क्या लिफाफा प्रमेय एक कोने पर हल करता है?

मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित उत्पादन कार्य हैं:

F (L, K) = max_{L_{K}} H (L, L_{K}, K) = max_{L_{K}} [(L - L_{K} + 1)^{α} (L_{K} + K)^{1 - α}] = (L - L_{K}^{*} + 1)^{α} (L_{K}^{*} + K)^{1 - α}

$F(L,K)=\max_{L_K}H(L,L_K,K)=\max_{L_K}\left[(L-L_K+1)^\alpha(L_K+K)^{1-\alpha}\right]=(L-L_K^*+1)^\alpha(L_K^*+K)^{1-\alpha}$

बाधा साथ $L_K\in[0,L]$ ।

हम जानते हैं कि

\frac{d H}{d L_{K}} = α (L - L_{K} + 1)^{- 1} H + (1 - α) (L_{K} + K)^{- 1} H = 0

$\frac {dH}{dL_K}=\alpha(L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$ इसलिए मान का मान है

L_{K}

$L_K$ जिस पर व्युत्पन्न शून्य है

L_{K}^{0} = \frac{(1 - α) (L + 1) + α K}{1 - 2 α}

$L_K^0=\frac {(1-\alpha)(L+1)+\alpha K}{1-2\alpha}$ । और इष्टतम मान

L_{K}^{*}

$L_K^*$ है:

L_{K}^{*} = {\begin{cases} L_{K}^{0} & if & 0 < L_{K} < L & (1) \\ L & if & L < L_{K}^{0} & (2) \\ 0 & if & L_{K}^{0} < 0 & (3) \end{cases}

$L_K^*=\begin{cases} L_K^0 &\text{ if } &0<L_K<L &(1)\\ L&\text { if } &L<L_K^0&(2)\\ 0 &\text { if } &L_K^0<0 &(3) \end{cases}$

यह स्पष्ट है कि यदि $L_K^*\in(0,L)$ , (केस $(1)$ ), तो लिफाफा :

\frac{d}{d L} F (L, K) = \frac{\partial}{\partial L} H (L, L_{K}^{*}, K) = α (L - L_{K}^{*} + 1)^{- 1} \cdot F (L, K)

$\frac d {dL} F(L,K)=\frac \partial {\partial L}H(L,L_K^*,K)=\alpha(L-L_K^*+1)^{-1}\cdot F(L,K)$

इसके अलावा, तीसरे मामले (3) में, यह मेरे लिए भी स्पष्ट है कि लिफाफा प्रमेय धारण करता है। हालांकि, मैं दूसरे मामले (2) के बारे में इतना निश्चित नहीं हूं । मैं कहूंगा कि इस मामले में लिफाफा प्रमेय पकड़ में नहीं आता है , क्योंकि यदि हम प्रतिस्थापित $L_K^*$ करते हैं तो मूल उत्पादन फ़ंक्शन में वापस आते हैं, तो हमें

F (L, K) = 1^{α} (L + K)^{1 - α}

$F(L,K)=1^\alpha(L+K)^{1-\alpha}$ और इस मामले में

संबंध में व्युत्पन्न

L

$L$ है

(1 - α) (L + K)^{- 1} \cdot F (L, K)

$(1-\alpha)(L+K)^{-1}\cdot F(L,K)$

लिफाफा प्रमेय के लिए केस 3 में रखने के लिए, यह $\alpha= (1-\alpha)(L+K)^{-1}$ , जो लगभग हमेशा पकड़ नहीं रखता है।

लेकिन इसका कारण मुझे भ्रमित करता है कि इस प्रश्न में मुझे इस पेपर में भेजा गया था , जिसमें एक प्रमेय है जो बताता है:

तो मेरा सवाल है:

क्या मैं सही हूं कि एक कोने के समाधान पर लिफाफा प्रमेय धारण नहीं करता है? $L_K$
क्या यह प्रमेय का खंडन करता है, या क्या मैं प्रमेय को गलत समझता हूं? यदि नहीं, तो क्या प्रमेय सही है?

microeconomics mathematical-economics

— user56834
स्रोत

सबसे पहले, आपने गणनाओं में एक साइन त्रुटि की। आपकी त्रुटि के लिए सही होने के बाद, एक महत्वपूर्ण परिकल्पना जो आपको याद आती है वह यह है कि , पसंद सेट, प्रमेय में चर (प्रमेय के अंकन के साथ) पर निर्भर नहीं करता है । प्रमेय को ठीक से लागू करने के लिए, अंतराल को पर निर्भर नहीं होना चाहिए । $X$ $t$ $[0,L]$ $L$

ए) साइन त्रुटि

\frac{\partial H}{\partial L_{K}} = - α (L - L_{K} + 1)^{- 1} H + (1 - α) (L_{K} + K)^{- 1} H = 0

$\frac{\partial H}{\partial L_K}=-\alpha (L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$ हम परिभाषित करते हैं ।

L_{K}^{0} = (1 - α) (L + 1) - α K

$L_K^0= (1-\alpha)(L+1)-\alpha K$

बी) हम क्यों सोच सकते हैं कि कवर प्रमेय का परिणाम विफल हो सकता है

यह मानते हुए कि , चार संभावित मामले हैं। $0<\alpha<1$

(1) । एक जाँच कर सकते हैं उद्देश्य समारोह अवतल है, इस प्रकार । $L_K^0\in [0,L]$ $L_K^*=L_K^0$

(2.i) और । फिर । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)< H(L,L,K)$ $L_K^*=0$

(2.ii) और । तब । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)> H(L,L,K)$ $L_K^*=L$

(२.आईआई) (केवल संपूर्ण होने के लिए) और । फिर दो समाधान हैं, और । $L_K^0\notin [0,L]$ $H(L,0,K)= H(L,L,K)$ $0$ $L$

मामले में (1), दाएं हाथ का दूसरा शब्द पहले-क्रम की स्थिति के लिए शून्य धन्यवाद के बराबर है। यह आंतरिक समाधान के लिए कवर प्रमेय के परिणाम के साथ संगत है ।

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, L_{K}^{*}, K) + \frac{\partial L_{K}^{*}}{\partial L} . \frac{\partial H}{\partial L_{K}} (L, L_{K}^{*}, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L^*_K,K)+\frac{\partial L^*_K}{\partial L}.\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L^*_K,K).$

मामले में (२.आई), और इसलिए यह एक कोने समाधान के लिए लिफाफे प्रमेय के परिणाम के साथ संगत है। $F(L,K)=H(L,0,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, 0, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,0,K).$

मामले में (2.ii), और so $F(L,K)=H(L,L,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (L, L_{K} = L, K) + \frac{\partial H}{\partial L_{K}} (L, L_{K} = L, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L_K=L,K)+\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L_K=L,K).$

हमें यहाँ के संकेतन के बारे में सतर्क रहना होगा, अर्थ है, पहले तर्क के अनुसार आंशिक व्युत्पन्न, और से दूसरे पर। दाएं हाथ का दूसरा शब्द नोनज़रो है, जो कि आवरण प्रमेय के परिणाम के साथ फिट नहीं होता है । $\frac{\partial H}{\partial L}$ $\frac{\partial H}{\partial L_K}$

ग) यह वास्तव में असफल क्यों नहीं होता

, के साथ रूप में समस्या लिखें। यह समस्या प्रारंभिक एक के बराबर है। मुख्य अंतर यह है कि अंतराल है पर निर्भर नहीं करता या । यही कारण है कि हम लिफाफा प्रमेय लागू कर सकते हैं, जबकि इसे पहले लागू करना गलत था। $F(L,K)=\max_{x\in [0,1]}H(x,L,K)$

H (x, L, K) = (L - x L + 1)^{α} (x L + K)^{1 - α} .

$H(x,L,K)=(L-x L+1)^\alpha(x L+K)^{1-\alpha}.$

[0, 1]

$[0,1]$

L

$L$

K

$K$

हम जांच सकते हैं कि मामला (2.ii) लिफाफे के प्रमेय के साथ संगत है, हमारे पास और so $F(L,K)=H(x=1,L,K)$

\frac{\partial F}{\partial L} (L, K) = \frac{\partial H}{\partial L} (x = 1, L, K) .

$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(x=1,L,K).$

— GuiWil
स्रोत

क्या इस उत्तर में कोई त्रुटि है?

— गुइविल