परेतो ऑप्टिमल को समझना

मैं एक विनिमय अर्थव्यवस्था को देख रहा हूं जहां मेरे पास दो प्रकार के सामान और एन उपभोक्ता हैं। आधे उपभोक्ताओं का द्वारा दिया गया एक उपयोगिता कार्य है और अन्य आधे उपभोक्ताओं का । सभी उपभोक्ताओं को अच्छे के और अच्छे की प्रारंभिक बंदोबस्ती दी गई है । $U(x)= 5\ln{x} +m$ $U(x) = 3\ln{x} + m$ $20$ $x$ $10$ $m$

मुझे यह खोजने की आवश्यकता है कि अच्छे की अधिकतम राशि क्या है जो सभी प्रकार के उपभोक्ताओं को सभी उपभोक्ताओं के लिए बाधा तहत पारेतो ऑप्टिमल आवंटन में मिल सकती है $x$ $m>0$

इसे हल करने के लिए, मैंने निम्नलिखित समीकरण बनाने के साथ शुरू किया:

\begin{aligned} \frac{\frac{\partial U_{1}}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U_{1}}{\partial m_{1}}} & = \frac{\frac{\partial U_{2}}{\partial x_{2}}}{\frac{\partial U_{2}}{\partial m_{2}}} \\ \frac{\frac{5}{x_{1}}}{1} & = \frac{\frac{3}{x_{2}}}{1} \\ \frac{5}{x_{1}} & = \frac{3}{x_{2}} \\ \frac{5}{x_{1}} & = \frac{3}{20 - x_{1}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\frac{\partial U_1}{\partial x_1}}{\frac{\partial U_1}{\partial m_1}} &= \frac{\frac{\partial U_2}{\partial x_2}}{\frac{\partial U_2}{\partial m_2}}\\ \frac{\frac{5}{x_1}}{1} &= \frac{\frac{3}{x_2}}{1}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{x_2}\\ \frac{5}{x_1} &= \frac{3}{20-x_1} \end{align*}$

हालांकि, यह दृष्टिकोण मुझे सही समाधान नहीं देता है, और न ही इसमें की प्रारंभिक बंदोबस्ती शामिल है । क्या कोई मुझे समझने में मदद कर सकता है कि मुझे क्या याद आ रहा है? $m$

microeconomics pareto-efficiency

— सारा
स्रोत

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— luchonacho

मैं में कोई समस्या नहीं देख के रूप में यह उपयोगिता समारोह में additively में प्रवेश करती है समीकरण से अनुपस्थित जा रहा है,। इस अच्छे से प्राप्त आंशिक उपयोगिता को उस 1 में दर्शाया गया है जो आपको व्युत्पन्न में मिलता है। यह है सीमांत उपयोगिता की एक अतिरिक्त इकाई से प्राप्त की व्यक्तिगत खपत राशि से स्वतंत्र है । इसके अतिरिक्त, के रूप में उपभोक्ताओं के दोनों प्रकार के मूल्य अच्छा समान रूप से, के वितरण तो किसी भी आवंटन के optimality के लिए अप्रासंगिक है। आपका समाधान आपको बताता है कि और की खपत के स्तर के बीच का संबंध 5 से 3 है। $m$ $m$ $m$ $m$ $m$ $x_1$ $x_2$

फिर, आपको जो करने की आवश्यकता है, वह सभी उपभोक्ताओं के बीच कुल संसाधनों को आवंटित करना है, जैसे कि अनुपात। यदि दो दो प्रकार के उपभोक्ताओं की कुल 40 इकाइयाँ , तो आवंटन एक प्रकार के उपभोक्ताओं के लिए 25 और 15 प्रकार के दो उपभोक्ताओं के लिए है। $x$

— luchonacho
स्रोत