कैसे एक रेखीय दूरंदेशी का समाधान करने के लिए समीकरण

Question

एक लीनियर फ़ॉरवर्ड- समीकरण को कैसे हल करता है, जहां और निरंतर , ?लिम टी → ∞ एक्स टी = 0 कश्मीर , बीटा ∈ आर 0 < बीटा < $x_t = \beta E_t[x_{t+1}] + k$$\lim_{t \to \infty} x_t = 0$$k,\beta \in \mathbb{R}$$0<\beta <1$

Answer 1

(मुझे लगता है कि है, जहां मैं टी सूचना सेट है, यानी ई टी [ एक्स टी + 1 ] के रूप में "यादृच्छिक की उम्मीद मूल्य में अनुवाद किया है चर एक्स टी + 1 समय उपलब्ध सूचना पर सशर्त टी ")। $E_t[x_{t+1}] = E(x_{t+1}\mid I_t)$$I_t$$E_t[x_{t+1}]$$x_{t+1}$$t$

@FooBar जवाब ने "मानक समाधान एल्गोरिथ्म" को लागू किया, एक निरंतर समाधान पर पहुंचा, और टिप्पणी की कि इस तरह का समाधान सीमित स्थिति का उल्लंघन करता है।
सख्ती से बोलना, एक निरंतर समाधान सीमित समाधान को भी संतुष्ट करेगा, अगर यह शून्य के बराबर था (जो हमारे मामले में अर्थ है ): यदि वास्तव में हमारे पास समाधान के रूप में था$k=0$

तब

$$x_t = \frac k{1-\beta}$$

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\frac k{1-\beta} = \frac k{1-\beta} \neq 0$$

सिवाय अगर । लेकिन यह तुच्छ है (या कम से कम, निर्बाध)।$k=0$

इसलिए मैं पूछता हूँ, यदि , क्या यह एक समाधान प्राप्त करने के लिए ले जाएगा$k\neq 0$ ? विकास का नियम भी सीमा पर होना चाहिए

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\Big[\beta E_t[x_{t+1}] + k\Big]=0$$

$$\Rightarrow \lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = -\frac k{\beta} \tag{1}$$

शब्दों में, जैसा कि यादृच्छिक चर शून्य पर जाता है, पिछली अवधि में उपलब्ध जानकारी पर इसका अपेक्षित मूल्य सशर्त, गैर-शून्य स्थिर के बराबर होना चाहिए , जबकि चर स्वयं शून्य में जाता है। कुछ मामलों पर विचार करें, यह देखने के लिए कि क्या और कब ऐसा हो सकता है:

ए) यदि पूरी तरह से अप्राप्य था , (प्रत्यक्ष रूप से नहीं देखा गया, और अन्य चर के अप्रत्यक्ष आकलन के लिए उत्तरदायी नहीं है)? ऐसे मामले में, सूचना सेट में x t पर कोई जानकारी नहीं होगी , जिसका अर्थ है कि सशर्त अपेक्षित मूल्य बिना शर्त के बराबर होगा। तो हम होगा,$x_t$$x_t$

$$\lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = \lim_{t \to \infty}E[x_{t+1}] \tag{2}$$

यह अर्थशास्त्र है, जिसका अर्थ है कि गणितीय संस्थाओं के गुणों को ध्यान में रखना चाहिए कि वे वास्तविक दुनिया में क्या प्रतिनिधित्व करते हैं। तो यह बेमानी होगी नहीं माना कि है नहीं घिरा (अधिक से अधिक, इसका मतलब यह होगा कि एक्स यादृच्छिक चर परिमित समय में अनंत को जाता है और उसके बाद अनंत समय में -और के लिए शून्य के लिए करते हैं करने के लिए "वापस आता है" जो लोग सोच सकते हैं "हाइपरफ्लिनेशन", अनन्तता की तुलना में हाइपरफ्लेनेशन बहुत कम संख्या है)। यदि यह बाउंडेड है तो डोमिनेटेड / बाउंड कन्वर्जेंस प्रमेय रखती है और हमारे पास वह है$x_{t+1}$$x$

$$\lim_{t \to \infty}E\left(x_{t+1}\right) =E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\right) =0 \neq -\frac k{\beta} \tag{3}$$

तो यह ऐसा मामला नहीं है जिसमें हम आवश्यक संबंध प्राप्त कर सकते हैं ।$(1)$

बी) सीमित स्थिति परिमित लिए सूचना सेट का हिस्सा है । फिर तुरंत $t$

$$E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\mid I_t\right) =0$$

शब्दों में, किसी भी समय हम जानते हैं कि चर अंततः शून्य हो जाएगा। क्या यह संबंध साथ संगत हो सकता है ? हम फिर से एक्स टी की सीमा को लागू कर सकते हैं , और डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेय का एक सामान्यीकरण, क्योंकि यहां (सशर्त संभावना) उपाय भी समय-भिन्न है, और फिर से सीमा पर एक शून्य अपेक्षा प्राप्त करते हैं। लेकिन सहज रूप से यह भी, अगर हम जानते हैं कि अंततः चर शून्य हो जाएगा, कुछ समय में यह ई टी में परिलक्षित होना चाहिए , सबसे निश्चित रूप से सीमा पर। लेकिन फिर, आवश्यक संबंध ( 1 ) धारण नहीं करेगा।$(1)$$x_t$$E_t$$(1)$

ग) हम चर के पूर्ण या अपूर्ण रूप से मान का निरीक्षण करते हैं, लेकिन "हम उचित सूचना नहीं देते हैं": हमारी अपेक्षाएं तर्कसंगत नहीं हैं । उस मामले में, प्रतीक नहीं रह गया है सशर्त उम्मीदों ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है , लेकिन यह "समय में प्रत्याशा के लिए सिर्फ एक सामान्य प्रतीक है टी " (अनुकूली लर्निंग साहित्य में यह आम तौर पर का प्रतीक है ई * टी ) और यह मूल्य प्राप्त कर लेता है इसे धारण करने की सीमित स्थिति के लिए अधिग्रहण करने की आवश्यकता है । दूसरे शब्दों में, यह देखते हुए विकास के कानून और सीमित हालत, हम निष्कर्ष निकाल$E_t$ $t$$E^*_t$यह अपेक्षाएँ तर्कसंगत अपेक्षाओं की परिकल्पना का पालन नहीं करना चाहिए, सीमा पर भी नहीं ।

इस तरह के एक मामले में, एक समाधान स्पष्ट है: परिभाषित

$$E^*_t(x_{t+1}) = -\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}$$

कुछ निरंतर , यह अपेक्षाएं गठन नियम ( 1 ) को संतुष्ट करती हैं , और गति के नियम को बदल देती हैं$c$$(1)$

$$x_t = \beta \Big[-\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}\Big] + k = ck\beta^t$$

जो बदले में सीमित स्थिति को संतुष्ट करता है।

तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि: विशिष्ट समीकरण, विशिष्ट सीमित स्थिति के साथ, एक समाधान है यदि अपेक्षाओं का गठन तर्कसंगत अपेक्षाओं की परिकल्पना का पालन नहीं करता है, लेकिन इसके बजाय उपरोक्त नियम का पालन करता है, या कुछ अन्य समान प्रभाव सीमित करता है।

Answer 2

जैसा कि फूबर कहता है, आप उम्मीद को छोड़ सकते हैं। फिर सामान्य निकाले जाते हैं के लिए मई के मामले एक्स टी के मामले में एक्स टी + $n$$x_{t}$$x_{t+n}$

$$x_{t}=\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}.$$

जैसे , β n → 0 और (हमें बताया गया है) x t + n → 0 ।$n\rightarrow \infty$$\beta^{n} \rightarrow 0$$x_{t+n} \rightarrow 0$

तो, इसके बाद के संस्करण का उपयोग कर जहां हम तथ्य यह है कि ज्यामितीय राशि अभिसरण का इस्तेमाल किया है क्योंकि0<β<1, लिमn→∞ n Σ मैं=0βमैं=

$$x_{t}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}\right]=\frac{k}{1-\beta},$$ $0<\beta<1$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}=\frac{1}{1-\beta}.$$

Comments

मैं यहाँ भी पूछना: कैसे इस समाधान सीमित हालत अगर संतुष्ट करता ? $k\neq 0$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 3

चूंकि दाएं हाथ की तरफ कुछ भी यादृच्छिक नहीं है, इसलिए हम जानते हैं कि बाएं हाथ की तरफ गैर-यादृच्छिक होना चाहिए। इसलिए, हम उम्मीदों के ऑपरेटर को छोड़ सकते हैं

$$x_t = \beta x_{t+1} + k$$ $$x_{t+1} = \beta x_{t+2} + k$$ $$x_t = \beta (\beta x_{t+2} + k) + k$$ $$x_t = k + \beta k + \beta\beta x_{t+2}$$

अब हम यह देख सकते हैं कि यह समीकरण कहां तक ​​अग्रसर है:

$$x_t = k\sum_{s=0}^\infty \beta^s + \lim_{T\to\infty} \beta^Tx_T$$

$T\to\infty$

$$x_t = \frac{1}{1-\beta} k$$

$x$$lim_{t\to\infty} x_t = 0$$x_t$