एकाधिकार सिर्फ एक गणितीय गलतफहमी है

थोड़ा सिर-खरोंच करने वाला (और एक अच्छा उदाहरण है कि हमें क्यों ध्यान देना चाहिए)।

एकाधिकार को अधिकतम करने वाले लाभ पर विचार करें, जो मूल्य से अधिक हो

\begin{matrix} (1) & max π = P Q (P) - C (Q (P)) \end{matrix}

$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$

नियमित चरणों का पालन करें ( यह पोस्ट देखें )

हम इस महत्वपूर्ण परिणाम पर पहुँचे कि, लाभ अधिकतम मूल्य पर, मांग की कीमत लोच से अधिक पूर्ण शब्दों में, या बीजीय शब्दों में से कम होनी चाहिए । हमारे पास अधिकतम लाभ-मूल्य है $1$ $-1$

η^{*} = \frac{\partial Q}{\partial P} \cdot \frac{P}{Q} < - 1 \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial P} P < - Q

$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial P} P + Q < 0 \end{matrix}

$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$

लेकिन और , कुल राजस्व का व्युत्पन्न है । इसलिए , सीमांत राजस्व और हमने अभी प्राप्त किया है कि लाभ अधिकतम मूल्य पर और पूर्णता में से अधिक लोच रखने के लिए , हमारे पास होना चाहिए । $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ $PQ(P)$ $PQ(P) = TR$ $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ $1$ $MR^* <0$

लेकिन अब हम यह भी जानते हैं कि अधिकतम लाभ बिंदु पर हमारे पास । $MR^*=MC^*>0$

तो एक समाधान मौजूद नहीं है, और इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एकाधिकार केवल एक गणितीय गलतफहमी है।

अब, मैं इस मुस्कुराहट पोस्ट को लिखने के लिए मुसीबत (?) में चला गया, मुझे आशा है कि कोई व्यक्ति दर्जनों सेकंड में एक स्पष्ट उत्तर लिखने के लिए आवश्यक हो जाएगा, जहां यह चाल झूठ है।

monopoly profit-maximization

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

@AlecosPapadopoulos, मेरी असंबंधित टिप्पणी का बहाना करता है, लेकिन यह प्रश्न कुछ घंटों में 220+ बार कैसे देखा जा सकता है?

— लंदन

@ लंदन अपने शीर्षक के कारण।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ लंदन और फिर, वहाँ "गर्म सवाल" त्वरित प्रभाव है। यह वर्तमान में गणित से साइट पर गर्म सवालों के साइडबार में है।

— एलेकोस पापाडोपोलस

क्या मैं सही ढंग से समझता हूं कि आप जानबूझकर ट्रिक सवाल पोस्ट कर रहे हैं?

— 410

@EnergyNumbers हाँ, यह एक ट्रिकी प्रश्न था, जैसा कि पोस्ट के अंतिम वाक्य में लिखा गया है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

जवाबों:

$PQ(P)=TR$ , कुल राजस्व।

$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ के व्युत्पन्न है के संबंध में । $PQ(P)$ $P$

$MR$ , सीमांत राजस्व, संबंध में का व्युत्पन्न है । $TR$ $Q$

तो सामान्य रूप से $\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

— एडम बेली
स्रोत

यह सही "कुछ-दर्जन-सेकंड-जैसा-अनुरोध" उत्तर है!

— एलेकोस पापाडोपोलस

@AlecosPapadopoulos धन्यवाद (मुख्य रूप से सही समय पर लॉग इन करने के लिए मेरा भाग्य)।

— एडम बैली

@AdamBailey टू-द-पॉइंट उत्तर को पूरक करने के लिए, इस पोस्ट का उद्देश्य इच्छुक पाठकों को हमारी सोच में निर्णय-चर को बदलने के परिणामों के प्रति सचेत करना था।

हम डिमांड के बारे में सोचने के आदी हैं कि "कीमत के आधार पर कीमत" या "कीमत के आधार पर मात्रा"। लेकिन उत्पादन-लागत पक्ष पर, हम स्वचालित रूप से कीमत के आधार पर कीमत के बारे में सोचते हैं, न कि बिक्री मूल्य पर।

इसलिए, संकेतन के साथ थोड़ा स्पष्ट रूप से स्पष्ट होने के नाते भुगतान बंद हो जाता है (गतिशील अनुकूलन पर लोगों से पूछें, जैसे कि कपुटो की पुस्तक )। विशिष्ट उदाहरण में, प्रतीकों , , , निर्णय चर को प्रकट नहीं करते हैं, और यह वह जगह है जहाँ रज़ आधारित था। लेकिन अगर, हमने लिखा $TR$ $MR$ $MC$

max π = T R [Q (P)] - C [Q (P)]

$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$

हम स्पष्ट रूप से संकेत देंगे कि हमारा अंतिम निर्णय चर मूल्य है, और इसलिए

f . o . c : M R (Q) \cdot \frac{\partial Q}{\partial P} - M C (Q) \frac{\partial Q}{\partial P} = 0

$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$

⟹ (M R (Q) - M C (Q)) \cdot \frac{\partial Q}{\partial P} = 0 ⟹ M R (Q) = M C (Q)

$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$

जबकि हम यह भी स्पष्ट रूप से देखेंगे

\frac{\partial T R}{\partial P} = M R (Q) \cdot \frac{\partial Q}{\partial P} = \frac{\partial Q}{\partial P} Q + Q

$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$

और इतना है कि मांग की कीमत लोच पर आवश्यकता होती है

\frac{\partial T R}{\partial P} = M R (P) = Q \frac{\partial Q}{\partial P} Q + Q < 0 ⟹ M R (Q) \cdot \frac{\partial Q}{\partial P} < 0 ⟹ M R (Q) > 0

$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$

(चूंकि )। तो इष्टतम बिंदु पर, मात्रा के संबंध में सीमांत राजस्व सकारात्मक होना चाहिए, लेकिन कीमत के संबंध में सीमांत राजस्व नकारात्मक होना चाहिए। $\frac {\partial Q}{\partial P} <0$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

मुझे इस तरह के मुश्किल सवाल और / या छोटी पहेलियां पसंद हैं। हो सकता है कि हमें हर बार कुछ इस तरह से सोचना चाहिए। कम बाउंड के साथ कितनी तेजी से हो सकता है, ताकि हर एक सोच सके, जबकि पोस्ट में अभी भी कोई जवाब नहीं है।

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

@Anoldmaninthesea। यदि आप पहेलियों को पसंद करते हैं, तो इस पोस्ट पर मेरे उत्तर की जांच करें। math.stackexchange.com/q/490851/87400 मुझे कहना है कि मुझे वास्तव में इस पर गर्व है।

— एलेकोस पापादोपोलोस

कैपिटो की किताब से आप क्या समझते हैं? क्या आप इसकी सिफारिश करते हैं?

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

@Anoldmaninthesea। पूर्ण रूप से। यह शुरुआत में आपको पागल कर सकता है, इसके सभी पागलपनपूर्ण संकेतन और इसके बारे में विस्तार से लिखने के लिए हर रिश्ते के सभी तर्कों को विभिन्न संबंधों में मौजूद है, लेकिन अगर आप इससे परिचित हैं, तो आप महसूस करेंगे कि यह कैसे स्पष्ट रूप से सब कुछ समझने में मदद करता है । मैं वास्तव में इस पुस्तक के कारण पहली बार हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण को समझ पाया।

— एलेकोस पापाडोपोलस

अब, मुझे इसे अवश्य पढ़ना चाहिए। =)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।