अगर हमारा कोई फंक्शन है $$ f (x) = \ max_yg (एक्स, वाई) $$
तब हम यह जानकर व्युत्पन्न $ d / dx \ f (x) $ पा सकते हैं $ $ (1): \ quad \ frac {\ आंशिक} {\ आंशिक y} g (x, y ^ *) = 0 $ $ अधिकतमकरण के लिए पहले आदेश की स्थिति के कारण।
हम इसे $ $ \ frac d {dx} f (x) = \ frac d {dx} g (x, y ^ * * (x)) = \ frac \ आंशिक {\ आंशिक x} g (x) को पहचानकर उपयोग कर सकते हैं , y ^ * *) + \ frac \ आंशिक {\ आंशिक y} g (x, y ^ *) \ frac {डाई ^ * * (x)} {dx} = \ frac \ आंशिक {\ आंशिक x} जी (x, *) y ^ *) $$ जहां $ 1 (1) $ परिणाम के कारण अंतिम समानता है।
हालांकि, मेरा सवाल है, क्या होगा अगर $ y $ केवल मूल्यों की एक असतत संख्या ले सकता है ? जैसे $ 0 $ या $ 1 $? हम निश्चित रूप से कह सकते हैं:
$$ f '(x) = \ {} मामलों शुरू g_x (x, 0) \ quad \ text {if} g (x, 0) & gt; g (x, 1) \\ g_x (x, 1) \ quad \ text {if} g (x, 0) & lt; g (x, 1) \ अंत {मामलों} $$
हालांकि, मैं सोच रहा हूं कि क्या "असतत पसंद सेट के लिए एक प्रकार का लिफाफा प्रमेय" है, जो हमें इसे सरल बनाने की अनुमति देगा (विशेषकर यदि पसंद सेट असतत लेकिन बड़ी है)।