व्याख्या: दोनों इकाई डमी और समय के डमी के साथ रैखिक प्रतिगमन

Question

मान लीजिए कि मेरे पास एन इकाइयों और टी समय अवधि के साथ एक पैनल डेटा है।

• केवल यूनिट डमी के साथ मॉडल 1 के लिए: $ $ y_ {यह} = \ पाठ {अवरोधन} + \ Beta_1 x_ {यह} + \ sum_ {j = 2} ^ {N} \ delta_j I \ left (i = j \ right) + \ text {त्रुटि}। $$ $ \ beta_1 $ का कम से कम वर्ग अनुमान केवल $ x $ में समय के भीतर-इकाई का उपयोग करता है।
• केवल समय की डमी के साथ मॉडल 2 के लिए: $ $ y_ {यह} = \ text {अवरोधन} + \ Beta_2 x_ {यह} + \ _ sum_ {k = 2} ^ {T} \ gamma_k I \ left (t = k \ right) + \ text {त्रुटि}। $$ $ \ beta_2 $ का कम से कम वर्ग अनुमान केवल $ x $ में इकाई के भीतर भिन्नता का उपयोग करता है।
• इकाई 3 और समय डमी दोनों के साथ मॉडल 3 के लिए: $ $ y_ {यह} = \ पाठ {अवरोधन} + \ बीटा_3 x_ {यह} + \ sum_ {j = 2} ^ {N} \ delta_j I \ left (i = j \ right) + \ sum_ / k = 2 } ^ {T} \ gamma_k I \ left (t = k \ right) + \ text {त्रुटि}, $ $ जाहिरा तौर पर $ \ बीटा_3 $ का कम से कम वर्गों का अनुमान है नहीं $ x $ में समय-भिन्नता के भीतर-इकाई का उपयोग करें, क्योंकि डेटासेट में ऐसी कोई भिन्नता मौजूद नहीं है।

मेरा प्रश्न है: मॉडल 3 में भिन्नता क्या है?

मैं समझता हूं कि मॉडल 3 के लिए हम अनिवार्य रूप से $ x $ और $ y $ जैसे अर्थों में हैं $$ \ tilde {x} _ {it} = \ left (x_ {it} - \ bar {x} _i \ right) - \ left (\ bar {x} _t - \ bar x \ right), $$ जहाँ $ \ bar {x} _i $, $ \ bar {x} _t $, और $ \ bar {x} $ के भीतर-इकाई माध्य, भीतर-समय माध्य और कुल मतलब $ x $ हैं।

मॉडल 3 का उपयोग करने वाले अर्थशास्त्री अक्सर कहते हैं कि उन्होंने "यूनिट निश्चित प्रभावों और समय निश्चित प्रभावों के लिए नियंत्रित किया है", लेकिन "एक्स के लिए नियंत्रण" आमतौर पर बाकी सब एक सा होने पर व्याख्या, जिसका अर्थ है कि हम x के समान मूल्यों वाले समूहों में तुलना कर रहे हैं। देख यह जवाब एक अच्छी प्रस्तुति के लिए। मैं सहज और क्रियात्मक व्याख्याओं की तलाश कर रहा हूं जो "यूनिट फिक्स्ड इफेक्ट्स और टाइम फिक्स्ड इफेक्ट्स को नियंत्रित करने" की तुलना में अधिक सटीक हैं।

Answer 1

क्या वास्तव में इकाई और समय दोनों के साथ मॉडल 3 में उपयोग की जाने वाली भिन्नता है   dummies?

$ \ Beta_3 $ की पहचान करने के लिए जिस भिन्नता का उपयोग किया जा रहा है, वह मूल रूप से व्यक्तिगत स्तर से अलग-अलग विचलन है, जो वर्ष के लिए अलग-अलग औसत और औसत व्यक्तियों दोनों से दूर है। तो इस हद तक कि आपकी रुचि का चर समय के साथ अलग-अलग हो रहा है, लेकिन अलग-अलग व्यक्तियों में अंतर नहीं है, आप इसके प्रभाव का पता लगाने में विफल रहेंगे।

मॉडल 3 का उपयोग करने वाले अर्थशास्त्री अक्सर कहते हैं कि उन्होंने "यूनिट फिक्स्ड इफेक्ट्स और टाइम फिक्स्ड इफेक्ट्स के लिए नियंत्रित किया है", लेकिन "एक्स के लिए कंट्रोलिंग" में आमतौर पर क्रेटरिस पेरिबस व्याख्या होती है, जिसका अर्थ है कि हम एक्स के समान मूल्यों वाले समूहों में तुलना कर रहे हैं। एक अच्छी प्रस्तुति के लिए इस उत्तर को देखें। मैं सहज और क्रियात्मक व्याख्याओं की तलाश कर रहा हूं जो "यूनिट फिक्स्ड इफेक्ट्स और टाइम फिक्स्ड इफेक्ट्स को नियंत्रित करने" की तुलना में अधिक सटीक हैं।

स्पष्ट होने के लिए, जब हम अर्थमिति में एक इकाई निश्चित प्रभाव कहते हैं, तो हम किसी भी समय अवलोकनीय या आश्रित चर के निर्धारक निर्धारक संदर्भित कर रहे हैं। यह दिखाना आसान है कि इन सभी को व्यक्तिगत स्तर पर तोड़-फोड़ द्वारा "मिटा दिया गया" है। अलग-अलग स्तर की अवहेलना व्यक्तियों में देखे गए और बिना किसी स्वतंत्र चर के औसत अंतरों को नियंत्रित करती है। मॉडल में व्यक्तिगत निश्चित प्रभावों का मतलब है कि पूर्वाग्रह के किसी भी स्रोत का समय अलग होना चाहिए । इस प्रकार, अगर कोई यह तर्क देता है कि आपका चर आपके नमूने में स्थिर कुछ चर के कारण अंतर्जात है, तो आपने पहले ही अपने बिंदु अनुमान की पहचान करने के लिए समय के साथ भिन्नता का उपयोग करके उस पर नियंत्रण कर लिया है।

तो इन व्यक्तिगत निश्चित प्रभावों के समावेश के साथ आप अपने स्वतंत्र चर को निर्धारित करने वाले अलग-अलग सहसंयोजकों के समय को निर्धारित करने पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं। समय निश्चित प्रभाव उन चर में किसी भी बदलाव को दूर कर देंगे जो किसी निश्चित समय में सभी व्यक्तियों के लिए समान हैं। उदाहरण के लिए, यदि "व्यक्तियों" को एक ही राज्य या नगरपालिका में एक साथ वर्गीकृत किया जाता है, और उस वर्ष में सभी व्यक्तियों के लिए राज्य या नगरपालिका नीतियों में कुछ बदलाव होते हैं, तो समय निर्धारित प्रभाव इन प्रभावों को मापने की आवश्यकता के बिना इन प्रभावों को दूर कर सकते हैं। । यह केवल उन चर पर चिंता छोड़ देता है जिनके अलग-अलग व्यक्तियों के भीतर अलग-अलग समय पथ होते हैं।

तो समय और पैनल दोनों के प्रभाव के साथ, ब्याज के अपने चर के प्रभाव की पहचान करने के लिए, एक तरफ चिंता का विषय है, ब्याज का चर होना चाहिए

1. समय अलग-अलग हो

तथा

2. व्यक्तियों के भीतर अलग-अलग समय पथों में भिन्नता है (यानी व्यक्तिगत विविधता, $ $ $ $ $ के भीतर $ $ न होकर यह समरूप होना चाहिए।)

तो हम वास्तव में उन समय के लिए "नियंत्रित" कर रहे हैं, जो अपरिवर्तनीय भ्रमित कारक हैं, साथ ही साथ पैनल निश्चित प्रभाव वाले व्यक्तियों में मनाया कारकों में औसत अंतर है। हम वास्तव में "के लिए नियंत्रित कर रहे हैं" covariates कि एक निश्चित वर्ष के भीतर व्यक्तियों में आम भिन्नता है समय निश्चित प्रभाव के साथ।

$ Y_ {it} = \ beta_i + \ lambda_t + X_ {it} \ beta + \ epsilon_ {it} $ $ i = 1 \ dots N $ और $ t = 1% dots T $ के साथ विनिर्देश हो।

प्रारंभ में आप पैनल को डिमैनिंग करते हैं, जो रूपांतरित चर बनाता है

$ \ ओवरसेट {..} {y} = (y_ {यह} - \ overline {y_i}) = \ underbrace {(\ lambda_t- \ frac {1} {टी} \ sum_ {j = 1} ^ {टी} \ lambda_j)} _ \ text {पैनल ने समय dummies} + \ पाठ {अन्य अस्वीकृत शर्तें वर्ष FE} $ असंबंधित।

यह किसी अन्य समय अपरिवर्तनीय कारक के साथ $ \ beta_i $ को निकालता है।

फिर आप वर्ष FE के साथ डिमेंशन करते हैं, ट्रांसफॉर्मेशन $ \ ओवरसेट {...} {y} = \ overset {..} {y_i} - \ overline {y_t} $ जहां $ \ ओवरलाइन {y_t} = \ f \ _ \ _ करते हैं। } {एन} \ sum_ {j = 1} ^ {n} {y_ संयुक्त} $।

$ = \ Underbrace {(\ lambda_t- \ frac {1} {टी} \ sum_ {j = 1} ^ {टी} \ lambda_j) - \ frac {1} {एन} \ sum_ {i = 1} ^ {एन ) } $

। ।

चूँकि $ \ lambda_t $ किसी दिए गए वर्ष में सभी $ i के लिए आम है, $ \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ lambda_t = N \ lambda_t $ और इसी तरह $ \ _ \ _ \ _ = 1} ^ {N } \ frac {1} {T} \ sum_ {j = 1} ^ {T} \ lambda_j = N \ frac {1} {T} \ sum_ {j = 1} ^ {T} \ lambda_j $

। ।

= } \ sum_ {j = 1} ^ {T} \ lambda_j) + \ {{अन्य अस्वीकृत शर्तें वर्ष के लिए असंबंधित FE} $

। ।

$ \ frac {1} {N} $ वितरित करें

। ।

$ = \ Underbrace {(\ lambda_t- \ frac {1} {टी} \ sum_ {j = 1} ^ {टी} \ lambda_j) - (\ lambda_t- \ frac {1} {टी} \ sum_ {j = 1 )

$ = \ text {वर्ष के लिए असंबंधित अन्य अस्वीकृत शर्तें FE} $

Comments

उत्तर के लिए धन्यवाद। आपने अलग / एडिटिव / स्टेप वाइज तरीके से पैनल फिक्स्ड इफेक्ट्स और टाइम फिक्स्ड इफेक्ट्स के बारे में बताया, जो कि मुझे सबसे पहले कन्फ्यूज करता है। $ P $ के रूप में पैनल dummies के सेट और $ Q $ के रूप में समय dummies के सेट को निरूपित करें। आपने जो वर्णन किया है, वह पहले पैनल के भीतर $ Y $ और $ X $ को कम करने के बराबर है ($ $ tilde Y $ और $ tilde X $ की पैदावार), और फिर demean $ \ tilde Y $ और $ \ tilde X $ वर्ष के भीतर। । यह प्रक्रिया मॉडल 3 के समकक्ष नहीं लगती ...

— Paul

Frisch-Waugh-Lovell Theorem का कहना है कि मॉडल 3 के लिए, हम क्रमशः $ Y $, $ X $, और $ Q $ $ P $ पर प्रोजेक्ट कर सकते हैं, और अवशेष $ \ tilde Y $, $ Tilde X $, के साथ काम कर सकते हैं। और $ \ tilde क्यू $। दूसरा चरण $ \ tilde Y $ और $ \ tilde X $ को $ \ tilde Q $ पर प्रोजेक्ट करना है। यह दूसरा कदम स्टेप वाइज मामले में साल के भीतर अलग होने से अलग प्रतीत होता है। या शायद यह वही है?

— Paul

एफडब्ल्यूएल की बदौलत डिमांडिंग का आदेश अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

— Hessian

ये सही है। लेकिन मैं $ Q $ पर प्रोजेक्ट करने और $ \ tilde Q $ पर प्रोजेक्ट करने की तुलना कर रहा था, जहाँ $ Q $ समय डमियों का सेट है, और $ \ tilde Q $ पैनल-डिमैनेड टाइम डमीज है।

— Paul

@Paul ने ऊपर दिए गए उत्तर को यह दिखाने के लिए कि कैसे, पैनल डिमांइड टाइम डमी के साथ शुरू करते हुए, वर्ष को समाप्त करते हुए सभी वर्ष FE को मिटा दिया।

— Hessian

Answer 2

व्याख्या:

मॉडल 1: के अंदर एक ही इकाई , $ y_ {it} -y_ {is} $ $ होने की उम्मीद है (x_ {it} -x_ {is}) \ beta_1 $। यही है, एक इकाई के भीतर, अलग-अलग $ x $ के साथ दो अवधियों के बीच, $ y $ $ x $ $ $ beta_ $ के अंतर से भिन्न होने की उम्मीद है।

मॉडल 2: में एक ही अवधि , $ y_ {it} -y_ {jt} $ $ होने की उम्मीद है (x_ {it} -x_ {jt}) \ beta_2 $। यानी, एक अवधि में, दो इकाइयों के बीच अलग-अलग $ x $ के बीच, $ y $ में $ x $ गुना $ \ beta_2 $ के अंतर से भिन्न होने की उम्मीद है।

मॉडल 3: इकाई के भीतर $ i $, $ y_ {यह} -y_ {is} $ $ होने की उम्मीद है (x_ {it} -x_ {is}) \ Beta_3 + (\ gamma_t - \ gamma_s) $, और इकाई के भीतर $ j $, $ y_ {jt} -y_ {js} $ $ होने की उम्मीद है (x_ {jt} -x_ {js}) \ beta_3 + (\ gamma_t - \ gamma_s) $। इसलिए यदि $ x_ {it} -x_ {is} = x_ {jt} -x_ {js} $ है, तो $ y $ में अपेक्षित अंतर दोनों इकाइयों के लिए समान हैं, और $ (y_ {it} -y_ {} }) - (y_ {jt} -y_ {js}) $ $ होने की उम्मीद है [(x_ {it} -x_ {is}) - (x_ {jt} -x_ {js})] beta_3 $। मैं इस गणित की व्याख्या कैसे कर सकता हूं? मुझे कोशिश करने दें, हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि मैं सफल होऊंगा। मान लीजिए कि यूनिट $ i $ $ x $ $ दो अवधि में 1 से भिन्न होती है, तो यूनिट $ j $ $ $ x समान दो अवधियों में होती है। फिर उन दो इकाइयों के $ y $ मूल्यों को एक ही राशि से दो अवधियों में भिन्न होने की उम्मीद है। यदि दोनों इकाइयों में दो अवधियों में $ x $ में भिन्न भिन्नताएँ हैं, तो $ y $ में अपेक्षित अंतर $ x बीटा के अंतरों में $ \ beta_3 के अंतर से कई गुना अधिक है। हां, यह डीआईडी ​​(अंतर-अंतर) जैसा है।

Comments

धन्यवाद! आप इस सवाल का जवाब कैसे देंगे "$ \ _ \ _ $ का अनुमान लगाने के लिए किस विविधता का उपयोग किया जाता है?" मैं पूछता हूं क्योंकि इस तरह के सवाल अक्सर कार्यशालाओं में पूछे जाते हैं, लेकिन मैं हमेशा संतोषजनक जवाब नहीं सुनता हूं।

— Paul

क्षमा करें, मुझे लगा कि प्रश्न का उत्तर हेस्सियन और स्वयं पॉल ने दिया है। यह आपके प्रश्न में $ \ tilde {x} _ {it} $ है। $ I $ और $ t $ दोनों में भिन्नता होनी चाहिए। समय के साथ सामान्य प्रवृत्ति को कोई परिवर्तन नहीं माना जाता है; कोई अस्थायी भिन्नता के साथ क्रॉस-यूनिट भिन्नता को कुछ भी नहीं माना जाता है।

— chan1142

धन्यवाद। मैं आपके संस्करण को हल करने की कोशिश कर रहा था। बढ़िया है।

— Paul