कोब-डगलस उत्पादन समारोह इतना लोकप्रिय क्यों है?

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अपेक्षाकृत नौसिखिया मात्रात्मक विश्लेषक / लागत विश्लेषक के रूप में, Ive को एक से अधिक बार दिए गए संगठनों की उत्पादकता के स्तर का अनुमान लगाने के लिए कहा गया है, और फिर अगले कुछ समय के लिए पूर्वानुमान लगाया गया है। जिस स्थान पर मैं काम करता हूं, वह अपेक्षाकृत छोटा गैर-लाभकारी (लगभग 30 लोग) है, जो कि फूड बैंक दान वितरण और स्वयंसेवक याचना के लिए समर्पित है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि अगर फर्म का आकार इस के साथ कुछ करना है।

अधिकांश समय मुझे विशिष्ट इकाइयों के लिए कहा गया है और प्रतिशत में बदलाव या लोच नहीं है, इसलिए मुझे दो उत्पादन कार्यों में से एक को प्रस्तुत करने के लिए मजबूर किया गया है।

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

फिर भी जब मैं आर्थिक साहित्य पढ़ता हूं तो मुझे हर समय इस्तेमाल होने वाले कोब डगलस (या पत्थर-गेरी की तरह कुछ भिन्नता) दिखाई देते हैं।

मुझे पता है कि यह गणितीय रूप से उत्पादन के एक कारक के लिए बड़े पैमाने पर कम रिटर्न दिखा रहा है, लेकिन मुझे अपने काम की लाइन में इसे देखने में कठिनाई हो रही है। क्या यह वास्तविक वस्तुओं के निर्माण के लिए एक उत्पादन कार्य है?

mathematical-economics production-function

— एकॉनजॉन
स्रोत

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मुझे लगता है कि सीडी प्रोडक्शन फंक्शन की एक अच्छी संपत्ति यह है कि इसके पैरामीटर (इनपुट्स पर एक्सपोज़र) आउटपुट के इनपुट्स पर कब्जा कर लेते हैं, और इस तरह आसानी से कैलिब्रेट किया जा सकता है।

— हेर्र के।

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यही कारण है कि कॉब डगलस के उत्पादन कार्य इस तथ्य से इतने लोकप्रिय हैं कि निम्नलिखित मान्यताओं को संतुष्ट किया जाता है जबकि शेष सांख्यिकीय रूप से ¹ :

कॉब- डगलस प्रोडक्शन फंक्शन फॉर्म को याद करें:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

जहां (यानी उत्पादन का हिस्सा जो पूंजी में जाता है) $0<\alpha <1$

$1)$ सकारात्मक सीमांत उत्पादों:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ कम सीमांत उत्पाद (जैसा कि आपने पहले ही उल्लेख किया है)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ लगातार रिटर्न स्केल (यह इस प्रकार है कि अधिकांश उत्पादन प्रक्रियाएं काम करती हैं)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

किसी भी (उदाहरण के लिए "डबल इनपुट डबल आउटपुट") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

उम्मीद है की यह मदद करेगा!!

_{¹ स्रोत: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
स्रोत

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जैसा कि आप अपने प्रश्न में संकेत देते हैं, सीडी उत्पादन फ़ंक्शन की लोकप्रियता के पीछे वास्तविक अंतर्निहित कारण (मेरी राय में) गणितीय सुविधा है। तथ्य यह है कि योग "रिटर्न टू स्केल" का एक अच्छा, सहज प्रतिनिधित्व है, बहुत सुविधाजनक है। $\alpha + \beta$

मैं इसके उपयोग को गणितीय वित्त में घातांक या बिजली उपयोगिताओं के उपयोग के समान मानता हूं। अवास्तविक? शायद, लेकिन ओह इतना दोस्त के साथ काम करने के लिए।

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ठीक है, मुझे लगता है कि मैंने कई निहित धारणाएँ बनाईं क्योंकि मैं अंतिम उत्तर में आपके कार्यों से उलझन में था, जिसने मेरे उत्तर को बहुत भ्रमित कर दिया। इसलिए मैं इस बार थोड़ा और स्पष्ट होने की कोशिश करता हूं। मैं केवल आपके पहले कार्य पर विचार करूंगा।

अब यदि यह एक उत्पादन कार्य है, तो इनपुट हैं, और आपके पास केवल एक आउटपुट है। अब आपके उत्पादन समारोह में निम्नलिखित गुण हैं: और । इसका तात्पर्य है कि आपके इनपुट एक दूसरे से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं। आप केवल साथ या केवल साथ ही आउटपुट तक पहुंच सकते हैं । इसका कोई मतलब नहीं है अगर आपके इनपुट कैपिटल और लेबर हैं (कम से कम तब तक जब तक कि हमने पूरी तरह से उत्पादन को स्वचालित नहीं कर दिया है जहां आपको उत्पादन प्रक्रिया में कहीं भी मानव की आवश्यकता नहीं है)। क्योंकि अगर दोनों में से कोई भी वास्तविक दुनिया में 0 है, तो आपको कोई आउटपुट नहीं मिलेगा। $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

यह विचार मुझे यह विश्वास दिलाता है कि उत्पादन के आपके मॉडल तरीके, जिसका अर्थ है कि उनमें पहले से ही पूंजी और श्रम का मिश्रण है। उस मामले में आप बस उत्पादन के इन विभिन्न तरीकों पर अनुकूलन करेंगे, और सबसे अच्छा चुनें। लागत अनुपात में उच्चतम । क्योंकि कंपनी के स्तर पर, सीमांत लागत सबसे अधिक संभावना होगी। $x_1$ $\beta_i$

कंपनियों के नजरिए से यह एक उचित मॉडल है। आप केवल उन उत्पादन विधियों के बीच चयन कर सकते हैं, इसलिए यह तथ्य कि आपने पूंजी और श्रम को एक साथ जोड़ा है, आपको चिंता नहीं है। आप फ़ंक्शन को ऑप्टिमाइज़ करते हैं और निर्धारित लागतों के साथ उत्पादन का सबसे अच्छा तरीका चुनते हैं। (प्रकल्पित) सरलीकरण है, कि आप इस बात पर विचार नहीं करते कि उत्पादन विधि के भीतर विस्तार या उत्पादन सीमांत लागत को कैसे बदलता है।

(यदि विस्तार आर्थिक पैमाने पर होगा, तो आप उनमें से अधिक को रोजगार देकर श्रमिकों के वेतन में वृद्धि करेंगे, जो आपके लिए कुछ हद तक परिणाम होगा और अधिक पूंजी भारी उत्पादन पद्धति को उठाएगा)

एक अर्थशास्त्री इसे एक अलग कोण से संपर्क करते हैं: वे पूंजी / श्रम अनुपात में रुचि रखते हैं न कि उत्पादन की विशिष्ट विधि में। वे एक ऐसा कार्य चाहते हैं जो पूंजी और श्रम को इनपुट के रूप में लेता है, उस इनपुट को दिए गए उत्पादन की सबसे अच्छी विधि का चयन करता है, और एक आउटपुट देता है। उनकी धारणा यह है, कि इस पैमाने पर उत्पादन के इतने अलग-अलग तरीके हैं, कि आप उन पर ब्रश कर सकते हैं और मूल रूप से कैपिटल और लेबर में एक निरंतर कार्य कर सकते हैं।

वे एक मॉडल चाहते हैं, जिसमें संपत्ति जो कोब-डगलस फ़ंक्शन प्रदान करता है। $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

आप मूल रूप से द्रव सिमुलेशन के साथ कण अनुकरण की तुलना कर रहे हैं। एक एकल जल अणु के मॉडल के समीकरण पानी की एक धारा के मॉडलिंग से अलग होंगे। और ऐसा लग सकता है कि किसी को दूसरे के साथ करने के लिए कुछ भी नहीं है।

दूसरी संभावना जिसके बारे में मैंने सोचा था, यह था कि यह फ़ंक्शन वास्तव में आउटपुट के उत्पादन का एक लागत कार्य है लेकिन फिर आपके पास परिभाषा के अनुसार की निश्चित सीमांत लागत है । जो फिर से, एक धारणा है जो सूक्ष्म स्तर पर बनाने के लिए उचित है लेकिन मैक्रो स्तर पर नहीं। $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— फेलिक्स बी।
स्रोत

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यह कुछ अजीब है कि "कॉब-डगलस" आपके उत्तर में कहीं भी दिखाई नहीं देता है।

— गिस्कार्ड

कॉब-डगलस कुल उत्पादन को इनपुट और मॉडलिंग के रूप में एकत्रित आउटपुट को मॉडल करने के लिए एक फ़ंक्शन है और उत्पादन पर पूंजी / श्रम के हिस्से को बदलने का प्रभाव है। (पूंजी में उत्पादकता में मामूली उत्पादकता में बदलाव) मैं इस बारे में बात करता हूं कि कैसे एक इकाई के उत्पादन के लिए अनुकूलन के बाद उन शेयर विचार को त्याग दिया जा सकता है क्योंकि सीमांत लागत को छोटी कंपनियों के लिए निरंतर के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

— फेलिक्स बी।

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कॉब-डगलस उत्पादन समारोह इतना लोकप्रिय है, केवल इसलिए कि यह बहुत कम कार्यों में से एक है जिसके लिए आप स्पष्ट रूप से इनपुट मांग (और आउटपुट आपूर्ति) कार्यों की गणना कर सकते हैं। कॉब-डगलस उत्पादन फ़ंक्शन का उपयोग आमतौर पर स्नातक स्तर (व्याख्यान, परीक्षा और अभ्यास) में किया जाता है क्योंकि हम पहले क्रम की स्थिति की प्रणाली को हल कर सकते हैं। हालांकि, यह कार्यात्मक रूप बहुत ही प्रतिबंधात्मक है, और इसकी वैधता अनुभवजन्य रूप से खारिज कर दी गई है। ताकि मास्टर स्तरों पर, हम उत्पादन कार्य के लिए अप्रतिबंधित रूपों का उपयोग करके माइक्रोइकोनोमिक सिद्धांत को पुनर्स्थापित करते हैं (उदाहरण के लिए मैस कोल एट अल। पाठ्यपुस्तक देखें), और व्युत्पन्न तुलनात्मक स्थिर परिणामों के लिए या तो इनसाइट फ़ंक्शन प्रमेय या द्वंद्व सिद्धांत का उपयोग करें।

— बर्ट्रेंड
स्रोत