विभिन्न शक्तियों के साथ Leontief उत्पादन समारोह के लिए मार्शल की मांग ढूँढना

Question

एक अभ्यास समस्या को हल करने का प्रयास करना, सुनिश्चित नहीं है कि मैं सही दिशा में जा रहा हूं क्योंकि मेरा समाधान काफी गड़बड़ है। निम्नलिखित उपयोगिता समारोह को देखते हुए,

$ u (x, y) = min \ {x ^ {1/2}, 2y \} $, मार्शल की मांग का पता लगाएं।

मेरा जवाब:

चूंकि Leontief सही पूरक है, इसलिए ऐसा होना चाहिए कि $ x ^ {1/2} = 2y $, इसे बजट बाधा में प्रतिस्थापित करने से निम्नलिखित पैदावार होती है:

$ p_x \ टाइम्स x + p_y \ टाइम्स y = w $, जहां w कुल आय है। $ X ^ {1/2} = 2y $ लेना और इस पैदावार को बढ़ाना $ x = 4y ^ 2 $ है। इस बाधा में डूबे:

$ p_x \ गुना 4y ^ 2 + p_y \ टाइम्स y = w $, इस बिंदु पर मैंने द्विघात सूत्र लागू किया और निम्नानुसार y के लिए एक मांग फ़ंक्शन मिला,

$ $ y = \ frac {-p_y \ pm \ sqrt {p_y ^ 2 + 16 p_x w}}} {8p_x} $$

यह मुझे गन्दा लगता है, मुझे लगता है कि मैं द्विघात के ऋणात्मक पक्ष को नियंत्रित कर सकता हूँ, ऐसा लगता है कि इसका मतलब नकारात्मक है। यहां तक ​​कि अगर कुछ पुष्टि करते हैं कि यह सही दृष्टिकोण है तो इसकी सराहना की जाएगी।

धन्यवाद!

Comments

आप इस बात से इंकार कर सकते हैं कि y नकारात्मक है क्योंकि दुर्लभ वस्तुओं की कीमतें सकारात्मक हैं। अन्यथा वे दुर्लभ नहीं होंगे। वे स्वतंत्र होंगे। आप इस बात से भी इंकार कर सकते हैं कि वे शून्य हैं क्योंकि अगर वे होंगे तो शुरू करने के लिए कोई समस्या नहीं होगी।

— Toby

क्या आपने एक उत्तर (कोई) स्वीकार करने पर विचार किया है?

— luchonacho

Answer 1

जैसा कि अमित ने कहा, आपका जवाब सही है। जैसा कि टोबी ने कहा, आप नकारात्मक आउटपुट को नियंत्रित कर सकते हैं।

वास्तव में उत्तर के रूप में जोड़ने के लिए बहुत अधिक अंतर्दृष्टि नहीं है। हालाँकि, मैं भी काफी हैरान था कि इस तरह की साधारण समस्या एक जटिल जवाब देती है। जैसा कि यह पता चला है, आपको एक रैखिक मांग (आय पर) केवल तभी मिलती है जब दोनों घटकों पर घातांक समान होते हैं।

अधिक सामान्य मामले पर विचार करें:

$$ U (x, y) = \ text {min} \ {ax ^ \ alpha, ^ \ beta \} $ $ द्वारा

इष्टतमता की आवश्यकता होती है (* छूटे हुए इष्टतम मूल्यों के लिए संकेतन)

$ $ कुल्हाड़ी ^ \ अल्फा = द्वारा ^ \ बीटा \ $ $

बजट बाधा में इनमें से किसी एक को प्रतिस्थापित करने से निम्नलिखित होता है:

$ $ p_x x + p_y \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ {\ frac {1} {\ Beta}} x ^ {\ frac {\ अल्फा} {\ beta}} = w $ $

यहाँ हम देखते हैं कि केवल जब $ \ अल्फा = \ बीटा $, मांग रैखिक होगी (आय पर)। इस मामले में:

$ $ x = \ frac {w} {p_x + p_y \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ {\ frac {1} {\ अल्फा}}} $ $

ऐसा लगता है सामान्य (अप्रतिबंधित) मामले के लिए एक बीजीय समाधान प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि आपके द्वारा प्राप्त बहुपद में क्षोभकारी शक्तियां हो सकती हैं।

Answer 2

यहां एक दिलचस्प अन्वेषण यह है कि क्या ऐसी स्थितियां हैं जिनके तहत इस तरह के मांग फ़ंक्शन की कीमत और मात्रा के बीच नकारात्मक संबंध की मांग की गई है। $ P_x = 1 $ को सामान्य करना और आय को स्थिर रखना हमारे पास है

$ $ y = \ frac {-p_y} {8} + {\ sqrt {(p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w}} $ $

$ $ \ _ का तात्पर्य \ frac {\ आंशिक y} {\ आंशिक p_y} = - \ frac {1} {8} + \ frac 12 \ cdot \ left ((p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 \ _ सही) ^ {-1/2} \ cdot \ frac {2p_y} {8 ^ 2} $ $

$ $ = - \ frac 18 \ cdot \ left [1- \ बाएँ ((p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w \ right) ^ {- 1/2} \ cdot \ frac {p_y} {8} का दाईं ओर ] $$

इस व्युत्पत्ति के नकारात्मक होने के लिए, हम कोष्ठकों के अंदर सकारात्मक होना चाहते हैं। इसलिए हमें आवश्यकता है

$ $ 1- \ बाईं ((p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w \ दाएँ) ^ {- 1/2} \ cdot \ frac {p_y} {8} & gt; 0 $$

$$ \ का तात्पर्य 1 & gt; \ बाएँ ((p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w \ दाएँ) ^ {- 1/2} \ cdot \ frac {p_y} {8} $ $

$ $ \ _ का अर्थ है बायाँ ((p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w \ दाएँ) ^ {1/2} & gt; \ frac {p_y} {8} $ $

$ $ \ _ का तात्पर्य (p_y / 8) ^ 2 + \ frac14 w & gt; (P_y / 8) ^ 2 $$

जो हमेशा धारण करता है। तो हम देखते हैं कि यह "अजीब दिखने वाला" उपयोगिता फ़ंक्शन इसके "गड़बड़" मांग कार्यों के साथ भी है, हमेशा मांग की गई मात्रा पर नकारात्मक प्रभाव को दर्शाता है।