मैं आखिरी व्यक्ति हूं जो इन जैसे निरंतर समय के सवालों का जवाब देना चाहिए, लेकिन अगर कोई और नहीं है तो मुझे लगता है कि मैं इसे एक शॉट दूंगा। (मेरे मंद याद किए गए निरंतर-वित्त के किसी भी सुधार का बहुत स्वागत है।)
मेरी धारणा हमेशा यह रही है कि इसके परिणामस्वरूप सबसे अच्छी व्याख्या की जाती है मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय । सबसे पहले, हालांकि, मैं कुछ संकेतन स्थापित करूँगा। चलो संभावना स्थान $ n $ स्वतंत्र वीनर प्रक्रियाओं $ (Z_t ^ 1, \ ldots, Z_t ^ n) $ द्वारा उत्पन्न किया जाए। $ N + 1 $ संपत्ति होने दें, जहां $ t $ पर $ i $ th संपत्ति का मूल्य $ S_t ^ i $ द्वारा दिया जाता है। मान लें कि संपत्ति $ i = 0 $ एक जोखिम भरा बंधन $ dS_t ^ 0 = r_tS_t ^ 0dt $ है, जबकि संपत्ति $ i = 1, \ ldots, n $ प्रत्येक जोखिम भरा है और इसी $ Z_t ^ i $ द्वारा संचालित हैं:
$$ dS_t ^ मैं = \ mu_t ^ IDT + \ sigma_t ^ idZ_t ^ मैं $$
मान लें कि एक सख्त सकारात्मक SDF प्रक्रिया $ m_t $ सामान्य रूप से $ m_0 = 1 $ है, जैसे कि $ m_tS_t ^ i $ प्रत्येक $ i (मूल रूप से SDF की परिभाषा) के लिए एक मार्टिंगेल है और जहां
$ $ dm_t = \ nu_t dt + \ psi_t \ cdot dZ_t $$
(मैं डॉट उत्पाद के रूप में $ \ cdot $ का उपयोग करता हूं, जो सुविधाजनक होगा।)
अंत में, $ n + 1 $ -dimensional वेक्टर $ \ theta_t $ का समय $ t $ पर हमारा पोर्टफोलियो हो, जैसे कि $ A_t $ का शुद्ध मूल्य $ A_t = \ theta_t \ cdot St $ द्वारा दिया गया हो। मान लें कि $ A_0 $ तय है और आगे हमारे पास है
$ $ dA_t = \ theta_t \ cdot dS_t $$
अब मैं उद्देश्य को बताऊंगा, जो पूर्ण बाजारों के सार को पकड़ता है। मान लीजिए कि दुनिया $ T $ के समय पर समाप्त होती है, और हम $ A_T $ का मूल्य एक निश्चित स्टॉचस्टिक $ Y $ के बराबर चाहते हैं, जो कि $ T $ तक के पूरे इतिहास पर निर्भर कर सकता है। मान लीजिए कि $ A_0 = E_0 [m_TY] $ है, ताकि पूरी तरह से बाजारों वाली दुनिया में हम ($ t = 0 $) अपनी शुरुआती दौलत $ A_0 का उपयोग करके $ t = T $ payout $ Y $ खरीद सकें। इन प्रत्यक्ष पूर्ण बाजारों की अनुपस्थिति में, सवाल यह है कि क्या है फिर भी पोर्टफोलियो के लिए कुछ रणनीति $ \ theta_t $ जो हमें दुनिया के सभी राज्यों में $ A_T = Y $ प्राप्त करने की अनुमति देगा। और जवाब, इस सेटिंग में, हाँ है।
सबसे पहले, कोई $ d (m_tA_t) = \ theta_t \ cdot d (m_tS_t) $ की गणना कर सकता है। इस प्रकार $ m_tS_t $ एक मार्टिंगेल होने का अर्थ है कि $ m_tA_t $ एक मार्टिंगेल है। इस प्रकार हमारे पास $ A_T = Y \ Longleftrightarrow m_TA_T = m_TY $ iff है
$$ m_tA_t = E_t [m_TY] $$
[0, T] $ में सभी $ t \ के लिए। ध्यान दें कि यह धारणा द्वारा $ t = 0 $ के लिए सच है; इसलिए समानता पाने के लिए यह साबित करना आवश्यक है कि वेतन वृद्धि हमेशा दोनों तरफ बराबर होती है।
अब मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय आता है। चूंकि $ E_t [m_TY] $ एक मार्टिंगेल है, हम लिख सकते हैं
$ $ E_t [m_TY] = E_0 [m_TY] + \ int_0 ^ t \ phi_s \ cdot dZ_s $$
कुछ पूर्वानुमेय प्रक्रिया के लिए $ \ phi_s $। तो हमें $ d (m_tA_t) = \ phi_t \ cdot dZ_t $ दिखाने में सक्षम होने की आवश्यकता है। लिख रहे हैं
$ $ d (m_tA_t) = \ sum_i (m_t \ theta_t ^ i \ sigma_t ^ i + A_t \ psi_t ^ i) dZ_t ^ i $$
हम देखते हैं कि हमें $ m_t \ theta_t ^ i_ sigma_t ^ i + A_t \ psi_t ^ i = \ phi_t ^ i $ प्रत्येक जोखिमपूर्ण संपत्ति के लिए $ i = 1, \ lotots, n $ चाहिए, जिसे हम जरूरत पड़ने पर देने के लिए उल्टा कर सकते हैं पोर्टफोलियो पसंद $ $ theta_t ^ i $:
$$ \ theta_t ^ मैं = \ frac {\ phi_t ^ i-A_t \ psi_t ^ मैं} {m_t \ sigma_t ^ मैं} $$
जोखिम रहित परिसंपत्ति पोर्टफोलियो विकल्प $ \ theta_t ^ 0 $ तब $ A_t = \ theta_t \ cdot S_t $ से समर्थित किया जा सकता है।
यहाँ अंतर्ज्ञान सरल है: हमें हमेशा $ $ A_t $ समायोजित करने की आवश्यकता है ताकि समानता $ m_tA_t = E_t [m_TY] $ बनी रहे, लेकिन दाईं ओर अपेक्षा और बाईं ओर SDF $ m_t $ दोनों ही प्रतिक्रिया में आगे बढ़ रहे हैं ड्राइविंग प्रक्रिया $ dZ_t ^ i $। इसलिए हमें एक पोर्टफोलियो $ $ theta_t $ लेने की आवश्यकता है, जो $ dA_t $ इन आंदोलनों को ठीक से बंद कर दे और समीकरण जारी रहे। और हम हमेशा ऐसा कर सकते हैं जब तक कि स्थानीय रूप से, हमारी परिसंपत्तियाँ सभी जोखिमों का $ dZ_t ^ i $ हो जाए - जो कि आमतौर पर अधिक हो सकती हैं, यहां तक कि $ n $ सहसंबद्ध संपत्ति के लिए भी जब तक कि उनकी वेतन वृद्धि स्थानीय रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र न हो। (एक स्वतंत्र ब्राउनियन गति द्वारा प्रत्येक ड्रिप $ n $ जोखिम वाली संपत्ति का मामला एक विशेष है।)
