उत्पादन संभावना फ्रंटियर की गणितीय व्युत्पत्ति

Question

उत्पादन की संभावना के गणितीय मूल बातें क्या हैं? मैं इसे कैसे व्युत्पन्न कर सकता हूं? क्या मेरे पास इसके लिए कोई उदाहरण हो सकता है?

Answer 1

सवाल व्यापक है, लेकिन मेरा मानना ​​है कि इस अवधारणा को परिभाषित करने वाले साहित्य में काफी समानता है। निम्नलिखित को पारेटो दक्षता पर विकिपीडिया से अनुकूलित किया गया है , जो उत्पादन संभावनाएं फ्रंटियर का गणितीय आधार है ।

वहाँ बेहतर परिभाषाएँ हो सकती हैं, लेकिन इस मामले में शायद बहुत काम करना चाहिए:

उत्पादन की संभावनाएं फ्रंटियर , , अधिक औपचारिक रूप से इस प्रकार के रूप में वर्णित किया जा सकता है। फ़ंक्शन f के साथ एक सिस्टम पर विचार करें : R n → R m , जहां X , मैट्रिक स्पेस R में व्यवहार्य निर्णयों (समय और बंदोबस्ती माल के आवंटन सहित) का एक कॉम्पैक्ट स्थान है।$P(Y)$$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$X$, और Y मानदंड वैक्टर का व्यवहार्य सेट है (कहते हैं, अंतिम माल और सेवाओं) में आर मीटर , ऐसी है कि वाई = { y ∈ आर मीटर$\mathbb{R}^n$$Y$$\mathbb{R}^m$ ।$Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}$

हम मान लेते हैं कि मानदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं ताकि में किसी भी अच्छे का अधिक बेहतर हो। एक बिंदु y ' ' ∈ आर मीटर सख्ती से एक अन्य बिंदु पर हावी y ' ∈ आर मीटर , के रूप में लिखा y ' ' > y ' का मतलब है कि प्रत्येक तत्व सूचकांक के लिए मैं , y " मैं ≥ y ' मैं और वहाँ कम से कम एक तत्व है $Y$$y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m$$y^{\prime} \in \mathbb{R}^m$$y^{\prime\prime} > y^{\prime}$$i$$y''_i \geq y'_i$$j$ ऐसी है कि $y_j'' > y_j'$। पेरेटो सीमांत को इस प्रकार लिखा गया है:

$P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} > y^\prime, y^{\prime\prime} \neq y^\prime \; \} = \emptyset \}.$

Answer 2

ध्यान दें कि पीपीएफ के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति को खोजना हमेशा संभव नहीं होता है।

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एक संदर्भ जहां आमतौर पर PPF पाया जाता है वह 2x2 मॉडल में होता है, जहां दो सेक्टर या सामान ( और y ) और उत्पादन के दो कारक ( K और L ) होते हैं। पीपीएफ का आकार सापेक्ष तीव्रता पर निर्भर करता है जिसमें प्रत्येक क्षेत्र / अच्छा उन कारकों का उपयोग करता है।$x$$y$$K$$L$

उदाहरण के लिए, मान लें कि प्रत्येक क्षेत्र में CRS उत्पादन फ़ंक्शन F j है$j$अलग-अलग तकनीकी मानकों के साथ K j , L j ) है । आइए हम उत्पादन के कारकों, क्षेत्रों में संपूर्ण कारक गतिशीलता और प्रतिस्पर्धी बाजारों की एक निश्चित बंदोबस्ती भी मानें, जैसे कि उत्पादन के कारकों का भुगतान स्वतंत्र रूप से क्षेत्रों में कारकों को आवंटित करने के लिए समायोजित करें। इसके अलावा, निर्धारित वस्तुओं की कीमत मान लें, जैसे कि अर्थव्यवस्था छोटी है और अंतर्राष्ट्रीय बाजारों के लिए खुली है।$F_j(K_j,L_j)$

रिश्तेदार कारक कीमतों के दिए गए सेट के लिए, , दोनों क्षेत्रों के लिए सामान्य, प्रत्येक क्षेत्र में इष्टतम रिश्तेदार कारक द्वारा दिए गए हैं:$r/w$

$$\dfrac{\frac{\partial F_x}{\partial K_x}}{\frac{\partial F_x}{\partial L_x}} = \frac{r}{w} = \dfrac{\frac{\partial F_y}{\partial K_y}}{\frac{\partial F_y}{\partial L_y}}$$

ऊपर का पहला अंश इसका एक कार्य है , जबकि अंतिम अंश का एक कार्य है$\frac{K_x}{L_x}$ । चूँकि परिभाषाLx+Ly=LऔरKx+Ky=K के साथ, हमारे पास चार अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली है। इसका मतलब है कि हम सिस्टम को दो अज्ञात के साथ एक समीकरण में घटा सकते हैं। क्या यह समीकरण दूसरे के संदर्भ में चर के लिए एक बंद फॉर्म समाधान देता है (उदाहरणLx=f(K$\frac{K_y}{L_y}$$L_x+L_y=L$$K_x+K_y=K$$L_x=f(K_x$ ) के कार्यात्मक रूप पर निर्भर करता है । जाहिर है, यह केवल कोब जैसे तुच्छ उत्पादन कार्यों के मामले में संभव है। -दोग्लास या लेओंटिफ़ (पूर्व के उदाहरण के लिए, देखें$F_j$यहाँ )।

मान लें कि हम ऐसे समीकरण ) पा सकते हैं , तो PPF के बीजगणितीय समाधान तुरंत अनुसरण करता है। इसका कारण यह है कि आप सिर्फ एक के सभी चार बंदोबस्ती चर पाप शर्तों को कम कर दिया (उदाहरण के लिए, कश्मीर एक्स )। इसलिए, पीपीएफ खोजने के लिए आप का मूल्यांकन कर सकते एफ एक्स और एफ y के हर संभव मूल्य के लिए कश्मीर एक्स , और नक्शे आकर्षित। वैकल्पिक रूप से, आप सजातीय समीकरण को हल कर सकते हैं एक्स - एफ एक्स ( कश्मीर एक्स ) = 0 के लिए कश्मीर x के एक समारोह के रूप में$L_x=f(K_x$$K_x$$F_x$$F_y$$K_x$$x-F_x(K_x)=0$$K_x$ , और फिर इस की जगह कश्मीर * > 0 )। फिर से ध्यान दें कि उपरोक्त सजातीय समीकरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। एक उदाहरण के लिए जहां यह संभव है, ऊपर लिंक देखें। पीपीएफ की तरह लग सकता है:$x$मेंएफyहै, जहां आप पाने सेy=च(एक्स), मन में होने चर अंतरिक्ष पर प्रतिबंध (यानीएक्स,$K_x^*(x)$$F_y$$y=f(x)$$x,y>0$

मॉडल को बंद करने के लिए, जिस तरह से वास्तविक संतुलन पाया जाता है, वह अंतरराष्ट्रीय कीमतों पर निर्भर करता है, जहां एमआरएस पीपीएफ के लिए स्पर्शरेखा है। वैकल्पिक रूप से, एक बंद अर्थव्यवस्था में, उपभोक्ता वरीयताओं का समाहार एमआरएस प्रदान करता है।

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PPF और पारेतो इष्टतमता के बीच संबंध के बारे में @jmbejara टिप्पणी करने के लिए, ध्यान दें कि MRTS रिश्तेदार कारक कीमतों के बराबर है कि उत्पादन के संदर्भ में वास्तव में परेतो इष्टतमता की परिभाषा है। हम इसे एज्यूवर्थ बॉक्स में देख सकते हैं। मानक उत्पादन कार्यों के लिए, प्रत्येक अच्छे के लिए isoquants { K , L में उत्तल कार्य हैं$\{K,L\}$

उपरोक्त उदाहरण स्पष्ट रूप से अक्षम है, क्योंकि रिश्तेदार मजदूरी तब तक समायोजित कर सकते हैं जब तक कि एमआरटीएस सामानों में समान न हो। वास्तव में, इष्टतम आवंटन है:

Answer 3

$Q=c(x,y)$$y=f(x)$

$$dQ=MC_x dx + MC_y { \frac{dy}{dx}} dx$$ $dQ=0$ $$\frac{dy}{dx} =- \frac{MC_x}{MC_y}$$

विवरण यहाँ हैं ।

Comments

इस उत्तर में संकेतन बहुत भ्रमित करने वाला है। यह लागत समारोह और सीमांत लागत की धारणा की सामान्य अवधारणा को लागू करता है और उन्हें पूरी तरह से अलग उद्देश्यों के लिए उपयोग करता है।

— गिस्कार्ड

यह आपके स्वयं के प्रश्न का उत्तर भी नहीं देता है: "मैं इसे कैसे व्युत्पन्न कर सकता हूं? [पीपीएफ]" आप जवाब देते हैं: "फिर उत्पादन साधनों (उदाहरण के लिए श्रम और पूंजी) की एक निश्चित मात्रा मानकर पीपीएफ प्राप्त किया जा सकता है।"

— जिस्कार्ड

यदि आपका इच्छित प्रश्न 'पीपीएफ को देखते हुए मैं इसका व्युत्पन्न कैसे पा सकता हूं' यह अच्छी तरह से स्पष्ट नहीं था।

— गिस्कार्ड

पीपीएफ एक अर्थव्यवस्था की सीमा है जो विभिन्न संसाधनों का उत्पादन करने के लिए अपने सभी संसाधनों का उपयोग करती है। @ अचानक कृपया इसका अंग्रेजी व्याकरण के बारे में जवाब संपादित करें।

— हुसैन