लॉग-रैखिककरण यूलर खपत समीकरण

Question

मैं गल की पुस्तक में यूलर खपत समीकरण को लॉग-लाइन करने की कोशिश कर रहा हूं। वह कहता है:

का लॉग रेखीय सन्निकटन $Q_{t}= \beta E_{t}[(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})]$(1)

मैंने सारी रात लॉग-लीनराइज़ेशन सीखने की कोशिश में बिताई, इसलिए हो सकता है कि मेरा उत्तर सही न हो लेकिन यहाँ मेरा प्रयास है:

मैं फिर से Q t = 1 लिखता हूं और इस प्रकार (1) बन जाता है:$Q_{t}=\frac{1}{1+i_{t}}$

$1= \beta E_{t}[(1+i_{t})(\frac{C_{t+1}}{C_{t}})^{-\sigma}(\frac{Z_{t+1}}{Z_{t}})(\frac{P_{t}}{P_{t+1}})]$

दोनों पक्षों के लॉग्स लेना (मैं मान रहा हूं कि मैं उम्मीद ऑपरेटर को अनदेखा कर सकता हूं, हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि क्यों):

(2)$0=ln(\beta) + ln(1+i_{t})- \sigma[ln(c_{t+1}) - ln(c_{t})] + ln(z_{t+1}) - ln(z_{t}) + ln(P_{t}) - ln(P_{t+1})]$

स्थिर अवस्था मानों के आस-पास:

$0=ln(\beta) + ln(1+i^{*})+(\frac{1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma[ln(c^{*})+(\frac{1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) - ln(c^{*}) - (\frac{1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*})] + ln(z^{*}) + (\frac{1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - ln(z^{*}) - (\frac{1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*})+ ln(P^{*}) + (\frac{1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - ln(P^{*}) - (\frac{1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*})$

यह काफी गन्दा था, लेकिन उम्मीद है कि आप देख रहे हैं कि मैं क्या कर रहा हूँ, स्थिर अवस्था के आसपास एक साधारण फर्स्ट ऑर्डर सन्निकटन। आगे मैंने कुछ शब्दों को रद्द करने के लिए समीकरण (2) का उपयोग किया। मैं साथ रह गया था:

$(\frac{1}{1+i^{*}})(i_{t}-i^{*})- \sigma(\frac{1}{c^{*}})(c_{t+1}-c^{*}) + \sigma(\frac{1}{c^{*}})(c_{t}-c^{*}) + (\frac{1}{z^{*}})(z_{t+1}-z^{*}) - (\frac{1}{z^{*}})(z_{t}-z^{*}) + (\frac{1}{P^{*}})(P_{t}-P^{*}) - (\frac{1}{P^{*}})(P_{t+1}-P^{*}) = 0$

स्थिर स्थिति से विचलन के संदर्भ में फिर से लिखना:

$\tilde i_{t} - \sigma \tilde c_{t+1} + \sigma \tilde c_{t} + \tilde z_{t+1} - \tilde z_{t} + \tilde p_{t} - \tilde p_{t+1} = 0$

मैं के संदर्भ में इस फिर से व्यवस्था कर सकते हैं और उम्मीद ऑपरेटरों में डाल लेकिन मेरा उत्तर गली के साथ मेल नहीं खाता। वह कहता है:$\tilde c_{t}$

$c_{t} = E[c_{t+1}] + \frac{1}{\sigma}(i_{t} - E_{t}[\pi_{t+1}] - \rho) + \frac{1}{\sigma}(1-\rho _{z})z_{t}$

सबसे पहले, मुझे समझ नहीं आता जहां से आया है, क्योंकि यह (1) में नहीं है। इसके अलावा, क्या मैं अपने रैखिक सन्निकटन में गलती कर रहा हूँ? क्या मुझे शर्तों को रद्द करने के लिए (2) का उपयोग नहीं करना चाहिए था?$\rho$

मैंने सिर्फ लॉग-लाइनकरण सीखा है, इसलिए मेरा तरीका काफी भोला हो सकता है। मैंने दोनों पक्षों को बस "लॉग" किया, स्थिर क्रम के चारों ओर पहले टेलर सन्निकटन का इस्तेमाल किया, "लॉगिंग" चरण से शर्तों को रद्द कर दिया और खपत के लिए हल किया।

किसी भी मदद का बहुत स्वागत है!

Comments

$\rho=-\ln{\beta}$$\widetilde{c}_t$$\rho_z$

$\rho = -ln \beta$$ln \beta$$ln \beta$

Answer 1

$X_t$

$1 = X_t$

आपके समाधान और गली के बीच अंतर यह है कि आपने टेलर के विस्तार को चारों ओर ले लिया है

$\log(1)=0=log(X_t)$

जबकि गली का उपयोग किया

$1 = \exp(\log(X_t))$$1=\exp(\log(X^*))$

$x_t=\log(X_t)$

टेलर विस्तार की परिभाषा से यह पता चलता है

$T(1) = \exp(x^*)+\exp(x^*)(x_t-x^*)$

$\exp(x^*)=1$

$T(1)=1+(x_t-x^*)$

$\rho$$\hat{x}_t=x_t-x^*$$\rho=\pi +\sigma \gamma-i$$\rho$

$\beta=0.99$$-\log(0.99)\approx 0.01$

गाली की किताब के परिशिष्ट 2.1 पर एक नज़र डालें! यह काफी जटिल है, लेकिन इस पोस्ट के साथ, मुझे आशा है कि आप इसे प्राप्त करेंगे!