नियोक्लासिकल ग्रोथ मॉडल में ट्रांसवर्सैरिटी कंडीशन

Question

नव-शास्त्रीय विकास मॉडल में निम्नलिखित परिवर्तनशील स्थिति है:

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$$ जहां $k_{t+1}$ पीरियड t पर पूंजी है$t$ ।

मेरे प्रश्न हैं:

1. हम इस स्थिति को कैसे प्राप्त करेंगे?

2. हमें इसकी आवश्यकता क्यों है, अगर हम बिना किसी ऋण संचय के रास्तों को नियंत्रित करना चाहते हैं?

3. Lagrange गुणक $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ राजधानी के वर्तमान रियायती मूल्य क्यों हैं?

Comments

ट्रांसवर्सिटी सिचुएशन कंडीशन और सॉल्वेंसी एक्सोजेनस कंस्ट्रक्शन , इकोनॉमिक्स.स्टैकएक्सचेंज.

— com//

मैंने इस पोस्ट में ट्रांसवर्सिटी स्थिति के पीछे अंतर्ज्ञान का एक गैर-गणितीय, सादा भाषा में विवरण देने की कोशिश की: मध्यम.com / @alexanderdouglas / ... मैं एक मैक्रोइकॉनॉमिस्ट नहीं हूं, हालांकि, इसलिए मैं अच्छी तरह से गलत हो सकता हूं। यदि हां, तो मुझे उम्मीद है कि कुछ जवाब जल्द ही दिखाई देंगे।

— अलेक्जेंडर डगलस

यह एक टिप्पणी होनी चाहिए, क्योंकि आप केवल बाहरी सामग्री का लिंक प्रदान करते हैं। इसके अलावा, ट्रांसवरसिटी की स्थिति अपेक्षाओं के गठन के बारे में किसी भी धारणा पर निर्भर नहीं करती है, क्योंकि यह नियतात्मक मॉडल में भी लगाया गया एक शर्त है जहां अनिश्चितता अनुपस्थित है। और यह विशेष रूप से सरकारी ऋण से संबंधित नहीं है, लेकिन सामान्य रूप से किसी भी संपत्ति के लिए है। मूल बिंदु निम्नलिखित है: कोई वसीयत का मकसद नहीं मानना ​​(हम अपनी संतानों या समाज की परवाह नहीं करते हैं), यह अचेतन धन को "पीछे छोड़ना" है। यही सब है इसके लिए।

— एलेकोस पापाडोपोलस

CONTD यह एक परिमित क्षितिज के साथ काफी सीधा है, और, जैसा कि हमेशा होता है, जब क्षितिज "इनफिनिट" हो जाता है तो यह थोड़ा कम सीधा और स्व-स्पष्ट हो जाता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 1

यदि हम परिमित क्षितिज के साथ समस्या से शुरू करते हैं, तो ट्रांसवर्सिटी स्थिति को आसानी से समझा जा सकता है।

मानक संस्करण में, हमारा उद्देश्य है। to साथ किया गया। संबद्ध (मल्टीप्लायरों ( , , और ) के साथ हैं

$$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$$ $$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$$ $k_0$$\lambda_t$$\mu_t$$\omega_t$ $$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$$ $$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$$ कुआन-टकर पूरक सुस्त परिस्थितियों के साथ : , चूंकि संसाधन की कमी सभी अवधियों में बाध्यकारी होनी चाहिए, अर्थात सभी लिए , यह अंतिम अवधि , पर निम्नानुसार है । ।$t=0,\dots,T$ $$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$$ $\lambda_t>0$$t$$T$$\omega_T=\lambda_T>0$$k_{T+1}=0$

आमतौर पर हम सभी (Inada स्थिति) के लिए मान , और इसका अर्थ सभी लिए । तो खपत FOC बन जाता है $c_t>0$$t$$\mu_t=0$$t$

$$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$$

स्थिति को देखते हुए और पिछले अवधि में पर हम पाते हैं transversality हालत अनंत क्षितिज को यह विस्तार पर हम पाते हैं $(1)$ $(2)$$(3)$$T$

$$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$ $$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$$

ट्रांसवर्सिटी की स्थिति का अंतर्ज्ञान आंशिक रूप से यह है कि "अंतिम अवधि में कोई बचत नहीं है"। लेकिन जैसा कि अनंत क्षितिज के वातावरण में "अंतिम अवधि" नहीं है, हम समय को अनंत तक ले जाते हैं।

Answer 2

मेरी राय में, तर्क द्वारा सबसे अच्छी व्युत्पत्ति है। इसके बारे में इस तरह से सोचें: अगर हम केवल एक ही बात बता रहे हैं कि घर की उपयोगिता को अधिकतम करना है, तो इष्टतम व्यवहार केवल अनंत ऋण बना देगा और असीम रूप से उपभोग करेगा। यह कोई समझदारी भरा उपाय नहीं है। इसलिए हमें एक और इष्टतम स्थिति की आवश्यकता है। यह प्रश्न 2 का उत्तर देना चाहिए।

एक परिमित क्षितिज सेटिंग में, अंतिम अवधि तक ऋण चुकाने से व्यवहार्यता प्राप्त की जाएगी। अनंत क्षितिज सेटिंग में यह संभव नहीं है। हालांकि, "ऋण संचय को खारिज करना", जैसा कि आप सुझाव देते हैं, बहुत सख्त स्थिति है (ऋण के लिए ट्रांसवर्सिटी स्थिति की अनुमति देता है!)।

प्रश्न 3 का उत्तर देने के लिए, हमें शब्द पर ध्यान दें । यह पूँजी के पीरियड और उपभोग करने वाली इकाइयों को स्थानांतरित करने के लिए (सीमांत) उपयोगिता लाभ (वर्तमान-मूल्य के ) के लिए है। यदि यह उपयोगिता लाभ अनंत में सकारात्मक था, तो हम "पीरियड इन्फिनिटी" पर अधिक उपभोग करके समग्र उपयोगिता बढ़ा सकते हैं, इसलिए हमारा पूंजी पथ इष्टतम नहीं होगा।$\beta^t \lambda_t k_{t+1}$$k_{t+1}$

प्रश्न 1: इस स्थिति को प्राप्त करने के लिए, आप या तो मेरे द्वारा किए गए तार्किक तर्क को बना सकते हैं, यह दिखाते हुए कि ट्रांसवर्सिटी की स्थिति को पकड़े बिना, पूंजी पथ इष्टतम नहीं है, या, गणितीय प्रमाण के लिए, आप बाहर की जाँच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, क्रुसेल के नोट्स के अनुसार (हालांकि इसे समझ पाना कठिन है)