सीईएस उत्पादन समारोह कैसे प्राप्त किया गया था?

Question

स्थिरीकरण की निरंतरता उत्पादन समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है:

( विकिपीडिया से लिया गया )

$$ Q = F \ boldsymbol {\ cdot} \ left (a \ boldsymbol {\ cdot} K ^ r + (1-a) \ boldsymbol {\ cdot} L ^ r \ right) ^ {\ _ over {r}} $$

कहा पे:

$ Q = $ आउटपुट की मात्रा

$ एफ = $ कारक उत्पादकता

$ a = $ शेयर पैरामीटर (यानी $ 0 & lt; a & lt; 1 $)

$ K, L = $ मात्रा में उत्पादन कारक

$ r = {\ left (s-1 \ right) \ over {s}} $

$ s = {1 \ over {1-r}} = $ प्रतिस्थापन की लोच

मेरा प्रश्न:

हालांकि यह एक बहुत ही सुंदर सूत्र है, यह कैसे व्युत्पन्न है?

Comments

मैं आपके सवाल से हैरान हूं। "यह कैसे व्युत्पन्न है" से आपका क्या तात्पर्य है?

— denesp

@ अचानक: शायद ओपी यह पूछना चाहता था कि इस कार्यात्मक रूप का प्रस्ताव सबसे पहले किसने किया?

— Herr K.

@HerrK। हमें स्पष्टीकरण की उम्मीद है, क्योंकि यह एक बहुत ही अलग सवाल है।

— denesp

उनका प्रश्न समझ में आता है - वह अपनी परिभाषित स्थिति (यानी प्रतिस्थापन की निरंतर लोच) से कार्यात्मक रूप की व्युत्पत्ति के लिए पूछ रहा है।

— Ben

Answer 1

CES फ़ंक्शन को प्रतिस्थापन की निरंतर लोच की स्थिति से सीधे प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए विभिन्न तरीके हैं, लेकिन सबसे सरल व्युत्पत्ति एक होमोटेटिक उत्पादन फ़ंक्शन के लिए होती है। मान लें कि हम एक होमोटेटिक प्रोडक्शन फंक्शन $ Q = f ^ * (K, L) $ के साथ शुरू करते हैं और हम इसे गहन रूप से फिर से लिखते हैं:

$$ \ start {मैट्रिक्स} q = f (k) & amp; & Amp; q \ equiv Q / L & amp; & Amp; k \ equiv K / L। \ अंत {मैट्रिक्स} $$

इस स्थिति के लिए प्रतिस्थापन $ s $ की लोच को दिखाया जा सकता है:

$$ s = - \ frac {f '(k) (f (k) - kf' (k))} {kf (k) f '' (k)}। $$।

$ R \ equiv (s-1) / s को $ देना और इस समीकरण को फिर से व्यवस्थित करना दूसरे क्रम के अंतर समीकरण देता है:

$$ \ frac {kf (k) f '' (k)} {1-r} + f '(k) (f (k) - kf' (k)) = 0। $$

इस समीकरण में सामान्य समाधान $ q = f (k) = c_0 (1 + c_1 k ^ r) ^ {1 / r} $ है जहां $ c_0 $ और $ c_1 $ स्थिरांक हैं। $ A \ equiv c_1 $ और $ F \ equiv c_0 \ cdot c_1 ^ {1 / r} $ के साथ पैरामीटर और व्यापक रूप प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन:

$$ \ start {समीकरण} \ start {align} Q = Lq = Lf (K / L) & amp; = c_0 L \ left (\ बाएँ (1 + c_1 \ frac {K} {L} \ right) ^ r \ right) ^ {1 / r} \\ & amp; = c_0 \ left (c_1 K ^ r + L ^ r \ right) ^ {1 / r} \\ & amp; = F \ left (a K ^ r + (1-a) L ^ r \ right) ^ {1 / r}। \ end {संरेखित} \ end {समीकरण} $ $

पैरामीटर $ a को उत्पादन में पूंजी की तीव्रता के रूप में व्याख्या किया जा सकता है और पैरामीटर $ F $ को उत्पादन की समग्र दक्षता के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

Comments

क्या आप यह दर्शाते हैं कि आपने लोच को कैसे प्राप्त किया? इसकी शर्म की बात है ODE स्टेटिसिट्स और अर्थशास्त्र के छात्रों के लिए एक आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह पूरी तरह से समझने के जवाब में प्रदर्शित के रूप में काफी आवश्यक लगता है

— FreakconFrank