्वारा एक अलग स्पष्टीकरण पाया है, लेकिन मैं इसका पालन नहीं कर सकता। यदि यह बहुत ज्यादा परेशानी वाली बात नहीं है, तो क्या आप इतने दयालु होंगे कि मैंने अपने मूल पद में जो सवाल जोड़ा है, उसे साफ कर सकें? बहुत बहुत धन्यवाद।

— सासकी

वह उस उदाहरण में कुल व्युत्पन्न ले रहा है। en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative इसलिए वह P और Y के संबंध में व्युत्पन्न लेता है। इससे आपको पता चल जाता है कि यदि आप P और Y दोनों को बदलते हैं तो एक फ़ंक्शन कितना चलता है। मुझे नहीं लगता कि वह यहाँ क्या कर रहा है। क्योंकि उसे एमवी द्वारा बाईं ओर और PY द्वारा दाएं को कुल व्युत्पन्न प्रतिशत परिवर्तनों में परिवर्तित करने के लिए विभाजित करना होगा। दोनों दृष्टिकोणों के बीच कुछ समानता होनी चाहिए, लेकिन मैं तुरंत इसे नहीं देखता।

— dsmithecon

$f(x,y)$$x$$y$$x$$y$

F (x, y) का कुल व्युत्पन्न x के संबंध में व्युत्पन्न का योग है और y के संबंध में व्युत्पन्न (समय कितना x और y बदल रहा है)। यही वह है जो व्युत्पन्न से कुल व्युत्पन्न को केवल एक तर्क के संबंध में अलग करता है। जब आप इसे करते हैं तो इस बात की कोई धारणा नहीं है कि फ़ंक्शन के चर बहिर्जात या अंतर्जात हैं।

— dsmithecon