एआर (1) मॉडल में गुणांक का हस्तक्षेप

Question

एक एआर (1) प्रक्रिया इस प्रकार है:

$$x_t=\rho_0+\rho_{t-1}x_{t-1}+\epsilon_t$$

यह प्रतिगमन हमें बताता है कि समय t - 1 पर $x_{t}$ इसके मूल्य का एक कार्य है ।$t-1$

मेरा सवाल है, आप इसकी गुणांक व्याख्या कैसे करते हैं $\rho_{t-1}$? एक श्रम अर्थशास्त्र उदाहरण (जहां केवल क्रॉस सेक्शनल डेटा का उपयोग किया जाता है) की तुलना में ऐसे मामले के लिए जहां आप मजदूरी पर शिक्षा प्राप्त करते हैं।

$$y_{wage}=\beta_0+\beta_{1} x_{educ}+u$$ अगर मैं करने के लिए सम्मान के साथ इस प्रतिगमन की आंशिक तय लग रही थी $x_{educ}$ मैं व्याख्या कर सकते हैं $\beta_1$ सीमांत रिटर्न शिक्षा से मजदूरी के रूप में।

एआर (1) प्रक्रिया में, पहले के समान चरणों का पालन करते हुए, मुझे यकीन नहीं है कि गुणांक व्याख्या कैसे करें $\rho_{t-1}$।

इसका अर्थ क्या है?

Answer 1

दूसरे क्रम वाली स्थिर श्रृंखला के लिए यह निर्भर मूल्य और इसके अंतराल के बीच सहसंबंध गुणांक है। Y t + 1 = a + β y t + u t + 1 निर्दिष्ट करें

$$y_{t+1} = a+ \beta y_t + u_{t+1}\qquad u_{t+1}= \text{white noise}$$

और y t के बीच सहसंबंध गुणांक को हमेशा की तरह परिभाषित किया गया है$y_{t+1}$$y_{t}$

$$\rho_{(1)} = \frac{\text{Cov}(y_{t+1},y_{t})}{\sigma(y_{t+1})\sigma(y_t)}$$

$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = E(y_{t+1}y_{t}) - E(y_{t+1})E(y_{t})$$

$$= E\Big((a+\beta y_t+u_{t+1})y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t}) = aE(y_t)+\beta E\Big(y_t^2+u_{t+1}y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t})$$

हमारे पास । इसके अलावा, प्रथम-क्रम स्थिरता के तहत हमारे पास E ( y t ) = E ( y t + 1 ) = $E(u_{t+1}y_{t}) =0$$E(y_t)=E(y_{t+1}) = \frac{a}{1-\beta}$

इनका उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta E(y_t^2) - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$

परिभाषा के अनुसार विचरण होता है

$$\text{Var}(y_t) = E(y_t^2) - [E(y_t)]^2 = E(y_t^2) -\frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$

$$\implies E(y_t^2) = \text{Var}(y_t) + \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$

स्थानापन्न,

$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta \text{Var}(y_t) + \beta \frac{a^2}{(1-\beta)^2} - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$

चीजें रद्द हो जाती हैं और हम साथ रह जाते हैं

$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \beta\text{Var}(y_t)$$

$\text{Var}(y_t) = \text{Var}(y_{t+1}) = \text{Var}(y)$

सहसंबंध गुणांक में यह सब वापस सम्मिलित करना

$$\rho_{(1)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\sigma(y)\sigma(y)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\text{Var}(y)} = \beta.$$

$a$$a=0$

Comments

इसलिए। यह वही है जो मैंने गणित के बिना कहा था। मुझे यह जानकर खुशी हुई कि मैं सही रास्ते पर था। हमेशा की तरह ... अच्छा जवाब।

— 123

@ 123 धन्यवाद। दरअसल यह शब्दों के पीछे का गणित है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 2

मुझे लगता है कि अगर हम दूसरे क्रम की स्थिरता को मानते हैं तो यहाँ व्याख्या सहसंबंध में से एक है। यही है, आपके उदाहरण में गुणांक केवल आपके आश्रित चर के एक समकालीन मूल्य और इसके एक-अवधि अंतराल के बीच सहसंबंध है।

Comments

Isnt सहसंबंध द्वारा दर्शाया गया$\rho=\frac{cov(x_t,x_{t-1})}{\sigma_{x_t} \sigma_{x_{t-1}}}$$\beta_1=\frac{cov(x_t,x_{t-1})}{\sigma_{x_t}}$

अपने उदाहरण में, $\beta_1 = COV(x_t,x_{t-1})/VAR(x_{t-1})$$x$$VAR(x_{t-1}) = SD(x_{t-1})SD(x_{t})$

@ टोबियास मुझे नहीं पता था, क्या आप मुझे एक ट्यूटोरियल / पीडीएफ लिंक कर सकते हैं जो इस पर चर्चा करता है?

— EconJohn

@EconJohn यह केवल स्टेशनरी की परिभाषा है, ऊपर दिए गए उत्तर को देखें।

— तोबियों

Answer 3

आप एआर (1) मॉडल में गुणांक के बारे में सोच सकते हैं क्योंकि आप प्रक्रिया की गतिशीलता के बारे में कुछ बता रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि मॉडल वेतन वृद्धि का है, तो एक गुणांक> 0 बताता है कि कल उच्च मजदूरी आज उच्च मजदूरी के साथ जुड़ी हुई है। यदि गुणांक <1 है, तो कल की मजदूरी वृद्धि (यानी एक स्थिर प्रक्रिया) से पूर्ण पास-थ्रू नहीं है जबकि अगर यह> 1 था, तो आपके पास एक गैर-स्थिर प्रक्रिया है जहां मजदूरी में वृद्धि तेज हो रही है। वेतन वृद्धि या मुद्रास्फीति के मामले में यह हाइपरइन्फ्लेशन का संकेत हो सकता है।