सीईएस यूटिलिटी फंक्शन व्यायाम के साथ मदद करें

Question

मैं निम्नलिखित CES उपयोगिता फ़ंक्शन समस्या को हल करने का प्रयास कर रहा हूं:

हालाँकि, मैं मुद्दों में भाग रहा हूं जब मैं 3 पर पहुंचता हूं)।

)

2 के लिए) मुझे $ X_2 ^ M = \ frac {m} {\ frac {p_1} {K} +_2} $ $ मिलते हैं

3 के लिए) मुझे $ \ lambda ^ * = (K ^ \ rho + \ omega) ^ {- \ frac1p-1} \ cdot \ omega \ cdot p_2 ^ {- 1} $ मिला

और $ v (p_1, p_2, m) = \ left (\ बाएँ (\ frac {m} {p_1 + Kp_2} \ right) ^ {- \ rho} + \ omega (\ frac {mK} / p_1 + Kp_2} ) ^ {- \ रो} \ right) ^ {- 1 / \ रो} $

मैं तब $ \ lambda ^ * $ $ v (p_1, p_2, m) $ से विभाजित करता हूं, लेकिन जब मैं ऐसा करता हूं तो मैं पूरी तरह से $ p_1, p_2, m, K $ और $ \ rho $ को रद्द नहीं कर सकता मेरा मानना ​​है कि मुझे यह साबित करने के लिए करना होगा कि वे आनुपातिक हैं। मुझे यकीन नहीं है कि अगर मुद्दा मेरे $ \ lambda ^ * $, मेरी $ v (p_1, p_2, m) $ और दोनों के साथ है ...

इसके अतिरिक्त, 6 के लिए) कोई दी गई डिग्री की एकरूपता को कैसे प्रदर्शित करता है?

Answer 1

प्रश्न 3 के लिए, मुझे यकीन है कि मेरे मुकाबले सरल समाधान हैं। मैं आपके संदर्भ के लिए यह संस्करण प्रदान करता हूं।

परिभाषा से, \ Begin {} संरेखित \ lambda ^ * & amp; = \ frac {\ frac {\ आंशिक u} {\ आंशिक x_1} (x_1 ^ M)} {p_1} = \ frac {\ left [(x_1 ^ M) ^ {- rho} + डब्ल्यू (x_2 ^ एम) ^ {- \ रो} \ right] ^ {- \ frac {1} {\ रो} -1} (x_1 ^ एम) ^ {- (\ रो +1)}} {p_1} \ \ \\ v (p_1, p_2, m) & amp; = u (x_1 ^ M (p_1, p_2, m), x_2 ^ M (p_1, p_2, m)) \\ & Amp; = \ बाएँ [(x_1 ^ M) ^ {- \ rho} + w (x_2 ^ M) ^ {- \ rho} \ right] ^ {- \ frac {1} {\ rho}} \ अंत {align} इसलिए \ Begin {} संरेखित \ lambda ^ * & amp; = v (p_1, p_2, m) \ frac {1} {p_1 \ left [(x_1 ^ M) ^ {- \ rho} + w (x_2 ^ M) ^ {- rho} \ _ सही] (x_1 ^ एम) ^ {\ रो + 1}} \\ & amp; = v (p_1, p_2, m) \ frac {1} {p_1 \ left [x_1 ^ M + w \ left (\ frac {x_1 ^ M} {x_2 ^ M} \ right) ^ {rho + 1} x_2 ^ एम \ सही]} \\ & Amp; = v (p_1, p_2, m) \ frac {1} {p_1 \ left [x_1 ^ M + w \ left (\ frac {1} {\ kappa} \ right) ^ {\ rho + 1} x ^ ^ M \ right ]} \ अंत {align} $ \ Kappa = \ बाएँ (\ frac {wp_1} {p_2} \ right) के लिए अभिव्यक्ति में प्लग करें ^ {\ frac {1} {\ rho + 1}} $ से ऊपर के समीकरण के लिए, हमारे पास है

\ Begin {} संरेखित p_1 \ left [x_1 ^ M + w \ left (\ frac {1} {\ kappa} \ right) ^ {\ rho + 1} x_2 ^ M \ right] & amp; = p_1 \ left [x_1 ^ ^ + w \ frac { p_2} {} wp_1 x_2 ^ एम \ सही] \\ & Amp; = p_1x_1 ^ M + p_2x_2 ^ M \\ & Amp; = एम \ अंत {align} इसलिए $ $ \ lambda ^ * = \ frac {v (p_1, p_2, m)} {m} $ $

एक फ़ंक्शन $ F (x_1, x_2, ... x_n) $ $ $ k की समरूपता दिखाने के लिए, बस $ $ F (kx_1, kx_2, ... kx_n) = \ lambda ^F (x_1, x_2) दिखाएं , ... x_n) $ $ For $ \ forall \; \ lambda & gt; 0 $ के लिए